III. Résoudre les deux équations x*+y*=a* et log x + % y=b

On tire encore de la seconde xy={0^ ; d'où a?y =10** . .

Posons a?*=u et y*=t? , nous aurons à résoudre les deux équations

t**+t?*=a» et tir =10»* ,

ce qui rentre encore dans la question traitée au n"" 2S2.

Ayant obtenu t» et t; , on en extraira la racine carrée et Ton aura les valeurs de a; et de y .

405. Étant donné un polynôme entier par rapport à x , tel que Mx*"+Nx'»4-P^''+6tc. , trouver le reste de la division de ce polynôme par x — a .

Le diviseur étant du premier degré, le quotient sera un polynôme entier du degré m — 1 par rapport à a? , et le reste sera indépendant de a; . On aura donc, en désignant ce quotient par Maf^* +etc. , le reste par R,

"Ma^+Na:»+Pa:P+etc. = (a:— a)(Ma:*«-*+etc,)+R .

Dans cette identité, si l'on remplace x par a , les deux membres resteront égaux ; or, le facteur x—a deviendra nul, et le facteur M"*~*+ ®*^- » prendra une valeur finie, puisque x n'entrant pas au dénominateur, il ne peut devenir infini par aucune valeur finie de x : d'ailleurs le reste R ne changera pas, puisqu'il est indépendant de a? . On aura donc

Ma'^+Na^+PaP+etc.^R ;

c'est-à-dire que le reste de la division du polynôme en x proposé^ par X — a , est le résultat qu'on obtient en remplaçant x par a dans ce polynôme.

Si Ton divisait par x-^a , qui revient à x — ( — a), on aurait pour reste

M(— a)«+N(— a)«+P(— a)P4-etc. ,

ou le résultat qu'on obtient en remplaçant x par — a dans le polynôme proposé.

Remarque. Ce théorème démontre immédiatement les caractères de divisibilité de a:"*±a"» par x±:a ,

Soit ar*"-}-^"* ^ diviser par x^a ; le reste sera ( — a)*"-f a"» . Il sera nul quand m sera impair.

Soit arj-f-a^ à diviser par x—a ; le reste sera (-j-a) ""-^a"^- . Il ne pourra jamais être nul. .

CfetOlt DE PROBLEMES. àSâ

Soit ar"» — a"* à diviser par a?+a; le reste sera ( — a)*" — a"» . Il sera nul quand m sera pair.

Soit enfin a?"» — a"* à diviser par x — a; le reste sera a^ — a*" . Il sera 0ul quel que soit m .

§ IL Problèmes de Géométrie *.

406. Trouver un triangle rectangle dont les trois côtés soient représentés par trois nombres entiers consécutifs.

Soient x — 1 , a? et ar+l ces trois nombres, on devra avoir

(x+iy=x'+(x—iy' ou a;*— 4a?=0 ,

d'où x=0 et* 07=4 .

La seconde valeur seule satisfait; les trois côtés sont donô représentés par les trois nombres 3, 4 et 5 .

407. Diviser un cercle en moyenne et extrême raison par une cir- . conférence concentrique.

Soient R le rayon du cercle donné, x celui dn cercle cherché ; la surface de ce cercle sera nx^^ et celle de la couronne comprise entre les deux circonférences concentriques sera 7r(R* — x*). On devra donc avoir

7rR*:7ra?'::7ra?*:7r(R'— ,T*) ou R^:x^::f:R^—x^ ,

d'où a;*+RV— R*=0 ,

et • x=±^J^Â^

La seule solution admissible est

Si Ton veut que ce soit la couronne qui soit moyenne proportionnelle entre le grand cercle et le petit cercle, on devra poser

d*où R*— ar*=zhRa:.

On en tire pour x quatre valeurs, dont deux doivent être rejetées

* Voy., pour les principes sur lesquels repose la solution de ces problèmes, notre Géométrie théorique et pratique, 4« édition.

Alg. s. 25

384 QUftSTiONS DlVBRSBfi *.

parce qu'elUs BQjïi 9;^atives, et ane treizième paroeqpi'ëllei est plus grande que R; il ne reste donc qu'une solution , >i .

Remarque. Cette râleur est celle du plus grand segment du rayon divisé lui-môme en moyenne et extrême raison.

408. Trouver la hauteur d'un segment sphérique^ oonnaismvU sa' surface totale et le rayon de la $phère.

Soient R le rayon de la sphère, x la hauteur du segment, et ^a* un cercle équivalent à la surface totale donnée. La surface de la calotte est 27rRr ; c elle du cercle de base est irr* , en appelant r son rajon. Mais r est moyen proportionnel entre les deux segments X et 2R — X du diamètre; on a donc r*=:a;(2R — x). L'équation du problème est par conséquent :

2jrRaj+fra:(2R— ar)=ira» ou hS^x—x^=a'^ ,

d'où a:=2R±V4R^— 0* .

II est évident que la seconde valeur peut seule convenir. Pour qu'elle soit réelle, il faut qu'on ait a<2R , ou que le rayon du cercle équivalent à la surface totale du segment soit moindre que le diamètre de la sphère. En d'autres termes, il faut que la surface donnée soit tout au plus égale à la surface de la sphère, condition qu'on aurait pu prévoir.

409. Diviser un trapèze en deux parties équivalentes ^ par une parallèle aux bases.

Tout se réduit à trouver la longueur de cette parallèle. Désignons-la par X . Soient a et fr la grande et la petite base du trapèze. Si Ton prolonge les deux côtés non parallèles, on formera trois triangles semblables, dans lesquels b , a? et a seront des côtés homologues. Chacun de ces triangles pourra être représenté par le carré de l'un de ces trois côtés. La partie supérieure du trapèze sera donc représentée par a?' — 6', et la partie inférieure par a*— flp* . Ainsi on devra avoir

j^^^b^—a'—x^ , d'où x=d^±^ •

On voit que la solution ne dépend pas de la hauteur du trapèze.

IL Diviser la surface convexe d*uu tronc de cône en deux parties équivalentes par un plan parallèle aux bases.

Ce plan coupera la surface du tronc de cône suivant une circonférence. Tout se réduit à trouver son rayon. Désignons-le par x;

cmvt 'DE PiK)BiièBfÉS; ââ5

geiealiR^t -f Ub rayons des demc bases. Ètt rafsbiiMnt cotetnë ci-dessus, on «trouvera de méïâe • " -'[ •'' ^ '

JIL Diviser le volume d'un tronc de cône en deupo parties équifa^ tentes par un plan parallèle aux bases. , , . ;

En conservant les mômes notations on trouvera, à l'aide de raiaonneménts analogues,

Rg+r» .

410. I. Trouver l'expression de la surface convexe d* un tronc de^ cône en la considérant comme la différence entre deux cônes.

Soient R et r les rayons des bases, A le côté dû grand) cône, a celui du petit, a le côté du tronc de cône, lequel^ équivaut à A — a • La surface du grand cône aura pour valeur wRA , celle du petit wra .La surface S du tronc decûne aura donc pour expression

S=7r(AR— ôr) .

Mais on a A:a=R:r , d'où A=V • Substituant, il vient

S="^(R^-r')= "^(ft~;)(^+^) =.(f-a)(R + r)

=w(A— a)(R— r)=7ra(R+r) ,

qui est l'expression connue.

IL Trouver V expression du volume d'un tronc de cône, en le considérant comme la différence de deux cônes.

Soient toujours R et r les rayons des deux bases ; H la hauteur du grand cône, h celle du petit, z=:E — A celle du tronc; enfin V le volume du tronc. Le volume du cône entier aura pour valeur |3rR*H ; celui du petit \nr^h . On aura donc

V=|7r(R*H-r*A) ; mais on a R:r=H:A , d'où H= — . Substituant, il vient

V=lî(R'-r^) = 3-%(R-r) (R^+Rr+O

= |7r>î(R*+Rr+r*) .

C'est l'expression connue.

396 QUESTIONS DIVERSES t

411. Une sphère etunciflindreAiMposéi sur un.méme plan boriizontal^ on. propose de^^les couper par un secowl plav^ parallèle au prefiiier^ d0, telle sorte que les volumes interceptés entre les deux pLns soient entre eux comme m est à u ,

Soient R le rayon de la sphère, r celui de la base du cylindre, et X la distance des deux,4)lans horizontaux. Le volume du segment de sphère compris entre les deux plans aura pour expression ^a^^-^^w) 5 et la portion du cylindre comprise^ entre les mta.es platis aura pour expression nr^x . On devra donc avoir

irx^(R—{x):7tr^x=m:n , d'où, en supprimant la solution x=zO ,

nx(K—\x)=imr^ ou nx^ — 3nlte4-3wr*=0 .

Là condition de réalité des racines est

9n*R*— 12wnr*>0 , ou 3nR*~4wir*>0 ,

ou

■<Wt

Si elle est remplie, Téquation aura deux racines positives. Mais, pour que les deux solutions conviennent à la question, il faut que la plus grande soit moindre que le diamètre 2R de la sphère. En écrivant cette condition on a

412. I Déterminer^ dans une sphère^ un segment à une base^ dont la surface soit à celle du cône de mém£ base et de même hauteur dans un rapport donné m .

Soient R le rayon de la sphère e t x la hauteur du segment; le rayon de sa base sera \Jx{iR — x) (408) ; et le c6té du cône, étant moyen propo rtionn el entre la hauteur x et le diamètre , aura pour valeur \JlRœ . La surface de la calotte sphérique aura pour valeur iirRx ; celle du cône

ir.yjx(m—x).\j'î^ OU bien nxs/m{2R—x) .

On devra donc avoir, en supprimant les facteurs communs «• et x,

m{m—x) , d*où x=2R.-^ .

La valeur x=0 , qu'on a supprimée en divisant par x , est une solution illusoire. *

Pour que la valeur obtenue soit positive, il faut qu'on ait m> 1 . On aura alors a: < 2R .

U. Déterminer le segment de manière que son volume soit à celui du céfiè de'mémekàuteur^ damim rapport doimévm. , \ . i» **

Le volume dû segment a potir expression ^«'^^(SR'^j^);' et celui du cône {nx('iR—x),x ou ^nx\lK—x) . Oii dietra donc avoir, en supprimant les facteurs communs, ^^n et x^ \

3R—x=mCm—x) , d'où a^r^R.^^Lii^

Il faut nécessairement que Ton ait m>l ; et, pour que a: soit positif, il faut qu'on ait en même tomps 2w-^3>0 ou m>l . On aura alors a:<2R .

Le rapport w a un minimum, | , qui répond à x=0 .

413. Inscrire dans un cercle un rectangle dont la surface soit un maximum.

Soient R le rayon du cercle, ar et y la base et la hauteur du rectangle, A la surface ; on aura k=zxy[ et a;'-j-y*=4R* . Éliminant y, il vient a:* — 4R^j:*+A*=0 .

La condition de réalité est 4 R* — A* >0 , d'où A <2R» .

Le 'maximum de la surface est donc A=2R* ; ce qui répond à a:*=2R* ou x=RyJi , et donne y=R\Ji .

Le rectangle demandé est donc le carré inscrit.

414. L Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface convexe soit un maximum.

Soient R le rayon de la sphère, x le rayon de la base du cylindre, y la moitié de sa hauteur, et Tra* un cercle équivalent à la surface convexe du cylindre. On aura *

ar*+y*=R* et inx . 2y=ffa* ou ixi/=:à^ , d'où 2xy=^ .

En faisant usage de la méthode indiquée au n^" 2S3, en trouvera

La condition de réalité est R*— y>0 , d'où a*<2R* et

7ra'<2ïrR* .

La surface du cylindre a donc un maximum 2;rR* , égal à ]a moitié de la surface de la sphère, et qui répond à ic:=y=-;R^2.

IL Inscrire dans une sphère un cylindre dont la surface totale soit un maximum.

En conservant les mêmes notations, et en désignant par i^a^ la surface totale du cylindre, on aura

[11 a:*+y*=R* et 27rx.2y+2ffa:^=7ra* ou i^xy+ix^=a^ . [2]

'388 QUESTIONS diverses:

MaltiplioDs l'équation [1] par' a' , Téquation [2}.p)^ I^^M.iPf retranchons la seconde de la première ; il viendra

ou en divisant par x^ ^

.fl«g) -4R«g)-f««-2R«=Q . , ,.,,[31

Pour qiie le rapport - soit réel, il faut qu'on ait :

4R*— a*(a*— 2R*)>0 ou a*— 2RV— 4R*<0 .

En égalant à zéro le premier membre de cette inégalité, et y regardant (I* comme l'inconnue, on verrait (i71) ^qu'il se décompose en deux facteurs, et qu'on peut écrire en conséquence,

Le second facteur étant essentiellement positif, il faut, pour que l'inégalité soit satisfaite, qu'on ait

a*<R*(l+VB) .

Dans le cas du maximum de surface, on aura donc

a*=R*(l+V5) . d'où ;ra*=7rR*(l+^5) .

Dans ce cas, l'équation [3] a deux racines égales (172); et l'on en tire

En combinant cette équation avec l'équation [1], on en déduit pour or et y les valeurs

^=Ri/^±^ et y=Ri/^^ • \i^,* Trouver le nombre des côtés d'un polynôme qui a n dia-

Soit X le nombre des côtés ou des sommets. De chaque sommet, on pourra mener autant de diagonales qu'il y a de sommets, moins 3 ; car le sommet que l'on considère est joint au sommet qui précède ou qui suit, par un côté et non par une diagonale. Chaque sommet fournira donc x — 3 diagonales ; et, comme il ya ar sommets, on obtiendrait ainsi x{x — 3) diagonales. Mais comme il est aisé de voir que chacune d'elles serait ainsi comptée 2 fois, le nombre réel des diagonales sera

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CHOa D^ PHOBLàMES â89

La première valeur seule répond à la question.

§ III. Problèmes élémentaires de Physique et de Mécanique ^.

416. Trouver te diamètre d'un boulet de 24 kilogrammes. Soit a? ce diamètre, exprimé en décimètres; le volume du boulet exprimé en décimètres cubes sera

Or, on trouve dans les tables de densité, que ladensité de la fonte est 7,207; c'est-à-dire qu'un décimètre cube de fonte pèse 2^,207. En multipliant donc ce poids par le nombre de décimèlires cubes contenus dans le volume du boulet, on aura son poids. Egalant enfin ce poids au poids donné 24\ on aura

|7ra;^ 7,207=24 d'où x=^-

itX7,207

En employant les logarithmes, on trouve x=i '****", 85276. . ., ou, à peu près, 0"", 185.

417. // faut 19 feuilles d'or, de forme carrée, et de 19 centimètres de côté, pour faire le poids d'un gramme. Quelle est leur épais^ seur ?

Soit X cette épaisseur, exprimée en fraction du décimètre. Le volume de chaque feuille, exprimé en décimètre cubé, aura pour expression (1,9)*. x . La densité de l'or battu est 19,362 ; le poids d'une feuille, en kilogrammes, sera donc {\,^)^x, 19,362. En égalant le poids des 19 feuilles à 1 gramme ou 0,001^ , on aura donc

(l,9)'.a7. 19,362. 19=0\001 ou (19)M9.362.a:=0,l ,

En employant les logarithmes, on trouve

a:=0'^*%00000075299 ou à peu près a:=0'°",0000753

Il faudrait plus de 13000 de ces feuilles pour faire l'épaisseur d'un millimètre.

418. Trouver le diamètre d'un fil de platine, pesant 1 gramme, et qui a un kilomètre de long.

* Voyez, pour les principes invoqués, le Traité de Physique de M. Péclet.

Soit X le diamètre cherche, exprimé en fraction du dëeimèife.* Le volume du fil considéré comme un cylindre, sera \ wxMOOOO , en décimètres cubes. La densité du platine tiré à la filière étant 21,0417 , le poids du fil, exprimé en kilogrammes, sera \ TTxMOObOx 21,0417 . On devra donc avoir

;-ira:M0000.21 ,0417=0,001 d'où x=d^^:^

On trouve, en opérant par logarithmes, ar=0*'**,000077878

ou a:=0— ,0077878 ....

419. L On enfonce dans l'eau^ par le sommet^ un cône de bois de sapin ; de quelle fraction de sa hauteur devra-t-il plonger pour se maintenir en équilibre?

SoientA sa hauteur, orla quantité dont il plonge, et d la densité du sapin. Le poids du volume d'eau déplacé devra être égal au poids du cdne. Le volume plongé et le vsiume total sont deux cônes semblables, qui sont proportionnels aux cubes de leurs hauteurs; on pourra donc les représenter par kx^ et kh^ .Ainsi on devra avoir

kx^Xl=kh^Xd , puisque la densité de l'eau est 1 . On tire de là

x=h \jd ou i==^\[d .

Pour le sapin, onad=0,55 . On aura donc |=v^^0,55. On trouve, par logarithmes, ^=0,81932.

Le cône devra donc plonger des g environ de sa hauteur.

II. De quelle fraction de sa hauteur le même cône devrait-il plonger y pour l'équilibre, si on renfonçait par la base ?

Soit toujours h la hauteur. Appelons y la portion de cette hauteur qui devra dépasser le niveau de l'eau. Le volume extérieur à l'eau pourra être représentée par ky^, le volume total par M®, et e volume plongé par k{h^ — y^) . On devra donc avoir

k{h'—y')xi=kh\d;

d*où y=h^T^d,

On remarquera que, pour que ^ soit réel, il faut qu'on ait rf<l .

CHOIX DK l«OBiBMI^ 391

Lahawtew^quei'pa cherche est égale à h — y • on a donc x=li—h^l — d ou |z=l — ^T^,""r

Pour le sapin, c'est-à-dire pour d=0,$ô, 05 trouve |;=:O,?330^. . .,

Le cône devra donc plonger, dans ce cas, d*un peu moms du quart de sa hauteur.

420. Une sphère creuse faite d'une matière dont la densité est d .,, est remplie d'un gaz dont la densité est ^ ; quelle est la condition pour ^ que cette sphère puisse s élever dans l'air? (On donne l'épaisseur e de l'enveloppe.) -;,

Soient R et r les rayons extérieur et intérieur de la sphère creuse; et supposons Ijss densités d et eJ rapportées à celle de l'air. En exprimantquele poids de l'enveloppe, augmenté du poida du gaz contenu, forme une somme moindre que le poids de l'air déplacé, on aura . .

\^{^'-r')d+\nr'S<\n^\ d'où ^^(d—{)<r\d—^) ,

r>Ry/g

mais r=R — e\ en substituant on aura donc

' R— e?>RY/|5J d'où R>

Vd~s

Si, par exemple, la matière solide était du cuivre, et le gaz de l'hydrogène, on aurait pour la densité du cuivre rapportée à l'eau 8,788 ; mais la densité de l'eau rapportée à l'air, est le rapport de deux poids égaux d'eau et d'air, d'un litre, par exemple, ce

qui donne -r-x- ; on aurait donc pour la densité du cuivre rap- 1,0

portée à l'air -7^ ou 6760 . On aurait ensuite pour la densité de l'hydrogène 0,0668 . Supposons en outre a=0°001 , il viendra

V 675fl y 6759,9;

En effectuantles calculs indiqués, on trouvera R> 20", 1.

392 QireiiTjwS' divsrsss^ :

,421. J)enx corps tombent du même point dans le vide, mm. à m intervàtie de temps è . On demande au bout de qiul temps ils feront distants de m mètres.

Soient E l'espace pai-couru au bout du temps t par le premier corps, et e l'espace parcouru au bout du même temps t par le second, lequel n'aura marché réelle^entque pendant le temps t — ^ , on aura, en vertu des lois de la chute des corps:

E=Jyf* et e=\git-ây.

Mais E — e=: m , on aura donc

m={g[t^-(t-êy]=igi^tê-^^) d'où ^=~+f.

Si par exemple, ^=0\ l et iii=10" , en se rappelant que Sf=0», 8088 , on trouvera t = 10% 24 .

422. Un corps est lancé verticalement dans le vide avec une vitesse initiale v .Au bout de quel temps sera-t-il à une Hauteur h?

En appelant t le temps cherché, on aura, d'après les lois dû mouvement vertical des corps dans le vide,

h=vt-\gt' d'où j=!>±Vlî!z:M.

La condition de réalité estt?* — ^gh> . La hauteur h a

donc un maximum h^=^ , qui répond à t=- .

Si la condition de réalité est remplie, on a pour t deux valeurs positives qui conviennent toutes deux à la question. La plus petite se rapporte à Tascention du mobile et la plus grande à la descente, qui commence à l'instant où le mobile est parvenu à la hauteur maximum,

428. Un observateur laisse tomber une pierre dans un puits et perçoit le bnnt de sa chute t secondes après. On demande la profondeur du puits , sachant que le son parcourt a mètres par seconde.

Soit a: la profondeur demandée. L'intervalle de temps i observé est la somme du temps employé par la pierre à parvenir au fond du puits, et du temps employé par le son à parvenir à l'oreille de l'observateur. Le premier de ces deux temps a pour va-

CHOIX ofi pRcnuLÈiifift. 393

leurW— , epive^^ e:^\gt^ . Le

second temps a pour valeur ~ . On a donc

Posons yjx=y , d'où x=y^ , il viendra

La première valeur convient seule à la question. On aura donc

Si, par exemple, on prend <i=340" et qu'on suppose ^-^5", on trouvera a;=107",S8 , à un centimètre près.

424. L Un poids P est équilibré par un poids Q dam une telance fausse : si l'on change le poids P de plateau, il faudra un poids Q' pour lui faire équilibre. On demanda dans quel rapport sont les longueurs des deux bras du fléau.

Soient a et 6 ces deux longueurs. On a dans le premier cas

Pa=:Qb ,

et dans le second Q'a=Vb .

Multipliant ces deux égalités termeàterme et supprimant le facteur commun P , il vient

Q'a'=Qb' , d'où 'asf^=b\jQ ou a:b=yjQ:\/^ ,

c'est-à-dire que les longueurs des bras du fléau sont en raison inverse des racines carrées des poids qui faisaient équilibre au même poids P , lorsqu'il était appliqué à l'extrémité de chacun de ces bras.

IL Deux poids égaux se font équilibre dans une balance. Si l'un des deux bras du fléau augmentait d'une quantité a , il faudrait 'pour r équilibre que le poids correspondant diminuât de p ; et si ce même bras diminuait de h , il faudrait que le poids corr spondant augmentât de q . On demande la longueur du bras du fléam et le poids qui y est suspendu.

Soient X la longueur des bras, et y le poids qui y est suspendu ; on aura : : :

. (x+a) {y—p)=xy et {x—b) (y^q)=xy ,

ou . ay — px=ap et qx — by=bq .

On tire de ces équations

^ab {p-\'q) __ pq{a+b)

aq—bp ^ aq—bp '

Dans le cas où on aurait 6=a , il resterait

42S. Un pendule simple^ dont la longueur est l , a fait un certain nombre d'oscillations dans un certain temps; et l'on remarque quil en aurait fait n de plus si on l'eût raccourci de la quantité a . On demande pendant combien de temps il a oscillé y et le nombre d'oscillations qu'il a faites.

La durée d'une oscillation d'un pendulesimpledont la longueur est / , a pour expression

En nommant donc x le nombre d'oscillations qu'il a faites dans le temps inconnu y , exprimé en secondes, on aura

mais on aura, par une raison analogue,

Éliminant y , il vient, après avoir divisé par tt et multiplié V^r \fg , ^

xyj~l=(x+n)sfr^ y d'où x= J^^/^-l^

et, par suite.

y=nn \/ -:r^ — ;==

Si, par exemple, on a 1=1'^ , a=:0",36 , et w=20 , on trouvera

a?=80 et y=80\247....

ou à peu près 80 "t .

426. 1. Un gaz occupe un volume Y , sous la pression f et à la température t , à quelle température faut-il l'élever pour qu'il occupe le volume Y sous la pression P' ?

Il résulte de la îoi de Mariotte et de la loi de Gay-Lussac, que, pour une même masse de gaz, la quantité

vp

i+at

reste constante (a désignant le coef&cient de dilatation). En nommant donc X la température cherchée, on devra avoir

VP VP' j, . , , /j , aV'P'

Si, par exemple, ^=^^ ^ p^^3 ' ^^ ^ = 10° ; comme

on a 0=0,00366 ; il viendra a:=104\4 .

n. Le coefficient de dilatation des gaz est 0,00366 quand on prend pour point de départ le volume à 0" et quon se sert du thermomètre centigrade. Quel serait ce coefficient^ si on se servait d'un thermomètre qui marquât ol degrés pour la glace fondante et p pour Vébullition de l'eau^ et que l'on prit pour point de départ le volume du gaz à n degrés de ce thermomètre.

Puisque Tintervalle Pt-« répond à 100^ du thermomètre

centigrade; 1 degré du thermomètre proposé en vaut - — du

thermomètre centigrade; n — a degrés (qui est le nombre de degrés au-dessus de la glace fondante correspondant au point de départ proposé), valent donc (n— a)r — - ou lOO'^^^ degrés du thermomètre proposé.

Celaposé, soient v le volume du gaz à cette température de point de départ, V son volume à la température de rébullition et v^ son volume à la température de la glace fondante. On aura

En appelant d'ailleurs x le coefficient cherché, on aura

399 QDKSTIONS DIVKaSBS^e

De ces trois éqaatioQK oa Un T - -

d'où X *'^''

^— a)-|-tOOa(«— «)

Si, parexemple, on sesertda thermomètre de Farenh&it» etqu'oa prenne pour point de départ le volume du gaza 50® de ce thero^)mëtre, ce qui répond à peu près à la température moyenne de* l'année, on aura a=32 ,p=212 , n = SO^ "d'ailleurs a = 0,00366 ; on trouvera ainsi

427. On a compté 11 secondes { entre iinstant où l'on a aperçu la lumière résultant de l'explosion d'une pièce d'artillerie^ et tinstant où l'on a entendu le bruit de cette explosion. On sait que cette pièce était placée à 4000" de distance. On demande la température au moment de r observation.

La formule qui donne la vitesse du son dans Tair est

V=333»Vl +0,00366. f ,

t désignant la température exprimée en degrés du thermomètre

centigrade. D'après l'énoncé on doit avoir VXy=4000 , puisque V est Tespace que le son parcourt dans une seconde. On tire de là V=^; par conséquent ?^=333 ^1+0,00366 . t, d'où t=n\87 .

428. On demande le nombre de demi-tons moyens contenus dans l'intervalle de deux sons musicaux^ dont l'un répond à a vibrafions dans mie seconde^ et l'autre à b vibrations dans le même temps.

Le nombre demandé est Texposant de la puissance à laquelle il

faut élever la quantité y^2 pour produire le rapport ^ ; en

d'autres termes, c'est le logarithme acoustique de ce rapport. On a donc

{W=l d'où .=Ûo££±^ .

Si, par exemple, on a a=2700 et 6=1800 , auquel cas l'intervalleconsidéré est une quinte juste, on trouvera

CHOIX m% ramcteK». 3^7

ou un peu plus de 7 demi-tons moyens. Cet interrAlle est donc un peu plus élevé que la quinte tempérée, qui est de 7 demi-tons moyens exactemant.

429. Un corps se refroidit dans l'air, V excès de sa température sur celle de l*air était primitivement de iO^ ; au bout de 12 minutes cet excès est réduit à 5° ; on demande dans combien de temps il sera réduit à 2^ .

L'excès de température étant faible, on peut admettre la loi de Newton. En appelant T Texcès de température au bout du temps ^ , Tp Texcès primitif, et m un coeiBcient constant, on a

Appelons x le temps cherché, exprimé en minutes, nous rons les deux équations

au-

'' et 2= ''

d'où Ton tire 12m+log5i=:l et wu:=log 2+1 , et en éliminant m ,

a;=12.7^=^r^=27',8631.... ou 27' 52" environ .

430. Un corps est placé à une certaine distance au-dessus de la surface du globe ; cette distance est telle que, si elle augmentait de h , Vattraction terrestre diminuerait d'une fraction m de sa valeur. Quelle est cette distance?

Désignons par x la distance actuelle du corps au centre de la terre, par R le rayon du globe, par g Taccélération due à la pesanteur à la surface du globe, et par y celle qui est due à l'attraction terrestre à la distance x ; ces accélérations mesureront l'attraction à la distance R et à la distance x .

On aura donc

y:gfz=R«:x* et j/— yw:flf=R*:(a:+A)^ , De la première proportion, on tire

y— aj» > et, en substituant dans la seconde, il vient

25^^if^:^=R*:(a;+A)* , d'où («+*)» (l—m)=«* ;

398 QUESTIONS DIVERSES : GHOll DE PROfiLEMEâ.

ei, en extrayant la racine carrée,

(X'\'h)\/l — m=x , d'où x= , ^ r-rr— •

Par suite »=j,.(^-^^=-j .

Si l'on a, par exemple A=:R et ^=25 1 ^^ trouvera

a:=4R et »=^~fl' .

431. Deux corps célestes^ dont les masses sont m ^^ M . sont à une distance d l'une de l autre : en quel point de la ligne qui joint leurs centres faudrait-ii placer un troisième corps^ pour quil demeurât en équilibre sous l'attraction de chacun des deux premiers ?

Soient m' la masse du troisième corps ; x sa distance au corps dont la masse est w ; d — x sera sa dislance au corps dont la masse est M . On devra donc avoir

mm' Mm' ^ ^,^^ ^(^^^y^^^, . [jj

X* ~(d et, en extrayant la racine,

(d — x)yjm=x>jill ; d'où ^ <^V^

Vm+v^ 1+y/l

S'il s'agit, par exemple, de la lune et de la terre, on aura, en nommant R le rayon terrestre,

d=60R et -=88 ,

d'où l'on tirera a;=5,77988...R ,

c'est-à-dire que le troisième corps devrait, dans ce cas, être placé à une distance de la lune un peu inférieure à 6 fois le rayon terrestre.

Remarque. En extrayant la racine des deux membres de l'équa' tion [1], on n'a pris que le signe + devant chaque membre, attendu que, le point cherché étant supposé placé entre les deux centres, xei d — x doivent être de même signe.