CHAPITRE PREMIER
N0T1O.N6 PRÉLI.1I1.V AIRES.
g I. But de l'Algèbre.
1. L'Algèbre est la science qui a pour but de résoudre d'une manière générale les questions relatives aux nombres.
C'est-à-dire que ; dans celle partie des mathématiques , on ne se contente pas de la solution particulière d'une question, on recherche encore la solution générale de toutes les questions du même genre.
Pour y parvenir, on représente par des lettres les grandeurs connues ou inconnues que l'on a à considérer; et, à l'aide de signes abrévialifs on écrit les relations que la nature du problème établit entre ces grandeurs. L'Algèbre donne ensuite des règles pour transformer ces relations eu d'autres plus simples, ou mieux appropriées au but qu'on se propose ; et c'est en déplaçant ainsi successivement la difficulté qu'on peut la diminuer et enfin la résoudre. On obtient alors la valeur de chaque inconnue sous la forme d'une expression générale, dans laquelle il n'y aura plus, dans chaque cas particulier, qu'à remplacer chaque lettre par sa valeur particulière , et à effectuer les calculs qui ne sont qu'indiqués. Une pareille expression générale est ce qu'on nomme une formule algébrique.
Un exemple éclaircira ces généralités.
2. Proposons-nous d'aboid cette question particulière : Trouver
2 i'KI.M I LU L PABT1E. — CHAPITRE I.
deux nombres dont la somme soit 17 et dont la différence soit 5 . Pour la résoudre, noua pourrons d'abord faire le raisonnement suivant :
La différence des deux nombres étant 5 , le plus grand est égal au plus petit augmenté de 5 ; la somme des deux nombres est donc égale au plus petit nombre augmenté de 5 , plus encore au plus petit nombre; ou, ce qui revient au même, à deux fois le plus petit nombre, plus 5 . Mais celte somme doit faire 17 ; donc le double dupluspetit nombre, plus 5 , égale 17 . 11 en résulte que le double du plus petit nombre équivaut a 17 diminué de 5 , ou à 12 ; et que par conséquent ce plus petit nombre lui-même est la moitié de 12 , ou 6 . Par suite, le plus grand nombre est égal à 6 plus 6 , ou à 11 .
On remarque que dans ce raisonnement certaines expressions se reproduisent un grand nombre de fois ; ce sont le plus petit nombre ; te plus grand nombre; plus ou augmente de; moins ou diminue de; égale ou équivaut à. On pourra donc, sinipliiifii- l : tki'iture ilo ce, raisonnement en convenant, par exemple, de représenter le plus petit nombre par la lettre x , le plus grand nombre par la lettre y ; les expressions plus ou augmenté de par le ligne + i déjà employé en arithmétique, les expressions moins ou diminué de parle signe — ; la division par 2 en mettant ce nombre en dénominateur ; enfin les expressions égale ou équivaut à par le signe = . A l'aide de ces conventions, le raisonnement ci-dessus pourra s'écrire de la manière suivante :
donc y = a:-)-5 .
Mais y+x=l7 ;
donc a:-f-5+a;=17 ,
ou 237+5 = 17 .
Delarésulte 2ar = 17 — 5 = 12 ;
donc X= Y ou œ '
Parsnite, y = 6+5 = ll .
Chacune des lignes que nous venons d'écrire, correspond à l'un des raisonnements partiels qui composent le raisonnement total écrit plus haut.
3. Les raisonnements seraient évidemment les mêmes si les nombres 17 et 5 étaient remplacés par des nombres quelconques. Mais les signes abréviatifs que nous avons employés ne suffisent pas pour mettre en évidence ce qu'il peut y avoir de commun dans les
résultats des raisonnements, quelles que soient les données. Cela lient à ce que les résultats numériques auxquels on est conduit n'offrent aucune trace des opérations qui ont servi à les obtenir. Ainsi lenombre 6 , qui a été obtenu en retranchant 5 de 17 et en prenant la moitié du veste, pourrait s'obtenir d'une infinité d'autres manières; et rien dans ce résultat brut G n'indique comment on y est parvenu.
Il n'en serait plus de même si , au lieu d'effectuer les opérations numériques au fur et à mesure qu'elles se présenlefft , on se contentait de les indiquer par des signes. C'est ce que nous allons montrer en reprenant le mémo problème ; mais afin de donner à lu solution toute la généralité qu'elle comporte, nous remplacerons les données numériques par des lettres auxquelles on pourra ensuite attribuer telles valeurs qu'on voudra. Noos désignerons donc par a la somme des deux nombres inconnus x et y ; et par b leur différence; x désignant toujours le plus petit.
Cela posé , nous allons reprendre le raisonnement total ; nous ie reproduirons ensuite en employant l'écriture algébrique; et, afin de rendre la comparaison plus facile nous aurons soin de marquer d'un numéro d'ordre commun les raisonnements partiels qui se correspondent :
[1] Le plus grand nombre, moins le plus petit, égale ladifférence donnée;
[2] Donc, le plus grand nombre équivaut au plus petit, plus la différence donnée ;
[3] Le plus grand nombre, plus le plus petit, égale la somme donnée ;
[4] Donc, le plus petit nombre augmenté de la. différence donnée, plus encore le plus petit nombre , égale la somme donnée ;
[5] Ou bien , deux fois le plus petit nombre , plus la différence donnée, égale la somme donnée.
[6] D en résulte que : deux fois le plus petit nombre égale la somme donnée, moins la différence donnée ;
[7] Et qu'enfin , le plus petit nombre égale la moitié de la somme donnée, moins la moitié de la différence donnée. . ' '
[S] Par suite, le plus grand nombre égale la moitié de la somme donnée, moins la moitié de la différence donnée, plus cette même différence ;
[9] Ce qui revient à la moitié de la somme donnée , plus la moitié de la différence donnée.
Il PREMIKBE PABT1E. — CHAPITRE I.
Eq écriture algébrique, les mêmes raisonnements deviendront ' [1]
[2] donc [3] Mais [i] donc [5] ou bien [6] li en résulte
[7] et enfin [8] Par suite [9] ou bien
Remarque. On voit que lorsqu'on a la somme et la différence de deux nombres, on obtient le plus petit en retranchant la moitié de la différence de la moitié de la somme, et le plus grand en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme; ce qui constitue un théorème de calcul.
