DES QUANTITÉS IB RATIONNELLES DU SECOND DLGBÊ

Mais si l'on développe ^a-f-i^ , ce qui donne

on voit que les deux premiers membres des égalités ci-dessus dillérent de

quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on voudra en prenant n suffisamment grand , c'est-à-dire en prenant pour h et p des valeurs de y'â et de j/5 suffisamment approchées.

Les produits fix\'5 et fixfë sont donc compris entre deux limites variables qu'on peut rapprocher l'une de l'autre autant qu'on le voudra ; il faut donc que ces produits soient rigoureusement égaux. Car, s'ils différaient, on pourrait rendre la différence des deux limites moindre que la différence des deux produits qu'elles comprennent entre elles, ce qui serait absurde. On a donc

ifïxfi=fixfë , ce qui démontre la proposition énoncée.

109. II. Multiplier une quantité par le produit de deux facteurs incommensurables , revient à la multiplier successivement par chacun de ees facteurs.

Démontrons, par exemple , que multiplier une quantité a par le produit (suppose effectue) (fëxfi) , revient à multiplier d'abord cette quantité par , et à multiplier ensuite le produit par fi ■

En conservant les notationsdu numéro précédent,on aurad'abord, puisque a et p , * + - et p-J-i sont commensurables , et que la proposition a été démontrée en arithmétique dans ce cas :

«X(<#)=(<W)XP

(M (</ïp<fi) étant compris entre ap et + + »

le produit a)<(fix.fi} sera compris entre les premiers membres des égalités ci-dessus. De même , \JÏ étant compris entre i et a + j , le produit a . ]/2 est compris entre aa et

180 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Vlil.

' P" r suite ' comme i/5 est compris entre f cl P + ^ ■ leproduit (a.ij~i)x\/à sera compris entre les seconds membres des égalités ci-dessus.

Les produits a x(\/ï>Z\f$) et (a. v/2)x\/5 sont donc compris entre les mêmes limites. Or, en développant le premier membre de la seconde égalité, et retranchant le premier membre de la première, on trouve pour la différence entre les deux limites:

quantité qui peut être rendue aussi petite que l'on voudra en prenant n suffisamment grand.

Les produits considérés sont donc compris entre deux limites variables qu'on peut rapprocher l'une de l'autre autant qu'on le voudra; ces deux produits sont donc rigoureuse me ut égaux; cl l'on a

aX,Uï-X,<JS)— (a.^s)Xy / S , ce qui démontre la proposition énoncée.

On l'étendrait facilement à un nombre quelconque de facteurs.

200. 111. Un produit d'autant de fadeurs incommensurables qu'on le voudra est indépendant de l'ordre de cet facteurs. . Il résulte d'abord du principe I que l'on peut intervertir l'ordre des deux premiers facteurs, puisque leur produit s'effectue avant l'introduction des facteurs suivants. Démontrons que l'on peut intervertir l'ordre des deux derniers.

Pour cela, soit a le produit do tous les fadeurs jusqu'aux deux derniers, que nous supposerons être \JÏ et v '5 . Le produit total sera

.... («xt/âWâ .

ou , en vertu du principe II,

axCv'âXv'ô) ; mais, en vertu du principe I, on peut écrire

«xCv / &Xv / 2);

et, en vertu du principe II, ce dernier produit équivaut à

(«Xs/5Wâ ■ ' .' On voit donc qu'il est permis d' intervertir^' ordre des doux derniers facteurs.