Soit maintenant à développer la puissance w'*"' d'un

polynôme quelconque a-f6+^+^+^ + *+' ? ^^^ ûous

désignerons par P pour abréger. Posons

lions aurons

P^={x+a)'^=x^)+max'^-\ ..+ ^|^'^!^^'"|^'^^+^^ ay-»; . . +a^.

Dans ce développement, il faudra remplacer a?"* , a?"*"l , etc., par leurs valeurs. Pour cela, posons

nous aurons x=^b'^y ; d'où l'on tirera, par exemple,

Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer y*"""" , j^m-n-i ^ Q^Q ^ pg^p iQurs valeurs. Pour cela, posons

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264 PUISSANCES ETRACINES. — ÉQUATIONS BICARRÉE ET EXPONENTIELLES:

nous aurons y=c+2 ; d'où Ton déduira, par exemple,

Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer z*"-"-? , ^m-n—p—i^ etc., pjir leurs valeurs. Pour cela, posons

e+....+A+/=ti,

nous aurons z=d^u ; d où Ton tirera, par exemple,

En continuant ainsi, on parviendra à des développements dans lesquels n'entreront plus que les diverses puissances de k-{-l , que Ton sait développer. On obtiendra donc le développement lolal par des substitutions successives.

Soit, par exemple, à développer (a + 6+c)' • On aura d'abord

On aura ensuite

£c«=6»+36*c4-36c*+c^ , Et, en substituant, et effectuant les calculs, (a+6+c)»=a»+3a«6+3a«c+3a6»+6a6c+3acH-^'^+36*c+36c'+c« .

Remarque. On peut encore écrire ce développement ainsi : (a+64.c)»=(a3+65+c3)+3(a»64.a«c+6*a4-6«c+c«a+c«6)+6a6c .

280. On peut se proposer de trouver le terme général du développement de P*" .

Pour cela, il faudra, dans le terme général de (x'-\-a)^ remplacer x*"""" par le terme général de son développement, c'està-dire par le terme général du développement de (y-rfr)"^" . Puis, dans ce second terme général , remplacer y"»— «— p par le terme général du développement de (^r+c)*"-"--^ . Puis, dans ce troisième terme général, remplacer ;rm— »-p— «y ^^^ \q terme général du développement de (w+d)"'-"-"^""^ . Et ainsi de suite.

Pour fixer les idées, supposons cfue P n'ait que les cinq termes a-|-6+c-|-d+^ ; ou que u=:e . «En effectuant les sub-

stilutions dont on vient de parler on trouvera, au numérateur du coefficient du terme général, la suite des facteurs

puis m — n , m — n — 1 , , m — n — p-\-l ;

puis m — n — p , m — n — p — 1 , .... , m — n — p — q-\-\ ; puis m — n — p — q, m — n—p—q — , ...., m — n—p — q — r-f-1 .

On voit que ces facteurs forment la suite descendante des nombres eniiers depuis m jusqu'à m — n — p — q — r-f-l j ou jusqu'à s-}-l ; en désignant par s le nombre m — n — p — q — r . On peut prolonger cette suite de facteurs jusqu'à l'unité, sauf à multiplier le dénominateur par s(s — 1)... .3.2.1 , ou, ce qui re;vient au même, par 1.2. 3.... s .

Le dénominateur sera alors formé du produit