CHAPITRE XVII

DES APPRÔXIUATIOI^S*

370. On est souvent obligé d'introduire dans le calcul des quantités qui ne peuvent être obtenues qu'avec un certain degré d'approximation; tels sont les quotients décinaïaux périodiques, telles sont les racines des nombres qui ne sont pas des puissances parfaites, tel est encore le rapport tt de la circonférence au diamètre qui figure dans une foule d'applications géométriques, etc. Les données du calcul n'étant alors qu'approchées, le résultat final de ce calcul ne peut lui-même être obtenu exactement. On peut, en conséquence, se proposer deux questions: 1" Connaissant la limite de l'erreur commise sur lesdonnées, déterminer le degré d'approximation avec lequel le résultat pourra être obtenu; 2** réciproquement, déterminer le degré d'approximation avec lequel les données du calcul devront être prises pour que Terreur commise sur le résultat soit moindre qu'une quantité assignée à l'avance.

Quoique ces deux questions semblent être du ressort de l'arithmétique, leur solution ne peut être donnée d'une manière satisfaisante sans le secours de l'Algèbre ;c'est'pourquoi nous avons cru devoir en faire l'objet de ce chapitre.

L'erreur commise sur une quantité peut être appréciée de deux manières, ou en elle-même et d'une manière absolue, comme lorsqu'on dit qu'une quantité est approchée à moins d'un 10" d'unité, d'un 30" d'unité, d'un 100" d'unité, etc. ; ou, par rapport à la valeur exacte de la quantité dont il s'agit, comme lorsqu'on dit qu'une quantité est approchée à moins d'un 10" de sa valeur, d'un 30" de sa valeur, d'un 100" de sa valeur.

Dans lepremiercas l'erreur est aôso/w^, et àcette espèce d'erreur correspond un certain degré d'approximation absolue. Dans le second cas l'erreur e^i relative^ et à cette seconde espèce d'erreur répond aussi un certain degré à* approximation relative. Nous consacrerons un paragraphe à chacune de ces deux espèces d'approximation.

' § I. Des approximations absolues.

371. Nous supposerons d'abord qu'une seule des données soit approchée. Nous la désignerons par A ; nous la supposerons comprise entre- a et a + ef ; en sorte que l'une quelconque de ces deux dernières quantités sera une valeur de A approchée à moins de (f, soit par défaut, soit par excès.

Addition. Soit à ajouter à A une quantité exacte B . On a

donc â5+B<A+B<a4-(f+A .

Or, les quantités extrêmes diffèrent entre elles de ef ; Terreur commise en prenant l'une d'elles pour la valeur de a4-B , est donc moindre que ^ , c'est-à-dire que le degré d'approximation de la somme est le même que celui de A.

Soustraction I. Soit à soustraire B de A, on aura

«— B<A— B<fl+(y— B .

Les quantités extrêmes diffèrent encore de<r; donc Terreur commise, en prenant Tune d'elles pour la valeur de A — B , est moindre que (f , c'est-à-dire que le degré d'approximation de la différence est le même que celui de k ^ et elle a le même sens.