VJ

OU, àfomri, ■>■ ' ^5^9'^ " ' ' "■ '■ '"' ^

Remarque. Si l'on demandait avec quel degré d'approximation on iéïî prendra le dividende et te diviseur pour qiie le quotient soit af)proché à mdins d'une quantité donnée e , le problème serait encore indéterminé. On poserait

(6-P)»^' OU (6 p),-hj^p),<« •

On pourrait donner à p une valeur arbitraire (qui rendit le premier terme moindre que «), et déterminer ensuite çc de mamière à satisfaire encore à l'inégalité.

388. Applications. I. Calculera moins d'nn centimètre carrela surface d*un cercle gui a O^^dl de rayon.

En appelant S Taire du cercle, et n le rapport dé la circonférence ail diamètre * , on a **

S=7rx(0»,37)*=7rxO"-%1369 .

11 s'agit de déterminer le nombre de décimales qu'on devra prendre au facteur n , pour que le produit soit approché à moins de Q,0Û01 . Appliquons la règle du n° 373, nous trouverons

Il faudra donc prendre n avec 4 décimales, ou 7r::^3.,d415.... On aura donc

S=0"%1369x3,141S=0"%43007135 ou S=0"».%4300.

en ne conservant que les décimales certaines.

II. Trouver^ à 1000 habitants près^ la population de la terre^ sachant que le quart seulement de sa surface est habite\ et en comptant 1500 habitants par myriamètre carré.

La circonférence du méridien étant de 4000 myriamètres, le

rayon de la terre a pour valeur -^ ou -;jp ; le quart de la

surface du globe, ou la surface d'un grand cercle***, a donc pour expression ^f":;^) ou — — — myriamètres carrés. Multipliant par 1500 , on trouve, pour le nombre d'habitants demandé,

* On a i:=3,1415926535....

*♦ Voy. notre Géométrie théorique et pratique, 4« édition, n® 688.

*** Voy. notre Géométrie théorique et pratique^ 4« édition, n» 702.

Alg. s. 24

Il raulaeterminer aabora pour cela le nombre de âécimales avec lequel on doit prendre J a valj^ur de i^ .Appliquons la règle du n* 377, nous trouverons (eh "p/enanl 3r pour valeur approchée

de n) ••: :. • ' •'» /•:■ «/ 1: imj'I'. ^iit ■<iï /;

^^6000000000. "" r 7r^a6ô6„wi5,^,; {s \ox.v., .^ •' Ti'fôtidiràaonc prfetiatëff kvcce'décîinàléô ,' 6i ir=3,l'4i^92.

N= ^^J^ =çl90p859000 ,

.i^Hàdïns ^rïOOO hàbîtaits. ' / ' ' ^" ■

in^ Ça/(^fer,' 'df'irflimi'irîm dixième de seconde^ le temps w^ 'pfoieràit un hdtpè à iomber dans lé vide' d* une kaiuteur efe lOO'' ,. J« Oif fafi voir, én'Phj^i(|uë,^uiB ^i fôd dë'sigtoè p'ar'ft'lâ^àiitetft- (*B''ëhuW;ipaiî l'Ié'Ietop's ètoployS; éjtjprinié en''sec6n(!è!s/ét"'t)^ 9 le double de Tespace parcooru dans la première seconde, ou 9^8088.... , ona

vi..nn:^rr .. ' ^.■J=fi^c^ ;d'o^ -«^rV/f -.--^:: ^ ..o^ Oïiûs'l'e3ieiûpleplrop'osè,''dà a *oiic ' » " >• ^ «i

'-; .J, '-i. t.. .! ..,/ V *T-y'T^f ^ ^ • ^■'. • .'■- :--'^' • "i ir-

Il s'agit de déterminer léàbmbrè de décimales avec lequel il ftlUd)^ .prejidire 9* , ' pocr qaS' id résultat puisse éir^ oalculé* Â moins

Pour cela, il ff^\ft.4étermijDer <|'^ord4T0QqneUç,approximation doit être calculé ^.quotieql "T* 4 . 1

f'^'En appliquant 'la règlei dti n'^'aSi /et remarquant que; ^

étant plus grand que 20 ^ sa racine esf plus grapàe^ que 4 , ou trouvera j"'-"'^.- ^=" .•'•"•"•> - •■•" . . •• i x

■'ta. ••m:!>. ■•v.^^ii^.jî^^^j" ^^ •^<o^8| ,^ ; /^;"\ , J .^

Ainsi le qufttient devra être calculé b moins de 0,8. Appliquant maintenant la règle du, ii^ 377,' en prenant 9 pour la valeur de ; , en moins, on aura

à moins d*un dixième de seconde. (-"^ '^^^

lY. Calculer^ à tdoim d'ui^ m\(iimèix^!ifâ ckcopiérence du cercle circonscrit à un 'm^té'qui a è" (to crff^!' " ' ^ ,^)Pj'^ljr^ les pKinciçps. poflpig .4f,,G^(^ff ^ * .,jjfi j^ufftjyi # ce cercle aura pour expression yji ; sa circonférence %wrft:c|i&nf;)>p0Or

valeur . -.m. ..,.,- u m

c'est cette expression qu'il s^it de p^Vrï^^ri^ «W^sr^en^QP*, ce qui revient à calculer W^ ^ ^o^ii^s^de ^(^5 ,^, ,^,;^ j,l

D^^i^no.n's ^ar , ^ une, valeur. apM-oçh^e ^^^ 'î. .^.PR{p^,^^;.,j^vï' ,jelp^r,ô,upe valeur appr-oph^ç 4fijV? j\ pawqsj^^^ ^,,^ I«fl fltfaut tpyt^sdeii^f i, I^lïnfi^e ()lç|'^çr^ur/Hïm^^

Posons . (ïP+J«<0,0005 .

Pour satisfaire à çett/ înJgaWiè;*prêncfÀVd*aDord p de manière que le terme ap soit moindre. .%uç j9,000.$^.;.,jjoj^C(;ij^^qr.^g^

en remarquant que a est moind^ qife 4. Nous tirerons de là

il .On 6sAi%fe^a> à férti&rii^ tiâtie-^oondièiiop 'e».'C|alcct1âilibi\/^<{iinkrttil de 0,0001 , ce qui donne (=1,4142. L'inégalité devienlàloÀ

- ••• •^- ' •: a><'0;oD0i^^«tkMf«2^<:*),*6^^^ *^''" ''"'^

é'0ù « X 1,4142<0,0005— iiX«,000il ;" ^^ '^ ''''•'' ^'^'^^^

ort ep.,çieW^n^ poWvOi.la faIôuÇi i^r, plu5«çsnfle^.qppr(j^r> iiSfin cle diminuer le second membre ," . i . ».

«><l,4l42<0,00Ô5— 0,0001 ou i<0,ÔOÔl rij^uni Si Ton satisfait à c^tjain^ali|ë, o^ sa^slerjai^ Yo^a'ori à rinëgalitë primitive. On tiré de k ''''^

ini^r. il»; ^^ii- ^nî U'j < ç ;»L • Voy. notre GéoméiWéiofiq'iU d ^raéJîH^ V^dîtiâb, no» 283 et 849.

• 11. iaa^r^idonc prendre n avec 5 décimales. On aura ainsi àli^otoflé/uflumlHipf*!».'.. i. . .;,! i-i ..,.;. .x|«- «i

H") i ~ ^ ''il! • /'i ',' ■' ' j •' k • ' f ' I

' ' ' §11. Des approximatioia M&tites . " * ' : : • i - . : * • t

^î n-.|Kil ••,1. î [ ^- .';; !,•.,... : 1 . . ... ,,., ..• . .

^ 3^1i^.J^,u^. ayons dit au commencement d,^ ce chapitre qu'on

f)ouvail évaluer Tertettr commise sur une quantilô^rparrap/wf^fft àyàièuf'iBilïctê èeeetCexivantilé^ et que Tenrear a(qsi^yâJué€\}é^if tmë^^t^iUpT^/ôtit?/; eiommë lorsqu'on dit <qu'iine quantité est otUe^f tftfë3-*fo1n&tfiin 20* v'd'm 80% dun 40Ô*. fie^6ff.Mlmr. :. Soit A une quantité qu'on ne peut obtenir qu'^ap^rofLii^f tive/^ ment, et soit e la limite de Terreur absolue commise sur cette quantité. Le rapport de cette limite d^^rreur ^ à la valeur de la

^^i^jftité A , 9U la fraction^ j sera la limite de Terreur re-

Nous la représenterons, dans ce qui va suivre,.pàr la lettre m; ensflfk}ft^,nousaj^^o^^.^ .. . . ,, , \ ^^^^^

mus représenterons par a' l'a vialeur approchée de A j par défauJt, en sorte qu'on aura ■ ' " •'

/^..:.r;, . ■ ;. •. . a<A<a-f-fîiA , ^ .'"..,

^ ^ Enfin, nous représenterons pài* E' la limite *e Tei*reiir àtedoe commise sur le résultat, et j[)ar /i la lim^ite de'4*err8ar relative èortés^cvidiitite; . . ,

Remarquons, avant d'aller plus loin, que si N représente un nombre entier approché à moins d'une unité, la limite de Terreur

relative est i^ . Or, si n' désigne le nombre des cbifffes^de N,

on a N>l(y*~*, et par suite ;

|insi la limité de l'erreur relative eèt moindre qu*tine unité' décimale de l'ordre tiiairqitS par le nombre des chiffres^ moins «n, du nombre

]\ èi'pàr^é^^ ïist un nombre approché à moin» d'une

/uij1t'é!^1à limite de l'erreur relative est moindre qfu'une imité du o*' oraVe, puisque ïé nombre donné' a 7 cB^

Plus généralement, considérons un nomîbre diècïma1api)t*'ôch6 à moins d'une unité de Tordre p, du à*riiiîi]!sâe ^' :^ si N désigne

la valeur que prend ce nombre quand on 9ttppHi[d0 M 'vlrgol^rlé

N nombre décimal lui-même pe^ut s'écrire squs^ la forme j^ ; en

sorte que la limite de Terreur relative est, d'après la définition, le

quotiwtde :^j^^ ^, c-esl^à-iïre ^

par le Dfèmbi'e donné dam kquel oii:&isiftf(mmi tawgjalQiiQfy ^( n réjprésen^^ toUjows lendmJDoredescfaifiiireeiTde N ^^^pu xà^ïwi^S décimât dùimé) cë'^l^ui retient/ au* même, (mk ahif(}mm^.(i^4es^f

N>;10«^, d'où : '.i : .^■^ ;. -V.M ;. ',u/ A ùi?.

'•'■'' N-'^ÎÔ*^ »*■ •• '•• î' •! i M "J -.îMiii-up

ainsi la limite de terreur relative 'est twcové moinàré qtturieïinHiè décimale de l'ordre marqué par le nombre des chiffres, moins un^ Mi nombre déùmdldon'né? " ""?' ••"^*^' .-n n-Min..,:V|-.f c! ?.,>,. /^

Par exemple : si les mmhv^s hm.tili^' ^%imii^ '^ 0,004580716 , etc.,;SQnt approchés chacun à moins d'une unité du dernier ordre décimal exprimé, la limite de Terreur relative est •mpindr^ qu'^e unité d.écima|e4Ui6' ordre, puisque ces nombres ont 7 cbiffres. ' \ V; '!: ! V ...7.' '';'. '''.*, -

De même : si les nombres 341,7 — 3,417'— 6,0341^ sont approchés à moins d'une rfnilé dû dc/rnîeï ordre décimal exprimé, la ilimite de l'erreftr relative eqt mpjindre w'unç ,ui}ité. déciça^le du 3^ ordre, .p»i^que ces. n,^l)res ont 4 chiÇres/ ; , ' ' '

Gela posé, passons en revue les principales opér£^tipn$<p*^n,p§5i): atoif &■ effectUcK •"- • ■(• r ^ -.•••) '••:■• '1^ uî. .,« .-.i.r.i :■...» /j'

' 300. Addition^ Soit, à ajouter B à A: o»,aurîi ^ , j

a+B < A+B <dt4-^A4^B / ■ « • 1 -:' '/ u a-.) La différence des quantités extrêmes étant mK , on a

. ',. ; .,È<e.mt V: d'où" '''êà:^''\!^'t^'^ r^ ';"[<!

c'esti-à-ndire j^mMimteâfi f erreur ref^j^^fif^^ 0ij^taï,

.jBistmmHdfisiqM^la tiwi^ dei',erreurrelqtm (;ôfr^iseisiJi.r inexacte^ multipliai par le: rapport entre l(^, quantité înex^ somme des deux quantités. • . 1 . >*«

33% QifsmtomiiaHnBEBi^i

DeTinegalilé [ij cidessus, on tire à fortton .ui i.i. « mm.

c'est-à-dire que /a /imftc de V erreur relative commise sur la somme est moindre que la limite ^e tffrèùr relûtivé\commise sur la quantité inexacte, règle plus simple et plus commode à appliquer.

301. SousTRAcmoN. l.i'Soit i sottstéaire jjB '^de À ; on aoi-aa— B<A— N»<a+mA— B ;

donc, ,^E<:mA: dou t — 5 ou vf*<w.7— -^ , ,

c'est-à-dire que la limite de l'erreur relative commise sur le réêutfàt est moindre que la limite d04*iêtrl^ur,rMati9êiciknrnisBèûr4é^niké inexacte^ multipliée par le rappprt entfe /^ quantité inexacte et la différence des deux quantités^ ;,,',./, Si, par exemple, la valeur de A , approchée par défaut, est 45,7

on a w=:^ ; , si . B;=a8,9'»> , pn/^ûr^. '; -1 «^i'

Si A et B sont peu différents l'un de l'autre, on voit que la limite â!QrH^|f<^uff f«laiiv«();eutvétr0i<}ons«d^â!t>l6 ; «n âoKte.qa'im n^ d&tt s^uaei^Mir 4n\ayôc ria^trvatd'vUn. cés.ullai &pprâ<o;hèiofl^<i^iloa^.él6 ofelep^ii^p*^r.4iffèP(ftnae,M ..\ •■. .v^.,-.-. r .-. .. -^v'-. m-, -a r.\ •• '. rU'-..

II. Si Ton avait à soustraire A de B , l'erreur serait \U même; I»^ilQHef♦defia'Hd»3W^?eôlïtraire.^ ! : : . lu Mi ... .j

' à^ii.' MumpLiCATiôNJ^'SôV mulliplièr X 'par B ; on aura flB<ÂB<aB+wAB ,

d'où ; B<mAB. .$t ~ <^ f*<t»u . • /î:.

c'est-à-dhj^ ^jue.tofe'wiif^ de^Merréur mtitive pjommisA mt te pirodtUt^ est moindre qtiè la limité de l'erreur relative commise sur le facteur inexact. '^'^- " '''- .^'''-'^'^-l -

DES lAfftRûXmATIOMKiv 373C

leur, son produft'iiriàï^iTiimfere^eféonqàje^

à fortiori^ approché à moins de ^^ de 8?ii yaleur j

Si la valeuî^ dé A ; approchée par défetii, iest^ 18,59.., celte

quantité A est approchée à^moihs de.Tgg^ de sa valeur; il e^o

sera donc de même à fortiori du produit ile A par un nombre quelconque. '''-' ' '^ ' '-'• ''' ^'''"'^' ''* -^^ ■jhh.^nujm