CHAPITRE XI

DES PUISSANCES ET DES RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE § I Des Combinaisons.

26i . La formation des puissances des polynômes exigeant la connaissance de la théorie élémentaire des combinaisons, nous allons d'abord l'exposer, afin de ne pas interrompre ce que nous aurons à dire sur les puissances.

On nomme combinaisons de m objets n à n les différentes manières de grouper ces objets w à », de telle sorte que deux groupes diffèrent au moins par un des objets qui y entrent.

On nomme permutations de n objets les différentes manières de les ranger suivant une figure déterminée, par exemple en ligne droite.

On est convenu de nomm^v arrangements de m objets n à n les différentes manières de ranger ces objets suivant une figure déterminée, en ligne droite par exemple, en les prenant nkn.

Il résulte de ces définitions que si, après avoir formé toutes les combinaisons de m objets n k n , on effectuait, dans chaque groupe de n objets toutes les permutations possibles, on obtiendrait précisément tous les arrangements possibles de ces m objets n à » .En sorte que, si Ton multiplie le nombre des combinaisons de m objets nkn , par le nombre des permutations qu'on peut faire subir à un groupe de n objets, on obtiendra précisément pour produit le nombre des arrangements possibles de ces m objets nkn.

Si donc on désigne par Cm,n le nombre des combinaisons de m objets w à n ; par ?« le nombre des permutations qu'on peut faire subir à un groupe de n objets; et par A^^n le nombre des arrangements possibles de m objets n à w, on aura la relation

d'où l'on déduit C„,n=:^ ;

c'est-à-dire que, pour obtenir le nombre des combinaisons de

â44 PU1SSAN|2I»*ET JlAaN£$>.>^ifiQI>AI'10iV>«lii:ABIIBttET £)M'OmNTlELLES :

m objets * n à tf , il faat divUer 1« oombne àts$ arraDgemènta possibles de ces m objets n kn ^ par le nombi^e des permutations qu'on peut faire subir à un groupe de n objets.

Nous, allons dooe chercher à déterminer Agn> ot P* ; notti en déduirons Cm,% .

Afin de iixer les idées, nous supposerons (jtie les objets dam il s'agit sont les lettres de Talphai^U C^^ désignera alors H nom<bre de manières de prendre m lettres .n à it i» de tetlb sorle qu'on obtienne, en les multipliant, autant de produits distincts. P„ désignera le nombre de maniérés d'écrire à la suitti les unes des autres n lieUres déterminées. Enfin Am,n désignera Ur Aom> bre demaqiëres d'écrire è la suite les unes des aatres n kUres, prises, de toutes les laiçous possibles, sur un nombre lotal de ,m lettres.

262. Soient a , i , c , </ , : . . v A , 4 / , iesm lettres considérées, a

Le nombre des unaogemenls de ces m lettres 1 à 1 est évidemment égal au nombre de ces lettres ; on a donc

Cherchons à fôrmçMes arrangements 2 à î . Pour cefa ■ il suffira de prendre tour à tour chacune des m letti'cs, et d'écririe à sa droite chacune des w~t lettres restantes; ce qui donnera

. Ja

cb .

. Ib

cd .

. le

cic .'

'. Ih

. Ik

On aura bien ainsi tous les arrangements 2 à 2 ; ii 6«ffîi<peur le démontrer de faire voir qu'aucun arrangement n'a été omis, èl qu'aucun n'a été répété. Or, 1^ considérons un arrangement quelconque ck . On a pris chaque lettre à soU tour poar former une colonne verticale; on a donc pris en particulier la leltm « . A la suite de cette lettre, on a écrit successivement chaicunedes lettres restantes; on a donc écrit en particulier la lettre k ; ce qui a donné l'arrangement ck . Donc, aucun arrangement n'a été omis.

â"" Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le tableau ci-dessus. Ou ils se trouveront dans une même colonne ver* ticale, et alors ils différeront par la dernière lettre; ou ils se trouve-

roBtrdattSJâ6ax> colbntieéiâiifëi^ntesvebaloi^ iU diflérerMt ^arla première lettré. Dioic^n tdasrles aprangementk cètM«s^ âofft^ dis- IJDCts. .-'•.:•' »• '., '':•'-••■. ■"■v. ♦ ' •'•' •! • *;<••./!• .. î '

Donc enfiU, du a Uen ainsi'' toiis ks arpaiigeweiits 3 k 2 ^ Il reste à en déterminer le nombre. Or, il y a autant4e GdldimeBqaUl y à A^ftfralrfiemenlis i k l .mi lAô' lettres ; c'eàt-à;4rre' tu ;iet il y a fu\^^ ti arràfigemttQlS'âans^haqiie eqlennc^; i\ y d'àoricen-tout w(»ft!^-- 1) rirrÉingements^<2 à2 ,veltron!ai • . - : ^^'

FortA^tfs ïes'ài^raiîgeménts 3à^ 3 ;Pbttr'^la; {IfetiÉrà dé ptèndre lèUr'àHoût c^haqnîé arratigeinéhl' 2 à 2 ', et d%cfH*c?a^sa suite chafeuhë fleism-^ï lettrts-teiantér, «ëqtfJ d^ *

abc

acb

bca

. kla

abd

ncd

bcd ■■ .

. klb ■

abe

ace

bce

. klc

abl

. klh .

On /amra .bief ainsi tpiK léâ.arra^mapts/ 3 i, 3.. , £^ effet :

Jr.Uoi^ift&rw^ftii aî;raA8em^t qjneJpQnqnÇ; Jtf A; / On a pris, à son.^^^-,^i^bjaflu,e, ari:ftp^Jî]jeQtj â à î /pfluç /bi^er une colonne verticale; on a donc pris eh particulier l'arrangement bc . On a écrit à la suite chactrne des lettres restante^ ; oti a donc écrit en particulier la lettre £' , ce qui a doiiné Tat^rangement bck . Donc aucun arrangement nva été omis.

2"" Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le tableau ci-dessus. Ou ils sont dans la même colonne verticale, et alors ils diffèrent par la dernière lettre; «u ils^pntdans deux colonnes différentes, et alors ik diffèrent au moins par l'ordre des deux premières lettres, comme abk et bak .Donc tous les arrangements écnte^onSi^stincCs. . . ; . - r

BQBorieofiûv oB'aibiea^hksi tomsl^aar rangements 3 à 3 . Il reste à «bff^tenvfner le^iiombce. Or, iè y i autant de colonnes qu'il y a A'jarrangeînettteî 2 4 2, c'est-à-dire A«,t ou m{m — 1) ; etv daitis chaque colbnsé^ il y a m-^ 2 arrangements ; il y a donc en^iout' m(m ♦*^ i)'(m --t 2) arrangements 3 à 3 ; et Ton a

La loi de formation de ces valeurs est évidente. Mais on peut la démontrer d'une manière générale. Concevons que nous ayons trouvé le nombre km,n^{ des arrangements n — 1 à n — I , et

qae nous voulions former les arrangements nhn . JPour cela, il suffira de prendre à son tour chacun des arrangements n — 1 à n — 1 , etd'écrire à sa suite chacune des lettres restantes, lesquelles sont au nombre de m — (n — 1) du m — n+l . On formera ainsi autant de colonnes verticales qu'ily a d'arrangements n — 1 à n — 1 , et dans chacune de ces colonnes il y aura m — n^l arrangements. 1** Aucun arrangement n k n n'aura été omis; car, soit, par exemple, Tarrangement abc. . ,gh que nous supposerons formé de n lettres. On a pris à son tour chaque arrangement n — 1 à n — 1 pour former une colonne verticale ; on a

donc pris en particulier Tarrangement abc g .On écrit à la

suite chacune des lettres restantes; on a doncécrit en particulier la lettre h , ce qui a formé larrangement abc gh .2** Aucun arrangement n'a été répété; car, si Ion compare deux arrangements écrits dans le tableau formé comme il vient d'être dit, ou ils seront dans une même colonne verticale, et alors ils différeront par la dernière lettre; ou ils seront dans deux colonnes différentes, et alors ils différeront au moins par l'ordre des n — 1 premières lettres, comme abc, . . .gh et gbc. . . ^ah . *

Donc enfin on aura bien tous les arrangements nàn . Pour en déterminer le nombre, il faut multiplier le nombre des colonnes, ou le nombre des arrangements n — 1 à n — 1 , c'est-à-dire Aff,,„-i , par le nombre des arrangements contenus dans chaque colonne, c'est-à-dire par m — n-f-1 ; on aura donc

Am,n=Am.„-j.(w— » + l) .

Cette formule étant générale, on peut y donner à n toutes les valeurs entières depuis 2 jusqu'à n ; on obtient ainsi

Am^=A„,i.(w— 1)

Am,s = Ato,2 '(m — 2)

Am,4 = ATO,3.(w — 3)

Am,n=Am,n-l.(w — n+1; .

Si l'on multiplie ces égalités membre à membre, qu'on supprime les facteurs Am,2 , Am,3 , Aw,4 , Am,n~i communs aux

deux membres, et qu'on remplace Am,n par sa valeur m , on obtient

Am,n=w(m— 1) (m— 2) (m— 3) (iw— n+1) .

263. Remarque. Le second membre se compose de n facteurs, qui vont en diminuant d'une unité, à partir de m qui est le premier. Ainsi le nombre des facteurs est toujours égal à l'indice n de Am,n ; le nombre des arrangements 2 à 2 est exprimé par

2 facteurs; le nombre des arrangements 3 à 3 est exprimé par

3 facteurs, etc. ; le nombre des arrangements n k n est exprimé par n facteurs.

Exemple I. Combien peut-on former de nombres de 3 chiffres avec les chiffres impairs 1 , 3,5,7,9?

Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 5 objets 3 à 3 ; il est donc égal à un produit de 3 facteurs, dont le premier est 5 , et dont les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est donc

3X4X3, ou 60 .

Exemple II. Combien peut-on former de rubans rayés de 4 couleurs avec les 7 couleurs du prisme ?

Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 7 objets 4à 4 ; il est donc égal à un produit de 4 facteurs, dont le premier est 7 , et dont les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est donc

7x6x5x4 ou 840 .

Exemple III. Six joueurs jouent à un jeu de cartes où l'on donne une carte à chacun ; de combien de manières peut-il arriver qu'ils soient servis ?

Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 32 objets 6 à 6 ; il est donc égal à un produit de 6 facteurs, dont le premier est 32, et dont les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est donc

32 X 31 X 30 X 29 X 28 X 27 , ou 652458240 .

Si le jeu était de 52 caries, le nombre demandé serait

52 X 51 X 50 X 49 X 48 X 47 , ou 14658134400 .

264. Evaluons maintenant le nombre des permutations possibles qu'on peut faire subir à n objets. Les permutations ne différent des arrangements qu'en ce que i'on prend toutes les lettres ; en d'autres termes, le nombre des permutations de n objets est égal au nombre des arrangements de n objets n à » ; c'est-àdire que l'on peut écrire

Si donc on remplace m par n dans la valeur de Am,n , on aura la valeur de P„ . On trouve ainsi

ou P„=1.2.3.... (n— l).n .

C'est-à-dire que le nombre des permutations de n objets est

248 PUISSANCES ET RACmES.*^ ÉQUATIONS m€AllftÉEC;r£Xf6{98NflELLËS:

égal au produit de ta sulle naturelle des ifrombrôs^ depuis 4 jiis4 qu*à n . , '^ ' On remarquera. q^ie» codine d^qa la loravileilos arra^^^n^ents, le nombre des facteurs est égal à » . . .^ m , ^, ., j On aurait pu établir cette formule directement. ' ' , Supposons, en effet, qu'on ait formé les perijautations. dç n — 1 lettres a, t, c, .:.. fc, et que leur nombre sort P„i . Pour former les permutations de n lettres, on prendra chacune des peimatatlons de ti— 4 leitrési -eton y'ifitt-odèira^ la n**"' lettre, / , sucessivement à tentée leis places. Les pet-' i mutations ainsi obtenues seront toutes di^pe^Qs; par elle différeront, ou par l'ordre des n — 1 lettres primitives, ou parla place qu'occupe la n*"* letti-e introduite / . D'ailleurs, auou^fe pét^mutation ne sera omise; car, si l'on considère la permu talion ablc — A- , par exemple, on voit qu'elle provient de la permutation abc k de n— 1 lettres, dans laquelle on a inlrofttfil

/ à la 3* place; elle a donc dû être formée. On aura donc bien ainsi toutes les permutations de n lettres. Or, chaque permutation de n — 1 lettres en fournira n de n lètlt^s;. ^car k: lettre / peut être mise ii n plaees diférenles^; o» aui^«àoacT rJ

Pn=Pn~lXn . v-T

Si, dans cette formule, qui est générale, on donne « h toutes les valeurs depuis 2 jusqu'à n , on obtient

Multipliant terme à terme , supprimant les facteurs communs aux deux membres, et observant que le nombre des permutatii(iis de 1 lettre est égal à 1 , ou quePi=! , il viendra . "7.

Pn=1.2.3.4....M . ■ '. .:

Exemple I. De combien de manières peut-on atteïet à nne'dtti^ gence 5 chevaux désignés? ,/

Le nombre demandé est celui des permutations de S objets^, sa valeur est donc