DU SECOND DEGBË A DEUX INCONNUES

deux solutions :

x = 4-fy avec y=5-f\ .

.osées, maintenant, deux équations simples, ;ond degré; par exemple :

^ + ^ = 289 [1], xy = 120 - [2].

(La seconde équation est du second degré , parce que les incon- ■ nues a» et y y sont multipliées entre elles (190).)

On peut, d'abord, tirer de la seconde la valeur de y en x, laquelle est

et substituer cette valeur dans la première équation , qui ne contiendra plus alors que la seule inconnue x . On trouve ainsi

ou, en faisant disparaître le dénominateur x"- , et transposant

x* — 289 x> + 1 «00 =0 li], .

équation bicarrée, qui donne (i87) < •

x = à=15 et x = ±S .

Ces valeurs, mises pour x dans l'équation [3], donnent ensuite

y = ±8 et y = ±15 .

Les signes supérieurs doivent se correspondre ainsi que les signes inférieurs ; en d'autres termes , x et y doivent être de même signe, puisque leur produit doit être égal au nombre positif 120.

Remarque. Les quatre valeurs de y sont précisément les mêmes que les quatre valeurs de x . On pouvait le. prévoir ; car les équations proposées étant symétriques par rapport à x etiT y , c'est-à-dire ne changeant pas de forme quand on y change x en .y et y en. x , il en résulte que le calcul nécessaire pour : déterminer y doit être précisément le même que celui qui détermine x , et que, par conséquent, on doit trouver les mêmes valeurs que ces deux inconnues.

Mais ce ne sont point les valeurs égales qui se correspondent : à la valeur # = -{-15 correspond y = + 8 ,

174 SECONDE PARTIE. -

194. On peut encore résoudre le système des deux équations précédentes par un autre procédé qu'il est bon de connaître.

On remarque que si , au premier membre de l'équation [1] , on ajoutait le double du premier membre de l'équation [2] , on obtiendrait Je carré de x -\- y ; et que si l'on retranchait au lieu d'ajouter, on obtiendrait le carré de x — y ; par suite, on connaîtrait la somme des deux inconnues ainsi que leur différence ; et, en vertu du théorème démontré au n° S on obtiendrait immédiatement chacune de ces inconnues.

On trouve, en effet, en opérant ainsi :

x 1 + <lxy + y î ou (x + = 289 4- 240 = 529 ,

et at—Zzy + y' ou [œ~tf = 289 — 240 = 49 ,

d'où l'on tire x+y = ±23 ,

et x — y=± 1 .

Par suite ,

ce qui donne pour a; et y les valeurs écrites plus haut.

Soit proposé, par exemple, ce problème : Trouver les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, sachant que son hypoténuse a 13 mitres , et que sa surface esi de 30 mètres carrés. ■„

En désignant par ï cl y les deux cotés demandés, et remarquant que si l'un de ces deux côtés est pris pour base du triangle, l'autre mesure précisément la hauteur, on aura les deux équations * : -

' ^4-^=169 , et ^xy = 3&<"i ou œy — QO .

On tire de là (s 4- y)' = 169 + 120 = 289 , ,\ ■ et (#—^ = 169 — 120= 49 , ... .

d'oii x+y = 17 et x — y = 7 .- ■ ■

On peut se dispenser du double signe , en remarquant que x et y doivent être positifs et en convenant d'appeler x le plus grand de ces deux côtés. ' On a ensuite (3)

' La somme des carrés des deux cfttés de l'angle droit équivaut au carré de l'hypoténuse; et la surlacu du triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur. (Voy, noire Géuméirk théorique et pratique, 3* édition.)

ÉQUATIONS DO SECOKD DEGBË 4 PLUS1E0BS 1KCOHKUES. 175

198. Comme exemple d'une question h trois inconnues, soil proposé le problème suivant : ...

Trouver les trois dimmsiunn d'an ytiraUdcpipède rectangle, sachant que sa diagonale a 7 mètres , que la surface de sa base est de 12 m, f , et que la sommede ses douze arête* est de 44 mètres .

Désignons par x et y les deux côtés adjacents du rectangle de base , et par s la hauteur du parallélépipède , nous aurons 1rs trois équations

if + = « [il, *i/ = I2 [2], et ' 4x + 4y+is=M ou x+y+z = îl [3]; qui expriment : V que la somme des carrés des trois arêtes aboutissant à un même sommet équivaut au carré de la diagonale; 2' que le produit des deux côtés adjacents du rectangle de base mesure la surface de ce rectangle; 3° que la somme des douze arêtes, lesquelles sont égales 4 à 4 , est de 44™ ,

Pour résoudre ee système d'équations , mettons la première sous la forme

aJ-J-y' — 4fl— s* . ■ ;

Ajoutons-la membre à membre avec l'équation [2] multipliée par 2 ; nous aurons

mi (x-\-y?^=73 — s' .

Mais, de la troisième équation proposée, on lire

x + y^li — s .

Meltantpour x-\-y cette valeur dans l'équation ci-dessus, il vient (11 — s)'=73 — s' , > ■'.

ou , en développant , transposant et réduisant,

2s'— 22s-|-48=0 , ou encore s*— U=-f-24=0 ;

d'où 3 = 8 et 3=3 .

La valeur 3= 8 ne peut convenir au problème; car le carré de 8 estplusgrand,àlui seul, que 49 . Prenons donc 3=3 ; il en résulte

^-1-^=11 — 3=8 , et, comme on a xy=\% ,

on est ramené à un système analogue à celui du n° 190. Dès lors on aura à la fois x et >j en résolvant l'équation

' M 1 — 8m+12=0 , dans laquelle le terme en m a pour coefficient la somme 8 des deux inconnues , prise en signe contraire , et où le terme indépendant de u est le produit 12 de ces mêmes in connues.

Cette équation donne «=6 et u=2 . On a donc x—Q , y— 2 ou bien x=% , y=Q ,

190. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent :

I. Trouver la base et la hauteur d'un rectangle, sachant que sa diagonale a 3"' ,7 et que sa sur/ace est de 4 m "i,20 .

(Réponse : 3 m ,5 et 1"',2 ).

II. Trouver une fraction telle que le produit de ses deux termes soit 12 , et que si, à cette fraction , on ajoute la même fraction renversée, on obtienne pour somme 2 ^ .

(Réponse: | ou s

III. Calculer les trois cotés d'un triangle rectangle, sachant que son périmètre est de 90"' et que sa surf ace est de ÎSO 1 "^ .

(Réponse: hypoténuse, 4Ï" ; côtés de l'angle droit, 40™ et r ,

IV. Calculer les trois arêtes adjacentes d'un parallélépipède reclangle, sachant que sa diagonale a 13°' , que In somme de ses faces estde 192 m-, < , et que le périmètre du rectangle de base est de li™ ■

(Réponse : cotés du rectangle de base, 3™ et A m ; hauteur du parallélépipède, \1 m .)

V. Partager 17 en trois parties telles que la somme de leurs carrés soit égale à 121 , et que te produit des deux parties extrêmes soit égal au triple de la partie moyenne.

(Réponse: 2 , 6 , 9 .)

SECONDE PABÏ1E.