Les valeurs générales

ai, a . b * = 2- 2 et *=2 + 2 sont des formules qui donneront immédiatement les valeurs des inconnues dans chaque cas particulier; il suffira d'y remplacer a et 6 par les données particulières, et d'effectuer les calculs indiqués.

Si l'on demande, par exemple, de trouver deux nombres dont la somme soit 31 et la différence 13 , on aura

*= T et „ = T ,

ou enfin # = 9 et y = 22 ;

c'est-à-dire que le plus petit des deux nombres demandés est 9 , et le plus grand 22 .EnetFet, 22 diminué de 9 donne 13 , et 22 augmenté de 9 donne 31 .

8. La question très-simple que nous venons de traiter suffit néanmoins pour faire voir comment l'écriture algébrique, indé-

pendamment de sa brièveté, permet de traiter un problème de In manière la plus générale , et conduit à des formules ou règles pour obtenir la solution dans chaque cas particulier.

La série des égalités [4] , [5] , [6] , [7] du numéro (5) , offre un exemple des transformations successives à l'aide desquelles on peut, d'une relation entre une inconnue et des quantités données, déduire une relation plus simple qui donne la valeur de cette inconnue.

Le but de l'Algèbre étant ainsi clairement établi , nous allons nous occuper des signes abréviatifs qu'elle emploie et des règles du calcul algébrique.

S II. Des signes algébriques.

(î. Nous donnons dans ce paragraphe l'explication de tous les signes abréviatifs usités en Algèbre, quoique plusieurs d'entre eux ne soient pas, dès à présent, indispensables à connaître. Notre but est d'éviter au lecteur, qui aurait oublié le sens d'un signe ; la peine d'en chercher la définition dans le corps de l'ouvrage; en lui offrant un tableau qu'il lui sera toujours facile de consulter.

1. Le signe + s'énonce plus; placé entre deux quantités, il indique qu'on en fait la somme. Ainsi x-\-5 signifie la somme des quantités x et 5 ; de môme x-{-a-\-5 exprime la somme des quantités x, a et 5 .

8. Le signe — s'énonce moins; placé entre deux quantités, il indique qu'on en fait la différence, ou que de la première on retranche la seconde. Ainsi x — 5 exprime la différence des quantités x et 5, ou ce qui reste de la quantité représentée par x quand on en retranche 5. De même x — a — 5 indique ce qui reste de la quantité x quand on en retranche successivement la quantité a et le nombre 5 .

9. Le signe X s'énonce multiplié par ; placé entre deux quantités, il indique qu'on en fait le produit. Ainsi iX5 indique le produit de x par 5. De même iX»X5 exprime le produit des trois facteurs x, a et 5 .

On remplace souvent le signe x par un simple point. Ainsi au lieu de a X 6 on peut écrire a . b .

Plus souvent encore on se contente, pour exprimer la multiplication, d'écrire les facteurs a la suite les uns des autres, sans aucune interposition de signe. Mais cela ne se fait que lorsqu'il n'y a pas plus d'un facteur numérique , et ce facteur se place alors le premier. Ainsi au lieu de «XflXS onpeutecrire x.a.5 , ou plus simplement 5ax ,

PRHH1ÉKE PARTIE. — CHAPITRE 1.

I.t! I";u"'ti.'iii' niini('i'i(jMi> qui précède ainsi un produit de facteurs exprimés par des lettres, porte le nom de coefficient.

10. Quand un produit renferme plusieurs facteurs égaux, on se contente d'écrire l'un d'eux, et l'on place à sa droite, et un peu audessus, le nombre qui indique combien il y ;t de ces facteurs égaux. Ainsi, au lieu de ÛX5 on peut écrire 5* ; au lieu de x^x^rCx on peut écrire x* .

Ce nombre qui indique combien il y a de facteurs égaux a celui qu'on n'écrit qu'une fois, porte le nom à! exposant ; et le produit des facteurs égaux s'appclU' jjwimh/kt de l'un do ciîs facteurs. L'expression ôcî'b-x indiquerait un produit composé du facteur 5 , de 3 facteurs égaux à o , de 2 facteurs égaux à b , et enfin d'un facteur égal à x ; ou bien le produit de fi par la 3 e puissance de a , par la 2' puissance de b , et par la 1™ puissance de x .

11. Le signe : s'énonce divisé par ; placé entre deux quantités; il indique que la première est divisée par la seconde. Ainsi x : 5 exprime le quotient de x par 5 .

On indique encore la division en écrivant le quotient comme une fraction qui aurait pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur. Par exemple

x : 5 peut s'écrire ■= .

Le trait horizontal qui sépare le dividende du diviseur se nomme barre de division.

12. Le signe </ indique la racine carrée de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, multipliée par elle-même, reproduirait la quantité placée sous le signe. Par exemple \fÔ& exprime la racine carrée de 49 , ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 .

Le signe îf~ ' indique de même la racine cubique de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui, prise 3 fois comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe. Ainsi , flfH exprime la racine cubique de 64 , ou le nombre qui, pris 3 fois comme facteur, donnerait pour produit 64 .,

Les signes \f , \J , etc., indiqueraient de même la racinr quatrième , la racine cinquième , etc. , de la quantité placée au-dessous, c'est-à-dire une quantité qui , prise 4 fois, 5 fois, etc. , comme facteur, donnerait pour produit la quantité placée sous le signe.

Ce signe porte en général le nom de radical , et le nombre placé au-dessus dans son ouverture est ce qu'on nomme l'indice du radical; Ainsi, dans ^ , c'est 3 qui est l'indice du radical.

SOTlONS PnÉUHINAIBES. 7

15. Les parenthèses ( ) expriment le résultat des opérations indiquées sur les quantités qu'elles enveloppent ; les signes qui affectent les parenthèses indiquent les opérations à effectuer sur ce résultat. Ainsi , ■

a — la— 6) ■ ■.

indique que de la quantité x on retranche le résultat obtenu en retranchant 5 de a .

(a + 5)xa

indique qu'après avoir fait la somme des quantités x et 5 , on multiplie le résultat, ou la somme, par a .

indique qu'après avoir retranché 2 de x on divise le résultat, ou la différence, par la quantité a .

indique qu'après avoir fait la somme des quantités x et S et formé, un produit de 3 facteurs égaux à cette somme, on divise ce produit par le produit de 2 facteurs égaux à la différence entre a et S.

14. Le signe = s'énonce égaie; placé entre des expressions numériques ou algébriques, il indique que les deux expressions sont égales en valeur.

Lesigne > s'énoncepfws grandque; placé entre deux quantités, il indique que la première est plus grande que la seconde. Ainsi, a;>5 signifie que la quantité représentée pur x est plus grande que 5 .

Lesigne <; s'énonce plus petit i/ve; placé entre deux quantités, il indique que la première est plus petite que la seconde. Ainsi, x<.5 signifie que la quantité représentée par X est plus petite que 5 . ' '

18. Lorsque, dans une question, on a représenté certaines quantités par des lettres , on répréscnte des quantités analogues par les mêmes lettres chargées d'un ou plusieurs accents. Les lettres chargées d'un accent s'énoncent en y ajoutant le mot prime; celles qui sont chargées de deux accents s'énoncent en y ajoutant le mot seconde; pour trois accents on ajoute le mot tierce; et ainsi de suite. Par exemple :

s'énonceraient a , a prime , a seconde , a tierce. .

L'usage que nous ferons des divers signes dont il vient d'être question, en fixera peu a peu le sens dans la mémoire du lecteur.

PBEM1&U PARTIE. — CHAPITRE 1.

t> III. Des diverses espères d'expressions algébriques.

10. Les expressions algébriques les plus simples sont les lettres mêmes de l'alphabet destinées à représenter certaines quantités connues ou inconnues. On emploie ordinairement les premières lettres de l'alphabet , o, b, c, d, etc. , pour représenter des quantités supposées connues , mais dont on ne particularise pas la valeur numérique. Les quantités inconnues se désignent, au contraire, par les dernières lettres x, y, s, etc.

. 17. On donne en général lo nom d'expression algébrique h tout ensemble de lettres, ou de lettres et de nombres, réunis par quelques-uns des signes énumérés dans le paragraphe précédent. Ainsi

est une expression algébrique,

Une expression algébrique est dite rationnelle quand elle ne contient point de signe radical. Elle est irrationnelle dans le cas contraire.

Cm» expression iiigf'briquc est dite mlii-rc lorsqu'aucune division n'y est indiquée. Elle est fractionnaire dans le cas contraire.

Nous nous occuperons d'abord des expressions algébriques rationnelles et entières. Telle est l'expression : &ofx— 4tf**+16a*« .

18. Dans une expression algébrique rationnelle et entière où il n'entre point de parenthèses , les différentes parties séparées par les signes -f- 011 — sont ce . 1 ue l' on appelle les différents termes de l'expression. Telle3 sont dans l'expression ri-dessus les parties HaKr , —4efx* , ou + iGax> .

Une expression algébrique qui n'a qu'un terme prend le nom de monôme; telle est l'expression — 4aV .

Une expression algébrique qui a deux termes prend le nom de binôme; tel est 3n — 54 .

Une expression algébrique qui a trois termes porte le nom de trinome; tel est itf—àax + àab .

En général, une expression algébrique qui a plusieurs termes porte le nom de polynôme.