Racine CARRÉE. On a \/a<\/A<\/(i-+-Àw

\^ . « • - ^. -1 donc E<sfâ^pmk:'^sja ou E<^77^ (voy. le n" 99ff) ; • '^

delà ;^ ou ^<fyf , ,..;,:,

c'est-à-dire que la limite de l'erreur relative commise sur là rdcihe ' d'un nombre est numdre que /^ moitié de la Hmite ie fêrf9un tHar tive commise sur le nombre méme^ multipliée par la racine carrée du. rapport entre ce nombre et sa valeur approchée par défaut. ^

Mais, comme ce rapport diffère ordinaireanfini très^peii^de runilâ, I

on peut écrire

c'est-à*dire que la limite de l'erreur relative commise sur la racine d'un nombre est sensiblement égale à la moitié de la limite de i'errewr * relative commise sur le nombre même.

396. Pour donner un exemple du cas où deux données sont*: inexactes, supposons qu'on ait à faire le produit de deux facteurs qui ne sont qu'approchés. Soient

û<A<tf4-mA , A<B<ô+^^B ;

multiplions membre à membre, nous aurons

ab<C^6<ab-\-mkb-\-nBa'{-mnXÈ .

On a donc

E<mAô~|-nBa+mnAB ,

d'où -^ ou i^<m.^-\-n.j-\-inn\

mais comme les rapports | el | diffèrent généralement très-

DES ADP^QXIHAI^IÔ)!^. I ,.. 37^ Tl,

c'est-à-dire que la limite de V erreur Tdative commise sur le produit est semibfi^ment égale à l(i.,^Qmme^des l^mftes,d^§^ WW?> ^f^f»H-?^o S commises sur îeb'deucci facteùrsi\\'' , '[ ''^' " \ ^' \,'"^ \'

397. La simplicité de ces règles peniiel'dsp-«trfti46¥<iat^k^tâ *p)aj9^''>'> grande facilité lcf^[OT5]tions vpversc^.^^ Ay.i.^n oOr,

I. Avec combien de décimales faut-il pren dre le nombre 3,141593^5>^)..') P^W q^^ son narré. sofi fppfpi^é Oi) fj^a$»a (hh^nh

ÎÔ5ÔÔ ^^^^^'^^^ / I

Puisqu'en élevant un nombije an carré, )a liiii)ie de Terreur relative^ftsls^eç^ib^emenl dpublép.^(af9^4), il^audr^jj^^ij^^^ ^9^br(p ,.

proposé àanoins de ç^^j^^-^a ^^gttgj' de^ça-^tlEiléuF* v. sM^'^^iui u\» \^

11 suffira pou^* çeI^.de.ïM'çp^r^.(^^^e d^qçi^ç^,;,|(faf,W,<\pp^ljj;p,^,,, 3,14tK .eità{q)ro6héià(moMiB'de''^t^v'aô ^a^M^leuri ^nf rr . « .-«ul/

De plus, on devra supprimer au résultat tous les chiffres qui exprimeraient une quantité moindre que ta 10000'' partie de ce résultat. . . , . ^ < , \ 1 ,, . i . .

Qff trouvera km%\ t 9^8090 .' r •' ■' ' ^ ^ ^ ^"^^ ^*^* ^'

II. Avec combien de décimales faut-il prendre le nombre 6S7iS787i.i.4 pour quêoa racUte durée mit^approekéB énlèin^)éllii\

j^r^ de sa valeur? ^ , , '. ,„ - . . \ .

Puisque, lorsqu'on extrait^ la racine* carrée d'un nombre, la limite de Terreur relative est sensiblemÇjUt divisée par. 2 (398),

il suffira de prendre le nombre proposé à moins de rrr^

ou de rrrr desa,yaleur. piï.rempliraceUecopdltioij en prenant ce nombre avec une décimale; car le nombre 657,8 est app^^oph^é ^,, > à moins de -zzzz de sa tMeuf . «î - /a .1

On trouve 25 poux, la iiàrtje edli^pe de 1% racinte ; on pourra ,3 [j donc arrêter Topération dès' qu'on 'arrivera à un cKiffre qui exprimerait «ne q«a{Dit^lô moindre qtie la 10000® . partie de 25, c'està-dire dès qu'on arrivera à un chiffre exprimant moins'de 0,^25. '"''

37Ç. . QuççTWN?, , piysiifi^ ,;,

P»r, ^n?i^qi»ei»t^ H, ^n^^ 4«, ç«lcfll|er, \&. dtjffrp, 4^ jo^jl^^i^f^ ,p^ trouve ainsi i

à moins ae ^^^ de Ja valeur àe ce résultat-. ./| ' . - ,•

308. Nous avons insisté longuement sur. les calculs approximatifs. Il est rare, eti effet, que lescôiiimençaàtkaieht des idées nettes sur cefiuiet. Us s'imaginent, d'ordinaire, qu'i\s approcljent de plus en plus du résultat lorsqu'ils écrivent un nombre de plu^' eii prus graiftd de déermales & sa droite, quel que sojt le degré* d'apprax(h»> matiôn. Si, dans un produit de deux fticteurs. Ils <)i^.l pris Je «i^ltiptictnde à'moihs d'un millième et le muUipIicatéur \ moini d'un ceplitoip, ils se figurent avoir obtenu le .produit à w>^^ d'|i)i% cent-millième. S'ils veulent avoir 3 décimales à la racine carrée ' d'un ftombre, ils croient nécessaire d'avoir ce nombre avec 6 décîûïalcs ^ ; -ei ainsi de sufite. Nous espérons qu'en lisaiit alttenlîve^ mdO:t ceciiapitne« et en appliquant chaque règ}eà ^n.4?er:tai^;^olabre d'exemples, ils rectifieront leurs idées. . ,

Nous appellerons particulièrement l'attention du lecteur sur Tes approximations relatives^ les seules qui intéressent réellement les applications ; il imjiorté moin«,'^n çjïet, des^ivoi/si une longueur, par exemple, est approchée à moins d'un centimètre^u d'un milllwètreiMque de savoir si elle.est -approchée .à;mi)in$-d;uq c»tième ou d'un millième de sa valeur. Or, cette JDQaoi^FQ^'e^t^er:: Tapproximation n'est pas seulement la plus utile, c'est encore celle qui conduit aux règles les plus sioUples et les plus faciles à appliquer, ainsi qu'on a pu s'en convaincre déjà.

Pour en donner une dernière prei^ve,, n,ous,.repren4rons, par laQonsidératiQo>des erreurs relatives, la ^olutipn des problèmes dun«388. •

I. Dans le premier, on a à calculer l'expression «r x0"^^1369 à moins d'un centimètre carré. Gomme cette expression est moindre que 4x0%136& ou qqe 0%5476, m peut.p,ceftdtreîpqu(r:linMte

de l'erreur relative que l'on veut commettre ^^ ; lOa atteindra

* Remarquons en j^assant que^ s'il en était ainsi, certains calculs deviec^draient impratiicàbies. Pour obtenir, par exemple, le rapport it àe la clreonfëréocd an diamètre, à moins d'une unité du cinquième ordre décimal, on a 11 ;;^cmes carrées consécutives à extraire; pour avoir la dernière avec 6 décimales, 'i^ faudrait avoir la précédente avec 12 décimales, * la précédente avec 24, la précédente avec 48 ; et en remontant ainsi^ on trou,^e qu'ti faudrait calculer la première racine avec 6144 décimales. Taudis cÀi'il suffît, en récdité, de calculer chacune d'elles avec 6 décimcdes exactes. ( Voy. notre Géométrie théorique et prçUique, 4<» édition, no# 302 et 39a.) ... « J /:

cè'^ésdtàt étt fàisfaril en sorte (^ne rert^edr Relative 'doil^ mëindrej

que jj^ ; et, d'après la règ;lç:dp n® 302, il suffira de preiiàre

ff avec la même erreur relative, ^e qu'on obtiendra ei) prenant 4 décimales. On aura dond, comme an û°' Sôë, • <. ' ^ '