X2.— OU ^^ OU
et, à fortiori^ moindre que ,g .
Si la valeur de A , approchée à moins de 0,00i est 5,341 ; l'erreur commise, en élevant au carré sera moindre que
0,001 X 2 X 5,342 ou que 0,010684 ,
ou, à fortiori, moindre que 0,011 .
37d. H. On peut demander avec qu«l degré d'approximation il
faut prendre A ; pour qu'en Télevant au carré Terreur commise soit moindre qu'une quantité donnée c .
On vient de voir que l'erreur commise en formant le carré est moindre que ^(a+â)^; posons
On tire de là <^<2(^) ^ [2]
c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur A doit être moindre que la limite de l'erreur quon veut commettre sur son carré, divisée par le double de la valeur approchée de A , par excès.
Ici encore la valeur approchée a-f-ef dépend du degré d'approximation que l'on cherche et n'est, par conséquent, pas connue à l'avance ; mais on peut mettre à la place de a + e^ une quantité plus grande ; si l'on satisfait à l'inégalité dans ce cas, l'inégalité [2] sera satisfaite à /brrtort. On peut donc remplacer a + <^ P^r une valeur la plus simple possible approchée par excès.
Si, par exemple, A est égal à 7,364364364.... on pourra remplacer a par 7,4 ; et si l'on veut que le carré soit approché à moins de 0,001 , on écrira
*^0»00i ^^ i ^<'7r:r ou i<'
En prenant A avec 5 décimales, on remplira à fortiori cette condition.
Si A est égal à 329,7273...., on pourra remplacer a par 330 ; et si l'on veut que le carré soit approché à moins de 0,0001 , on écrira :
En prenant A avec 8 décimales, on remplira à fortiori cette condition.
380. Racine carrée. ^ Soit à extraire la racine carrée de A ; on aura
La différence entre les quantités extrêmes est ^a-j-cT — \Ja ; en appelant e l'erreur commise^en prenant une de ces quantités extrêmes pour la valeur de \Ja , on aura donc
e<C\Ja-\-â—\Ja •
Multiplions et divisons à la fois le second membre par yja+â+sja; il viendra
et, à fortiori, ^^vJa '
c'est-à-dire que terreur commise sur la racine carrée est moindre que la limite de l'erreur commise sur le nombre proposé, divisée par deux fois la racine carrée de la valeur approchée de ce nombre par défaut.
Si, par exemple , la valeur approchée de A , à moins de ^^
est ^ , on aura
OU, en mettant pour la racine qui entre au dénominateur sa valeur approchée par défaut, ce qui est permis puisque cette substitution tend à augmenter le second membre,
Si la valeur approchée de A , à moins de 0,001 , est 11,522, on aura
ou, en mettant pour le radical du dénomhiateur sa valeur approchée par défaut 3,39.... ,
381. IL On peut demander avec quel degré d'approximation il faut prendre A pour que la racine carrée soit approchée à moins d'une quantité donnée f .
Digiti
362 QUESTION» I»V£HS£8 :
On vient de voir que la limite de Terreur commise sur la racine est moindre que — r= ; posons donc
2\/â nous satisferons à fortiori à la condition proposée.
On tire de là 6<«.2^ , [3]
c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur A doit être moindre que la limite de l'erreur qu'on veut commettre sur sa racine, multipliée par deux fois la racine carrée de la valeur approchée de A , par défaut.
Ici encore, cette valeur approchée de A n'est pas connue, puisqu'elle dépend du degré d*approximation que l'on cherche ; mais on peut la remplacer par une quantité moindre ; si l'on satisfait à l'inégalité dans ce cas, l'inégalité [3] sera satisfaite à fortiori.
Si, par exemple, on a A ==31 8,272727.... , et qu'on veuille obtenir sa racine à moins de 0,001 , on pourra remplacer a par 318 , et ^a par sa valeur approchée par défaut 17 . On devra donc avoir
(r<0,001x34 ou â<OftU .
En prenant A avec deux décimales, on satisfera à fortiori à la condition.
Si l'on a A=:0,047 12712.... , et qu'on veuille ohtenir sa racine à moins de 0,01 , on pourra remplacer A par 0,04 et yja par 0,2 ; on devra avoir alors
<r<0,01x 2x0,2 ou (y<0,004 .
En prenant A avec trois décimales, on satisfera à fortiori à la condition.
382. III. Remarque. Lorsqu'une quantité est plus grande que l, il suffit^ pour obtenir sa racine carrée avec n chiffres décimaux exacts j de connaître cett& quantité elle-même avec n chiffres décimaux exacts.
En effet, on a alors «=7ô;r i ^^ A>1 ; on peut donc remplacer a par 1 dans l'inégalité [3] , et écrire
Si donc la quantité A est donnée avec n chiffres décimaux
DES APPROXlMAtlONS. 363
exacts, c'est-à-dire si â est moindre qu'une unité du »**■• ordre décimal, la condition sera remplie à /br/tm.
Plus généralement, sia est l'exposant (positif ou négatif) de la plus haute puissance de 100 contenue dans A , on aura
.a>100« ; on posera ^<TÔ^^
et, en satisfaisant à celte inégalité, on sati sfera à fortiori à la condition [3]. Car on aura Tô;^^^on< m ^ <m '
C'est-à-dire qu'tV suffira de prendre A avec un nombre de décimales marqué par le nombre n de décimales quon veut obtenir à la racine diminué (algébriquement) de l'exposant a de la plus haute puissance de 100 contenue dans A .
Si, par exemple, A =::= 350,709.... , on aura a=:l , et il faudra prendre A avec n — 1 décimales . Si A =51678,023... , on aura a = 2 , et il faudra prendre A avec n — 2 décimales. Si au contraire A =0,0317 — , on aura az= — 1 , et ilfaudra prendre A avecw-|-*l décimales ; et ainsi de suite.
383. Lorsqu'un nombre entier a 2n+l chiffres^ on peut, sans connaître les n premiers chiffres à droite, obtenir sa racine carrée à moins d'une unité.
En effet, on a alors e=l et A>10*'» ; on peut donc remplacer a par 10*" , et par conséquent \/a par 10" ; et écrire
Or, si Ton retranche les n premiers chiffres à droite du nombre, ou, ce qui revient au même, si, ne les connaissant pas, on les remplace par des zéros, on commet une erreur moindre que 10" , donc on peut, malgré cette modification, obtenir la racine à moins d'une unité.
384. Jusqu'ici nous -avons supposé qu'une seule des données était inexacte ; cherchoas maintenant ce -qui arrive lorsque plusieurs d'entre elles ne sont qu'approchées. L'erreur commise varie alors suivant le sensde l'approximation de chacun des éléments du calcul; mais, afin de ne pas multiplier les règles, nous n'examinerons, dans chaque cas particulier, que l'hypothèse la plus défavorable.
Addition. Le cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de même sens: soient A et B deux quantités à ajouter; soient a et 6 leurs valeurs approchées par défaut, Tune à moins de a ,
364 QUESTIONS DIVERSES t
Tautre à moins de ^ ; soit enfin e Ferrear commise sur le résultat. On aura
6<B<6+p , doù, en ajoutant, ce qui est permis.
Les quantités extrêmes différent ie<i^-\- p ;on a donc
c'est-à-dire que l'erreur commise sur la somme, est moindre que la somme des limites des erreurs commises sur chacune des quantités ajoutées.
Si, par exemple, l'une des quantités est approchée à moins de
^z et l'autre à moins de ^^ , la somme sera approchée à moins de
3^+g5,c'est-à dire à moins de ^q •
La règle serait la môme, dans le cas le plus défavorable, pour un nombre quelconque de quantités.
Si, parexemple, on fait la somme de 10 logarithmes, approchés chacun à moins d'une demi-unité du septième ordre décimal, l'erreur commise sur la somme sera moindre que 5 unités de cet ordre dans le cas le plus défavorable.
Remarque. Si plusieurs quantités sont approchées au même degré d'approximation, leur moyenne, dans le cas le plus défavorable, est approchée au même degré.
Soit, eneffel, â la limite de l'erreur commise sur chaque quantité; si elles sont en nombre n la limite de Terreur commise sur leur somme sera nâ dans le cas le plus défavorable ; en divisant donc par n pour prendre la moyenne, on aura â pour la limite de l'erreur commise (374).
Si, par exemple, on prend la moyenne entre un certain nombre de températures estimées chacune à moins d'un dixième de degré, celte moyenne sera approchée elle-môme,àmoins d'un dixième de degré.
Si un certain nombre d'observations donnent la valeur d'un angle, chacune à moins d'un quart de minute, la moyenne de ces observations sera approchée à moins d'un quart de minute.
Et ainsi de suite.
385. Soustraction. Le cas le plus défavorable est celui odi les
DKS APPftOXIMAtlONS. 365
erreurs sont de senscoatraire. Supposons qu'on ait, en conservant les mêmes notations,
b>B>b~p , on pourra retrancher membre à membre, ce qui donne /ï— i<A— B<a+a— ft-f-p .
Les quantités extrêmes diffèrent de a+j3 ; on a donc
c'est-à-dire que r erreur commise sur la différence est moindre que la soMfne des limites des erreurs commises sur chaque quantité. Si, par exemple, la quantité à soustraire est approchée par défaut
à moins de ^ , et que la quantité dont on soustrait soit appro chée par excès à moins de ôq , la limite de l'erreur commise par excès sur la différence, sera ^+^7; ou ^ .
586. MuLTiPucATfON. Le cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de même sens. Si Ton a
ff<B<6 + P , on peut multiplier membre à membre, ce qui donne
fl6<AB<a6-f (7l3-|-6a-fap , et par conséquent, ^<<i|5-[-fta-|-a(3
Le plus ordinairement, le terme a]3 sera négligeable vis-à-vis des précédents, et l'on pourra prendre pour la limite de l'erreur commise sur le produit
e=:aP-{-bK ,
c'est-à-dire la somms des produits obtenus en multipliant chaque facteur par la limite de l'erreur commise sur Vautre,
Si, par exemple, la valeur approchée de A à moins de z^
est g^, et que la valeur approchée de B à moins de xx soit
, la limite de l'erreur commise sur le produit sera
60 '30 ' 30*60 "" dSOO "" 60
IWK ii'/'r»! wî/(/cp,iii/ 'M
366 ^QUESTIONS DIVERSES. î
î.q^l^iiife^fai}f,japprQchea,ôei,.B 'tft.mQJpsMjdefO*<)01îisoitM©^3^^j. , la limite de l'erreur commise su^iIq pfqdj^Jtseiiiit.i.; ii u.>*n *»h. .]•>
3J4><0,()0!;f 0,2^4x0,01 ou . Oç00535 ,
c'est-à-dire moindre que 0,006 .
'^î ftlrrf«QiM'.îSi rbn'iïe-mànd'aït dvéC(ïuel deÀ-é'd'^âbpy&itoàiidll^il ^ftlbt {k-etidi^é lè^ 'dob'ti^fe fiôiït ^\ieie pr^Àd'ùïr^ôVÉâppi^cfté'â'ttbï^^ d'une quantité assignée « ; Té pï^ôfelètaiè'sei^aiit 'frïffëtèfriiihè' On
' \ii'aii$'oïi!vdit'ijtié l'ôri péul danoèr â à'\ {)âr éxcip^ilé- lirië. Valeur arbitraire (qui rende le terme fta ' , et ménie Ba', * raidind^b* què'e ) et qu'on pourrài<4él^rmmer-ensuîlô. p^de manîère à satisfaire
loQ67l-ftiv9stoNj>Lé €as:{^plu8 âéfiaTorabletasttCiel^laà'Ies er^^rs sont de sens contrarrei Supposons 4i>6n ait*' m . i -« .] ; : ./
"'' ' b>B>b-p: / on^tl(Â/r/kdivisfek'méM/rtàÀeinbreU ri r. î^mi ;l
Ecrivons que Terreur commise e est moindï-e que la flîffié'rence aie^ilAntités'f!fit!?eme)B,iriou5Burdfts*' '■ ^ ''"'i ^^ - ^V il
ïCî'^qt-^rtâinç qviQffrreiif€opm.i^ mrle qm>tmt S0im mûind^rf^e la sqfime des produits obtenus- en mnitipliant chaque^ terme de la dipi- , àhiC'par là limité dé l* erreur bommise sur t'aulife, divisée par le càm db Immlêurtippradiéêdu divisènr par défaut. ■ '• '* 1 • *; • j Si, par exemple, la valeur approchée de A par défaut à^HMims de 0,01 est 11, 24:j,-'et' que l'a Valeur approchée de B par excès à moins de 0,1 soit 28,7 ,1a limite de l'erreur commise
sur le quo tient sera „
41,24X0^1+28,7 XO,0V '^^ 1,411 "'^ î^' "
