Cas particulier —Si dans (5: on fait b— ce = «, il sent
(r+a)=x +80 +34" +a" | et si a est négatif on a : (7) au -Bue +3uta-ut
On peut donc dire que :
le cube d'un binôme est égal au cube du premier terme plus le triple produit, du carré du premier terme pur le second, plus Le triple produit du premier terme par le curré du second plus le cube du seconil.
Ce que l'on peut mettre sous la forme :
(a+a)'=x" +a+Bu (+) qui s'énonce : le cube d'un binôme est équl à la sonne des cubes des deux termes augmentée du triple produit du produit des termes par leur 80 mme.
Si dans (6) on fait d=c b=a il vient :
(@+a)=2t ax +64°2°+4ax+at
Le développement de la puissance quelconque d'un binôme est Connu sous le nom de formule du binôme de Newton et fait l'objet d'une théorie très importante dans la seconde partie d’algèbre.
6. Développement du produit de deux polynômes composés des mêmes termes mais dont certains ont des signes différents
Soit à multiplier (a-b+e d) (a-b-c+d) que l’on peut écrire [Ca—b)+(e—4)] [(a—b)—(e—d)] qui, en vertu de la formule (3) est égal à
Cab) (cd) (at 24b4b2)— c°—2ed+d?)— ( =" —2ab+b?c2+2cdd° (3)
Remarquons que (a-b)®—(c—11)? est formé de deux termes dont le premier renferme les termes « et b ayant des mêmes signes dans les 2 facteurs donnés ; le second terme (c--d)® renferme les termes c et « ayant des signes différents dans les 2 facteurs. On peut, dès lors, déduire de (8) la règle de formation suivante :
On groupe ensemble tous les termes qui, dans les deux fucteurs, sont affectés de mémes signes ; on groupe de même tous les termes qui, dans les deux facteurs sont affectés de signes différents ; on élève ces deux groupes au carré, on les réunit par le signe moins (—), on développe et on réduit les termes semblables s'il y a lieu.
EXEMPLE : (3u—20 4045d) (3a—2b+4e 54)
(3a+2b)? (4054) = | Ja°+4b°+1 2ab—(16c°-+254°-40c4)= Va HAb? +124 b 160725424004.
mes on yne ya
B.—DÉCOMPOsITION EN FACTEURS DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES,
7 Remarque générale importante.— Quel que soit le polynôme que l’on ait à décomposer, il faut toujours commencer l'opération par la mise en évidence d'un facteur monôme, s'il y a lieu.
8. Décomposition des trinômes de la forme X°+px+q.— De ce que [formule (] )](t+a) (x+b)=2+(a+b) æ+«b on déduit que .
Pour décomposer les trinémes de Lu forme 2° +pt+q= a*+(a+b) &+ah en deux facteurs binômes Cr+4) (x 4h) il suffit de décomposer le terme indépendant de æ, ab en deux facteurs a et b dont la somme algébrique Puisse former Le coefficient du terme en x.
Ces deux facteurs étant trouvés, on forme le produit des binômes ayant pour purtie commune x et pour partie non commune les facteurs trouvés avec leurs signes.
9. Règle des signes —De ce que le produit «b est positif, les deux facteurs qui le forment sont de même signe : tous les deux positifs, si leur somme (44h) est positive ; tous les deux négatifs si leur somme (a+b) est négative.
De ce que le proluit ab est négitif, les deux facteurs qui le forment sont de signes contraires : le plus grand est positif si la somme (a + b) est positive, le plus grand est névntif si cette somme est négative.
10. Remarque.—Si le terme indépendant «h ne peut se décomposer en facteurs dont la somme algébrique forme le coefficient du terme en x, on doit en conclure que le trinôme n’est pas décomposable en facteurs rationnels.
On verra dans le 24 degré qu'il est toujours possible de décomposer un trinôme quelconque du 24 degré en facteurs.
11. Décomposition des trinômes de lu forme Ax°+Br+C.— La méthode de décomposition des trinômes de cette forme est
. basée sur le lemme suivant :
Si un trinôme ordonné du 24 degré est décomposuble en fuctaurs rationnels, le produit des coeficients des termes extrémes peut être décomposé en deux facteurs dont la somme algébrique est égale au coeficient du terme du milieu.
En effet, supposons le problème résolu et que par un procéilé quelconque on ait pu décomposer le trinôme Ax*+Bz+C en deux facteurs rationnels (ax+b) (a'x+'b).
En effectuant le produit, il vient :
Ax°+Br+C=aux°+(ab+ba)x+bh (9) Le produit des coefficients des termes extrêmes est aa’xbb' ou
ab'xba’ ; la somme de ces facteurs est égale au coefficient de #, ce qui démontre le principe.
Développant (9) il vient :
Azx°+Bæ+C=aax+alx+baæ+bl et mettant en facteurs dans le second membre : Az°+Bx+C=ax (ax'+b)+b («'æ+b) d'où Ac°+Bæ+C = (ax-+b) (ax'+b')
On peut en déduire la règle suivante :
Pour décomposer un trinôme de lu forme Ax°+Bx+C en facteurs, on décompose le produit des coefficients des termes extrémes en deux fucteurs dont la somme algébrique soit égale au coefficient du terme du milieu. On transforme ensuite, pur son
terme du milieu, le trinôme en un quudrinôme et on met en facteurs.
12. Remarque I.—La règle des signes est la inême que dans le cas précédent.
Remarque II.—Même que Remarque du cus précédent.
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18. Décomposition des expressions de la forme aim + a2m g2m + aim Lorsqu'à l'inspection d'un trinôme ordonné, le premier et le de-nier termes sont des carrés parfaits, le trinôme est un carré
ps :1it si le terme du milieu est le double produit des racines car 28 des termes extrêmes.
Dans le cas contraire, on ajoute et on retranche au trinôme ce qui lui manque pour faire un carré parfait et l'on transforn.e le polynôme ainsi modifié en une difference (le deux carrés qu'il est facile de décomposer.
14. Remarque.— Il faut que la quantité que l'on ajoute et que l'on retranche soit elle-même un carré parfait, sans quoi, on ne pourrait transformer l'expression en une différence de currés.
