CHAPITRE VIII

DES 0 1\V.\T1T ES IKBATIOS SELLES DU SECOND DEGRE, DES IjUASTITES IMA- (.CVAIRES, HT DE LA DISCUSSION DES PROBLÈMES DU SKCUND 1JEGRL.

§ ], Des ([iirmlitcs in-atinniielles du str'ond degré;

197. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parfait, on sait <nic sa racine carrée ne peut élre exprimée exactement ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire; mais que l'on peut en approcher aussi près qu'on le désire. Ainsi une expression telle que y 2 représente une quantité dont la valeur ne peut être assignée exactement en nombres , mais qui a néanmoins une existence réelle, puisqu'on peut toujours trouver deux quantités numériques, différant entre elles d'aussi peu qu'on le voudra, et entre lesquelles elle soit comprise. Une pareille quantité est ce qu'on appelle une quantité incommensurable, si on la considère sous le rapport de sou évaluation numérique, ou une quantité irrationnelle, si l'on ne s'attache qu'au signe \J par lequel elle est représentée.

Une quantité telle que \liab , dans laquelle a et b sont des quantités Numériques quelconques, est encore une quantité irrationnelle. On pourrait bien, à la vérité, trouverpour a et b des valeurs numériques telles que 3«i devint un carré parfait, auquel cas y'Aab deviendrait rationnel et commensurable ; mais comme cela n'a pas lieu pour toutes les valeurs qu'on pourrait attribuer ha et à b , il convient de traiter l'expression y'3aô comme si le radical [12] ne pouvait jamais disparaître, c'est-à-dire qu'il convient de la traiter comme si elle devait rester irrationnelle pour toutes les valeurs de a et de b .

Généralement, toutes les fois qu'un radical du second degré porte sur une quantité algébrique qui n'est point un carré parfait , alyèbriquement parlant, c'est-à-dire indépendamment des valeurs particulières qu'on peut attribuer aux lettres qui y entrent, l'expression doit être regardée comme irrationnelle , bjen que pour certaines valeurs particulières attrib uées a ux lettres, elle puisse cesser de l'être. C'est ainsi que \fa'-\-b t doit être considérée comme une quantité irrationnelle, attendu que u'-\-lr ne peut

être ni le carré d'un monôme, ni celui d'un polynôme; et cela, quoique certaines valeurs particulières , attribuées à a et à 6 , ou à l'une des deux seulement, puissent rendre a'-j-fi* un carré parfait, ce qui arriverait, par exemple, pour h — 'ju , auquel cas

n'-f-ft* se réduirait à et serait le carré de .

Nous allons nous occuper , dans ce paragraphe , des règles suivant lesquelles les irrationnelles du second degré doivent être introduites dans le calcul. Pour cela, nous commencerons par étendre aux quantités incommensurables quelques théorèmes fondamentaux qui n'ont été supposés démontrés jusqu'ici que pour les quantités commensurables.

108. I. Un produit de deux facteurs incommensurables ne chanye pas, dans quelque ordre qu'on suppose lu multiplication effectuée.

Soitàmultiplier,parexemple, <JÏ par v'B . Il s'agit de faire voir que le produit est indépendant de l'ordre des facteurs.

Pour cela , soit a une valeur de y 2 , approchée par défaut à

moins de i,ensorteque i/% soit compris entre a et «4~ -

Soit de même p une valeur approchée de y' 5 au môme degré d'approximation.

Les quantités a et S étant commensurables, on a «Xp=pX« .

Lesquantités et p-fi étant également commensu-

rables , on a de même