ou

266. Remarque I. La valeur de Cm,n peut être mise sous une autre forme qu'il est bon de connaître.

Si l'on multiplie les deux termes de C«,„par le produit

ou 1.2.3.4 (m—n) , -

on trouve

p m(m--i)(fn— 2)(m— 3)...(m— n+i)(m— w)(mn— i)...3.2.i

Or, le numérateur est alors le produit de la suite descendante des nombres entiers depuis m jusqu'à 1 , ou, ce qui revient au même, le produit de la suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m . On peut donc écrire

t.m,n— ^ 2,.3....nXl.2.3.... (w— n) *

Et, comme C;„,„ est nécessairement un nombre entier, on voit que le produit de la suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m est toujours divisible par le produit 1.2.3.... n , par le produit 1.2.3.... (m — n) , ^^ par le produit de ces deux produits.

On aurait pu remarquer de même, sous la première forme de

Cm,n 9 que le produit m{m — 1) (m — 2) (m — w-|-l) est

toujours divisible par le produit 1 . 2 . 3 .... n ; ou que le produit de n nombres consécutifs est toujours divisible par le produit des n premiers nombres.

Remarque IL II résulte aussi de Informe que nous venons de donner à Cm,n que le nombre des combinaisons de m objets n à ïi est égal au norûbre des combinaisons de ces mêmes objets m — n à m — n .

En effet, la formule ci-dessus étant générale, on peut donner à n une valeur quelconque moindre que m ; donnons-lui la valeur m — n , c'est-à-dire changeons w en m — » ; il en ré-

252 PUlSSAffCES RTBACINKS.— ÉOtJATlON«tflO\nR^.R«TÈ\'pWSE?fTIKI.LES:

BuUeraque i»— *n sera chmfiè en m-^{m — n) o* fen n , Oil aura donc

Par conséquent Ci„,«=Cm,m-n ,

ce qu'il fallait démontrer.

On aurait pti apercevoir celte propriété directement. Car, si Ton prend n leltres, par exemple, sur m , il en reste m — n ; à chaque combinaison de n lettres répond une combinaison de m — n lettres, et vice versa . Et si les combinaisons n k n sont toutes distinctes, il en sera de même des combinaisons m — n à m — w, et viceversa. Donc ces combinaisons sont en même nombre.

207. Paoblkmr I. Parmi les combinaisons de H lettres a, b, c , ..,,etc., 5 a 5, combien y en a-t-il qui contiennent à la fois 3 lettres déterminées a , b , c ?

Pour résoudre ce problème, concevons que Ton veuille former les combinaisons 5 à S qui contiennent à la fois a ^ b et c . On commencera par écrire ces 3 lettres ; et, à la suite de ces 3 lettres, il en faudra écrire 2 au très, prises parmi les 12 — 3 ou 9 lettres restantes. Le nombre demandé est donc celui des combinaisons de 9 lettres 2 à 2 ; c'est-à-dire

ri . ^^'i 36 .

Si Ton demandait généralement : combien parmi les combinaisons de m lettres n à n , y en a-t-il qui contiennent à la fois p lêtti'es déterminées? on remarquerait de même que, pour former les combinaisons demandées, il faudrait d'abord écrire les p lettres qui doivent entrer dans toutes ces combinaisons, puis compléter le nombre de n lettres dans chaque combinaison, en prenant les n — p lettres complémentaires parmi les m — p lettres non encore écrites. Le nombre demandé serait donc celui des combinaisons de m— p lettres n — pkn—p , c'est-à-dire

Problème IL Parmi les combinaisons de li lettres a , b . c , .... etc. y 5d 5 , combien y en a-t-il qui ne contiennent m a. ni 1) , wi c ?

Si l'on met à part les 3 lettres a, b , c , qui ne doivent pas

ent^'ier (Jans |^s couLbiftaiso^s demandées il. en restera 12 — 3 ou 9 ; le nombre demandé est donc celui des combinaisons de 9 lettres S à S , c'est-à-dire

Si Ton demandait généralement : comiien^ parmi les combinai- :&ofi& de ;m JeUres nâ n , p en Ort-Uqui ne contiennent aucune des p lettres déterminées a , b , c ^ etc. ? on remarquerait deméime qu'en mettant à part ces p lettres qui ne doivent pas entrer dans les combinaisons demandées, il en resterait m — /> . Le norabre^demaiidé serait donc celai des combinaisons de ?n — /? lettres n kn , c'est-à-dire

Problème III. Parmi les combinaisons del^ lettres a , b, c, . . . . elc, , 3 05 , combien y en a-t-il qui contiennent au moins une des 3 lettres a , b , c ?

Si , l'on cherche le nombre total des combinaisons S â 5, puis le nombre dé ces combinaisons qui ne contiennent ni a, ni 6,, ni c , la différence dé ces deux nombres sera le nombre de combinaisons où entre nécessairement Tune au moins des 3 lettrrs a , 6 , c . Or, le nombre total des combinaisons de 12 lettres 3à 5 est

Nous venons de irouver que I0 nombre de ces corobitlaisonâ où ti'êttlrentîiio ,ni * , ni c, est 126 ; la différence 792— 126 , ott 666 , sera donc le nombre demandé .

Si l'on demandait généralement : comftî^w, parmi les combinaisons de m, lettrée' liàn , y en a-t-il qui contiennent au moins l'une des p lettrés déterminées a , b , c , ^^c. ? on remarquerait de même qne le nombre demandé est la différence entre le nombre total des combinaisons de m lettres n k n ^ et le nombre de ces combinaisons qpi ne contiennent aucune des p lettres déterminées, nombre que l'on a exprimé tout à l'heure. Le nombre demandé serait donc

m(m— i)(m— 2) jm—n-^i)

(ffl— p)(m— p— {m—p—n-^l)

. . V -, .. il . -2 ■ :• .« • , , ."

ÎÎ54 PUISSANCES ET RACINES. — ÉQUATIONS BICARRÉE ET EXPONENTIELLES *.

Problème IV. Le lecteur pourra appliquer ces formules à la solution des problèmes suivants:

Si Von donne à un joueur 12 cartes sur 32 , de combien de manières pourra-t-il arriver : l"* qu*il ait les 4 (w; 2° quil n'ait aucune figure; 3^ qu'il ait au moins un trèfle f

(Réponses: l*» de 3108105 manières; 2* de 125970 manières; 3*» de 223088684 manières.)

§ II. De la formation des puissances des quantités algébriques. ^ Formule

du binôme.

268. On nomme puissance w""* d'une quantité le produit de m facteurs égaux à cette quantité.

Cherchons d'abord comment on forme la puissance w""' d'un monôme ; et, soit pour fixer les idées, le monôme ^a^b^x à élèvera la puissance 5®. D'cprèsla définition, cette puissance sera exprimée par

^aWx X 3a^'x X ^a^^x X 'ia^^x X 3a'-ô'a; .

Or, d'après la règle de la multiplication des monômes, il faudra, pour effectuer ce produit, faire le produit des coefficients, c'està-dire le produit de 5 facteurs égaux à 3 , ou la 5* puissance de 3 , qui est 243 . 11 faudra ensuite affecter chaque lettre de la somme des exposants qu'elle a dans chaque facteur ; la lettre a devra donc avoir pour exposant2-|-2 + 2 + 2 + 2 , c'est-àdire 2 X- 5 , ou 10; la lettre b devra avoir pour exposant 3 + 3-^r3+3+3 , c'est-à-dire 3 X 5 , ou 15; enfin, la lettre X devra avoir pour exposant 1 + 1+1 + 1+1 , c'est-àdire 1 x5 , ou 5 .La 5* puissance demandé sera donc

On voit que pour la former il a fallu élever le coefficient du monôme proposé à la 5* puissance, et multiplier par 5 les exposants de toutes les lettres qui y entrent.

En gènérdil, pour élever un monôme à la puissance m , t7 faut élever son coefficient à la puissance m et multiplier par m les exposants de toutes les lettres qui y entrent.

On trouvera ainsi que

(2ab'xy=ma'b^'x'' ; (5a^ôV)*=625«^*ôV« et {6a^bc'xy=2l6a'b'c'x'' .

Si le monôme à élever à la puissance m était négatif, chaque couple de facteurs donnant un produit positif, en vertu de la règle des signes, le produit total serait positif ou négatif selon que le

PUISSANCES ET RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE. 255

nombre des facteurs serait pair ou impair. Ainsi, la puissance w"*"' d'une quantité négative a le signe -[- ou le signe — , suivant que m est pair ou impair.

On trouvera de cette manière

(-fl)*=+a^ (a)»=-a^ (a)*=+a*; {-af^-a' et ainsi de suite.

De même (-3a*6'a?)*=:+81a«6^V ; (— 3a*Paî)^=— 243a^ W .

269. Occupons-nous maintenant de former la m**"* puissance d'un binôme.

On pourrait, étant donné ce binôme, en obtenir par des multiplications successives le carré, puis le cube, puis la 4* puissance, et enfin une puissance quelconque. Mais le but que Ton doit se proposer, est de découvrir une loi qui permette de développer la puissance ^"'"•sans être obligé de passer par les puissances intermédiaires.

Si Ton calcule, par desmuUiplicationssuccessives,les puissances successives d'un binôme très-simple, tel que x-^a , comme ce binôme est homogène, on voit bien que ces puissances seront homogènes ; et, comme il est du premier degré, on reconnaît sans peine que son Cbrré sera du second, son cube du troisième, etc. ; et enfin que sa puissance m'*"** sera du degré m . En sorte que la loi des exposants est très-simple, puisque dans chaque terme du développement, la somme des exposants doit être égale à w.

Mais, quant à la loi des coefficients, on ne peut la découvrir à la seule inspection des résultats ; cela tient aux réductions qui se sont effectuées entre les termes semblables, et par suite desquelles la trace des opérations qui les ont fournis a disparu.

Pour empêcher ces réductions, on commence par multiplier entre eux des binômes dont le premier terme est le même, mais dont les seconds termes sont différents, tels quea?+ a , x-^-b , .T-|-c,etc.

On trouve ainsi :

1*^ Que le produit {x-\-a{X'\'b) revient à ar*+a x-\-ab ; +b 2** Que le produit (x+ûî) {x+b) {x+c) , revient à

x'^-\-ab

+ bc

x-^-abc ;

Alg. s.

3® Que le produit (x--{'a)(x + b) (x + c) (x-]-d) ^ revient à

x^'-\-ab

—ad —bc --bd

A-cd

--abd — acd A-bcd

x-\-abcd

et ainsi de suite.

Or, dans ces développements il y a une loi manifeste :

L'exposant de x dans le premier terme est égal au nombre des facteurs binômes , il va ensuite en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, jusqu'au dernier qui ne contient plus x , c'est- àdire où l'exposant de x est zéro.

Le coefficient du premier terme est l'unité.

Le coefficient du second terme est la somme des seconds termes des binômes.

Le coefficient du troisième terme est la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes.

Le coefficient du quatrième terme est la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes, et ainsi de suite.

Enfin, le dernier terme est le produit des seconds termes de tous les binômes.

270. Il s'agit de démontrer que cette loi est générale. Pour cela, admettons qu'elle s'applique à un produit de m — 1 binômes, et faisons voir qu'elle s appliquera dès lors à un produit contenant un facteur binôme de plus, c'est-à-dire m facteurs binômes.

Soient donc x-^a , x+6 , a;-|-c, x-^d , x^k ,

les m — 1 binômes pour lesquels nous suppposons que la loi énoncée ci-dessus se vérifie. Désignons par Si la somme des seconds termes de ces binômes, par Sj la somme de leurs produits 2 à 2, par Sa la somme de leurs produits 3 à 3 ,* en général par S» la somme de leurs produits w à n . D'après la loi admise, le développement du produit de ces m — 1 facteurs binômes sera

a;'»-*-t-SiX^-*-t-S,a;'»^+S3af"--* . . . . -t-S«ia^^^^

Introduisons un w**""' facteur x-^l , le produit sera

Dans ce développement, l'exposant du premier terme est égal au nombre m des facteurs binômes; l'exposant de x va ensuite en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, jusqu'au dernier où il est zéro , c'est-à-dire où x n'entre pas.

Le coefficient du premier terme est l'unité.

Le coefficient du second terme se compose de la somme Si des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du second terme / du m**"* binôme; il est donc égal à la somme des seconds termes des m binômes.

Le coefficient du terme qui en a 2 avant lui se compose de la somme Sj des produits 2 à 2 des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du produit SJ de la somme des seconds termes de ces m — 1 premiers binômes, par le second terme / du m'*"""; en d'autres termes, il se compose des produits 2 à 2 des seconds termes des m binômes, puisque Sj représente la .somme de ceux où n'entre pas / , et que SJ est la somme de tous ceux qui contiennent / .

Le coefficient du terme qui en a 3 avant lui se compose de la somme Sgdes produits 3 à 3 des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du produit Sj/ de la somme de leurs produits 2 à 2 par le second terme / du w'*""' binôme; en d'autres termes il se compose des produits 3 à 3 des seconds termes des m binômes, puisque S, représente la somme de ceux où n'entre pas / , et que SJ est la somme devons ceux qui contiennent / .

Généralement, le coefficient du terme en a?'"-'» , ou du terme qui en a n avant lui, se compose de la somme S» des produits n kn des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du produit Sn-i/ de la somme de leurs produits n — 1 à n — 1 par le second terme / du /w'*"' binôme; en d'autres termes, il se compose de la somme des produits n à » des seconds termes des m binômes, puisque S„ est la somme de ceux où n'entrent pas l , et que S„-i/ représente la somme de tous ceux qui contiennent / .

Enfin, Sm— 1 étant le produit des seconds termes des m — \ premiers binômes, Sm-il est le produit des seconds termes des m binômes.

Ainsi la loi énoncée étant supposée vérifiée pour m — 1 binômes, est vraie encore pour un binôme de plus. Or,^ elle a été vérifiée pour 4 'binômes, donc elle est vraie pour 5 ; étant vraie pour 5 binômes, elle l'est pour 6 , et ainsi de suite; donc elle est générale.

271. Pour déduire de cette loi celle du développement delà w'*""*

> puissance d'un même binôme x-^a , il n'y a qu'à supposer que

tous les seconds termes a ^ b ^ c ,,... k , l deviennent égaux.

La somme des seconds termes des binômes deviendra égale à a répété autant ie fois qu'il y a de binômes, c'est-à-dire m fois. Le coefficient du second terme du développement sera donc ma,

La somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes

deviendra égale à a* . répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons 2 à 2 avec m lettres, c'est-à-dire T^^. ^^^^'

Le coefficient du troisième terme du développement sera donc égal , m{m — 1) t ^ 1-2 « •

La somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes deviendra égale à a' , répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons 3 à 3 avec m lettres, c'est-à-dire m[m^ ^ (m-~ ^^.^ ^^ coefficient du quatrième terme de développement sera donc égal à ^(^-♦K^-^) ^s

Généralement, la somme des produits n k n des seconds termes des binômes deviendra égale à a" , répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons n kn avec m lettres, c'est-à-dire un nombre de fois marqué par fn(m--i^m-^^)....{m^n+i) ^ ^^

coefficient du (n+l)**"* terme, ou de celui qui en a n avant, lui, sera donc égal à

m{m—{) (m— 2) fm — n+i) n

Enfin le produit des seconds termes des binômes deviendra égal à a*" ; ainsi le dernier terme du développement sera a"* . On aura donc enfin

^ m(m-{){fn--2)....{m--n+{) ^^^^nj^ j^^^

Telle est h formule du binôme; cette formule est due à Newton.

272. Pour appliquer cette formule à un exemple.particulier, il n'est pas nécessaire d'y remplacer m par sa valeur particulière. Il est plus commode d'observer d'après quelle loi chaque terme peut se déduire du précédent; cette loi connue, on pourra développer une puissance quelconque de x-{-a sans le secours de la formule générale.

Le premier terme x*^ a pour exposant celui de la puissance qu'on veut développer.

Le terme max"^—^ peut se déduire du précédent x^ en le multipliant par m , exposant de x dans ce terme, en introduisant le facteur a , c'est-à-dire en augmentant l'exposant de a

d'une unité, et en diminuant au contraire celui de x d'une unité.

Le terme ^^^ ^ ^^"^ P^^^ se déduire du précédent max'^'r^ en le multipliant par m — 1 , exposant de x dans ce terme, en le divisant par 2 , nombre supérieur d'une unité à l'exposant de a dans ce même terme, puis en augmentant d'une unité l'exposant de a et en diminuant d'une unité l'exposant de a:.

Cette loi est générale. Pour le faire voir, considérons le terme général

Pour en déduire le terme précédent, il n'y a qu'à changer n en n — 1 , ce qui donne

On reconnaît ainsi que pour déduire au contraire le terme [n] du terme précédent [w — 1] , il faut le multiplier par (m — n-[-«l), exposant de x dans ce terme, le diviser par n , nombre supérieur d'une unité à l'exposant n — 1 de a dans ce même terme, puis augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de x .

273. Une autre remarque peut servir à abréger les calculs, c'est que~ les coefficients des termes également éloignés des extrêmes sont égaux.

En effet : le nombre total des termes du développement est m+l , puisque le premier terme est x^ , que l'exposant de x va en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, et que le dernier terme ne contient pas a? .

Gela posé, considérons le terme qui en a n avant lui ; ce terme a pour coefficient le nombre des combinaisons de m lettres n à w ou Cm,n . Considérons le terme qui en a w après lui; d'après la remarque qui précède, il en aura m — n avant lui, puisque le nombre des termes qui suivent, ajouté au nombre des termes qui précèdent, doit faire m . Ce terme aura donc pour coefficient le nombre des combinaisons de m lettres m — n à m — n ou C;„,TO— n . Or, le nombre des combinaisons de m lettres m — n à m — n est égal au nombre des combinaisons de m lettres nhn (266, Rem. I): donc ces deux coefficients sont égaux.

On aurait pu arriver à la même conséquence en remarquant que le développement de (a;+a)"* doit être le même que celui de (a-f-ic)*" ; et que, puisque, dans ces deux développements, les

coefficients se forment d'après la même loi, deux termes de même Tang doivent avoir le même coefficient. Or, deux termes qui ont le même rang dans ces deux développements sont précisément deux termes également éloignés des extrêmes dans Tun de ces développements considéré seul.

274. Il résulte de la remarque précédente que si m est impair, auquel cas il y aura un nombre pair w + 1 de termes, tous les coefficients se reproduiront deux fois ; il suffira donc de calculer la moitié des termes; les termes suivants s'obtiendront en récrivant les précédents en ordre inverse, et en y changeant x en a et a en X .

Si m est pair, auquel cas il y aura un nombre impair w + 1 de termes, il y aura un terme du milieu dont le coefficient ne se reproduira pas ; il faudra pousser le calcul jusqu'à ce terme ; les suivants se déduiront des précédents comme il vient d'être dit.

On peut même se dispenser de compter les termes.

Dans le cas de m impair, on reconnaîtra qu'on est parvenu -«u dernier terme delà première moitié, lorsque l'exposant de x ne surpassera plus celui de a que d'une unité. En effet, soit MaPx^ le terme qui termine cette première moitié , le suivant devra être Ma^xP ; mais, d'après la loi de formation, on doit avoir y=j9-|-l.

Dans le cas de m pair, on reconnaîtra qu'on est parvenu au terme du milieu, quand les exposants de a et de a? seront égaux. Car, soit MaPa^ le terme du milieu, le terme précédent contiendra a^^*^+* , et le terme suivant contiendra au contraire a/>+*arg-i Qy, ces deux termes étant également éloignés des extrêmes, doivent pouvoir se déduire l'un de l'autre en changeant ^ en a et a en .T ; ce qui exige qu'on ait p^l=zq-\-l et p — l^^q — 1 , ou simplement p=^q .

275. Appliquons la foimule du binôme et les remarques que nous venons de faire au développement de {x-\-ay .

Le premier terme sera x'^ ,

Pour obtenir le second, il faudra multiplier le premier par 7 , introduire le facteur a , et diminuer l'exposant de x d'une unité, ce qui donne 7ax^ .

Pour obtenir le suivant, il faut multiplier celui-ci par 6 , et diviser par l + l ou 2 , ce qui revient à multiplier par 3 ; puis augmenter d'una unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de a? , ce qui donne 21aV .

Pourobtenir le suivant, il faut multiplier celui-ci par 5 , et diviser par 2+1 ou 3 , ou, ce qui est plus commode, diviser d'abord par 3 et multiplier ensuite par 5 ; puis augmenter d'une

PUISSANCES ET RACINES d'uN DEGRÉ QUELCONQUE. 261

unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de a?, <;e qui donne 35 a V .

Comme l'exposant de x ne surpasse plus celui de a que d'une unité, les termes suivants s'obtiendront en récrivant en ordre inverse les termes déjà inscrits, après avoir changé or en a et tf en X . Ces termes sont donc 35 aW , 21 oV , 7 a^x et a^ .

Ainsi on aura

On trouvera de môme

276. Nous avons supposé jusqu'ici que le binôme à élever à la puissance m avait ses deux termes positifs ; si l'pn avait à élever

.à la puissance m le binôme x — a , le développement de cette puissance pourrait se déduire de celui de (a?-}"^)*" en changeant a en — a . Les puissances impaires de — a étant négatives, et ses puissances paires étant positives (268), les termes de rang impair, qui contiennent a à des puissances paires, seront positifs, et les termes de rang pair, qui contiennent a à des puissafices impaires, seront négatifs, c'est-à-dire que les termes seront alternativement positifs et négatifs. On aura donc

Le dernier terme a*" sera précédé du signe -|- s'il est de rang impair, c'est-à-dire si w^^-l est impair, ou si m est pair. Il' sera précédé du signe — s'il est de rang pair, c'est-à-dire si m est impair.

On trouvera ainsi •

(x—ay—x'—Sax'+lOa^x^—lOa'x^+Sa'x—à' .

(x—ay=x'—6ax^+ 15aV— 20aV+15a*a:*— 6a'^-f a' .

277. Soit maintenant à développer une puissance d'un binôme quelconque, par exemple (2a* — 3aby .

On commencera par poser 2a^=:zp^ 3a6i==g' . On aura ainsi à développer (p — qy ; ce qui donnera

/?^— 5/î+10/?V— lOpY+V? — ?' •

262 PUISSANCES ET RACINES. — ÉQUATIONS BICARRÉE ET EXI>ONENTIELLES I

On aura ensaite

q=iab , g*=9a*6% g'=27aV, g*=8la*6*, «'^=243a^6'^ .

Substituant ces valeurs dans le développement ci-dessus, on obtiendra 32a*0--5. 16a». 3fl6+ 10. 8a«.9a«6«—i0.4a<.27a563 4-5.20». 81a*6«

OU en effectuant les multiplications indiquées^

32a''— 240a*6+720a«6*— 1080a'6'+810a*6*— 243(i^fc^ .

On développerait de la même manière une puissance quelconque d'un binôme donné.

278. Remarque I. Si, dans le développement de (x+fl)*" -, on suppose x=l et a=l , les puissances de x et de a se réduisent toutes à l'unité; en sorte que le développement se réduit à la somme des coefficients. Mais, en même temps, Texpression («+«)*" se réduit à (l + l)*» ou à 2*" . Ainsi donc : to somme des coefficients^ dans le développement de (x+a)"* , est égale à la m**** puissance de 2 .

Par exemple, dans (x^ay on a vu que les coefficients sont

Si Ton en fait la somme, on trouve 128, qui est bien la 7' puis: sance de 2 .

De même, les coefficients de (x-\-ay sont, comme on Ta vu,

La somme de ces coefficients est 256 , qui est la 8** puissance de 2 .

Remarque II. Cette propriété peut trouver son application. Supposons, par exemple, que Ion demande de combien de manières on peut partager m objets en deux groupes. On remarquera que Ton peut d'abord ne rien mettre dans le premier groupe, et mettre les m objets dans le second, ce qui ne peut se faire que d'une manière. On peut ensuite mettre 1 objet dans le premier groupe, et m — 1 dans le second, *ce qui peut se faire de m manières. On peut en mettre 2 dans le premier et w — 2 dans le second, ce qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons

possibles de m objets 2 à 2 , c'est-à-dire ^|^~l ^ . On peut

en mettre 3 dans le premier groupe, et m — 3 dans le second, ce qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons

PUISSANCES ET RACINES o'UN DEGRÉ QUELCONQUE. 263

possibles de m objets 3 à 3 , c'est-à-dire "'J»»-<H»»-2) ^

En continuant ainsi, on voit que les différentes manières d'exécuter le partage demandé sont en nombres marqués par les coefficients du développement de (ar+a)"» . Donc, le nombre total de ma- . nières d'effectuer ce partage sera exprimé par la somme des coefficients de ce développement, c'est-à-dire par 2"* .

Exemple I. Huit personnes sont placées dans deux chambres , de combien de manières cela peut-il se faire?

(Réponse : 2« ou 256.)

Exemple U. On veut mettre 12 pièces de monnaie dans une bourse à deux compartiments; de combien de manières peut-on le faire?

(Réponse: 2** ou 4096.)

Exemple III. Avec un jeu de 52 cartes on propose de faire 2 parts ; de combien de manières pourra-t-on le faire? (Réponse : 2*^ ou 4503599627370496 .)

Remarque III. Si l'on fait x = l et a=i dans le développement de (x — a)"^, on obtient pour résultat la somme des coefficients de rang impair du développement de (x-^-a)"^ , moins la somme de ses coefficients de rang pair. La différence entre ces deux sommes est donc nulle, puisque (1 — 1)"» se réduit à zéro.