DES QUAHTITÉS IRRATIONNELLES DU SECOND DEGRÉ

Il eD résulte qu'on peut intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelconques, car ces facteurs peuvent être considérés comme les derniers avant l'introduction des facteurs qui suivent.

Pouvant. intervertir l'&rdre de deux facteurs consécutifs quelconques , on peut , par des changements successifs , amener un facteur designé à une place désignée quelconque. Et , comme on en peut faire autant pour chaque facteur, on peut amener tous les facteurs dans un ordre, déterminé quelconque.

Donc , enfin , l'ordre des facteurs n'influe pas sur le produit ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

901. La première chose à faire, dans le calcul des quantités irrationnelles, est de simplifier les radicaux s'il y a lieu. Cette sim- " plification repose sur le principe suivant :

IV. La racine carrée d'un produit équivaut au produit des racines carrées de ses facteurs. ....

Soient, par exemple, a , b , c , d les facteurs du produit ; je dis qu'on a

■Jà'.b.'c.d^a . . y/e . yjd .

En eifet, le premier membre élevé au carré donne a.b.e.d par définition. Voyons ce qu'on obtient en élevant an carré le second membre. Ce carré se présente d'abord sous la forme

(fa.fb.fc.jd) yï.Jb.fc.yfd) , ou, en vertu du principe II,

y/a . y/b . y/'r . yfd . i/â '. i/b . fi . y/d , ou, en vertu du principe III,

yfâ.y/a.\/b.\/b. \Jc. yjc.yjd . yfd , 1 ou, en vertu du principe II,

{fa . fàxMS . fb)*(Jc . v'ëMv'S -, 0) .

Mais, par définition, yja . y/a est égal a a ; de même y/b . i/l est égal k b , et ainsi des autres. Le produit obtenu peut donc s'écrire

Ainsi le carré du second membre de l'égalité ci-dessus revient au carré du premier membre. Donc ees deux membres sont égaux eux-mêmes en valeur absolue. Et comme, quel que soit le signe qu'onprenne pour -chacun des radicaux ^5 , y'b , elc,lepro-

duil aura nécessairement le signe -f- oulesigne — , c'est-àdire l'un des deux signes que l'on peut donner au premier membre.; il s'ensuit que les deux membres sont égaux pour la valeur absolue et pour les signes,

202. Supposons maintenant qu'il s'agisse de simplifier un radical ; par exemple

On décomposera la quantité placée sous le radical en deux facteurs, dont l'un soit un carré parfait ; on pourra écrire ainsi

¥ '25a , 6 t x3sie .

Or, en vertu du principe précédent, on peut extraire séparément (ou indiquer si l'on ne peut l'extraire) la racine de chacun des deux facteurs, ce qui donnera

La première racine s'extrait exactement (108); il vient donc

et le signe radical porte maintenant sur une quantité plus simple. On trouvera de même que les quantités

peuvent s'écrire respectivement

9è'x/3âb , nabx'i/ÏÏâb , lia'b^n/GÔx .

Rsmàbque. On nomme quantités ir rationnelles semblables celles qui , lorsqu'elles ont été simplifiées , présentent la même quantité sous le radical.

Telles sont les deux quantités 9 b*x\JZab et 1 Ubxi/Sab obtenues ci-dessus.

205. On peut, au contraire, dans certains calculs, avoir intérêt à faire passer sous le radical un facteur placé devant; il est clair qu'il faut alors élever ce facteur au carré.

Si l'on a, en effet, l'expression a^b , on peut l'écrire

ou, en vertu du principe IV,

Jâb .

804. Ce que nous venons de dire d'un facteur petit se dire d'un

DBS QUANTITÉS 1HBATI0NNEI.I.ES DU SfcCOND DEGRÉ. 1

dénominateur, car diviser une quantité par ta , par exemple , : vient à la multiplier par — .

Soit l'expression

^/ j^i , qui revient à ^/jji - o ou k y/ . a . En vertu de ce qui précède (201), on pourra l'écrire

On a donc

-■ifa -, qu enfin „V5

ce qui permet de faire passer un dénominateur hors d'un radieal en en extrayant la racine, ou de l'y faire entrer en l'élevant au carré.

203. Nous pouvons maintenant passer en revue les différentes opérations qu'on peut avoir ji effectuer sur les radicaux drt second degré.

L'addition et la soustraction ne peuvent que s'indiquer, si les radicaux sont dissemblables. Ainsi, la somme de <Ja et de \jl> , s'écrira simplement <ja-{-<Jb ; leur différence •

Si les radicaux sont semblables, on opère l'addition ou la soustraction des quantités placées devant le radical ; ce radical est un facteur commun dont on affecte le résultat. Ainsi la somme des' quantités

v'iosflÈ 5 ,^ et v'âûââw >

qui reviennent à 9b*xs/%ab et Wabx'^'iab ,

Leur différence est (96 ! .i;— Uabx^Zab ■

206. Multiplication. Pour faire le produit de deux radicaux du second degré, on peut faire le produit des quantités placées sans chacun d'eux et affecter le produit du radical commun.

On a, en effet, en vertu du principe IV (201),

* i/5xv^^=\/ô5 ■■

Cette régie s'étend à un nombre quelconque de facteurs.

II peut arriver que le produit soit susceptible de se simplifier, ou môme qu'il soit rationnel. Ainsi :

Le produit de y/ba^b par \/\hab , x est ftbd'b'x , quire- Vienth 5a'b</Ste ,

Le produit de fâa'x par JÏMtfx* est sjWâWir* , qui revient à &a i b , x % .

207. Division. Pour diviser deux radicaux l'unpar Vautre, on peut diviser l'une par l'autre les quantité» placées sous chacun d'eux cl affecter le quotient du radical commun.

Désignons, en effet, par c/ le quotient des radicaux <Ja et v'ô ; en sorte qu'on ait ' . ;

■ ■ ou fi = fb.q .

En élevant les deux membres au carré , il viendra o=i.j",

d'où *>=| et q=\fî ■

Par conséquent ^ = ^'b '

Il peut arriver que le quotient soit susr.eptible de se simplifier, ou même qu'il soit rationnel. Ainsi :

Le quotient de i/lbtfbx' par ytQab'x' est y ïQà ' ffïc* . ' on , en simplifiant la fraction (31), y^^j; ■ ' Le quotient de

011 V«? ' ou -m ■

Lequotientde )/l&a?bx* par )/&a~oh? est y^jj

208. La formation des puissances et l'extraction des racines des radicaux du second degré rentrant dans celles des radicaux d'un degré quelconque, et n'étant point nécessaires pour la résolution ni pour la discussion des problèmes du second degré, nous n'en traiterons pas ici d'une manière particulière. Il ne nous reste donc à parler que de quelques transformations qu'il est souvent utile de faire subir aux expressions algébriques affectées de radicaux du second degré.

Lorsqu'une fraction algébrique contient un ou plusieurs radicaux