EXEMPLES

| at+a" re +at at +atr tata er

=" +242 tata?

=(a? +2) —(ax) = =(a*+2+ax) (a°+2—ax)

Il manque 497°y° pour faire le carré de (3x°—4y°) Donc Dr — 732" y" +167" +492 y 407 92°—242°y°+16y—49xy"= -

(2° —4y")"—(7ay) = (82 —4y" + 7xy) (32*—4y"—7zy)

Il faut avoir 82° que l'on peut obtenir en ajoutant à 113x° soit 105x° soit 121x°

105z° doit être rejeté parce que ce n’est pas un carré, on prendra 121z° ; donc æ'—118x°+16+1212—1217t— 248214161217 =( 244)" (11) = G'+44+112) (xt+4—11%)

16. Décomposition des polynômes d'un degré quelconque ordonnés suivant les puissances d’une lettre :

Cette décomposition est basée sur la principe suivant :

Lorsqu'un polynôme vrdonné suivant les puissances de +, s’annule lorsqu'on y remplace x par (+a) ou par (—a), c'est qu'il est divisible par (x—a) ou par (x+a) (Voir Falisse, 1ère partie, 154).

Il reste à savoir par quelles valeurs il faut remplacer x pour que le polynô 1e puisse s’annuler. Or le polynôme étant ordonné et étant le produit de différents facteurs binômes ou binômes et polynômes, le dernier terme est le produit, sans réduction, des derniers termes des facteurs.

Les nombres qui devront donc être essayés seront les différents diviseurs de ce dernier terme.

Loi de formation du quotient de la division d’un polynôme entier et ordonné suivant les puissances décroissantes de x par un binôme (x—a).

Le travail peut être de beaucoup simplifié en effectuant directement cette division par application de la loi que nous allons énoncer ci-après,

Soit à effectuer la division du polynôme

Az°+Bx°+0Czx'+Dz'+Er+F par 2 4

La méthode ordinaire donne le résultat suivant :

Az°+Bz'+0Cz'+....| —«

. —Azx+Aaxt “Az +(Au+ Bye +[(Au - Bju+Ce*+ i (Aa+B)r* +Cs° —(Aa+B)z'+(Aa+Bjazr*

[(Au+B)a+C]z +...

soso sosesees

lsonque

s de x, est qu'il e partie,

r x pour ordonne ômnes et ion, des

ifférents

n d’un ssances

lit, pour u poly-

directeénoncer

Dans ce résultat remarquons que le coefficient du premier terme du quotient est celui du premier terme du dividende ; que le coefficient du terme du quotient (Au+B) a été obtenu en multiplint celui du 1‘terme A par à et en ajoutant à ce produit le coefcient du .* terme B du dividende ; que le coefficient du 3° terme du quotient [(Au+B)u+C]u été obtenu en multipliant celui du 2° terme (Au+B) par a et en ajoutant à ce produit le coefficient du 3 terme C du dividende et uinsi de suite,

On peut donc dire en général que le coefiicient d'un terme de rang quelconque est égul au coeficient du terme précedent multiplié par a, augmenté (ulgébriquement) du coefficient du terme correspondunt duns le dividende.

Remarque I.—Si on observe que et

on diru que lorsque la division d'un polynôme devra s'effectuer par (x—u), on multipliera les coefficients des termes du quotient par (Ha) ; et que si elle doit s’e‘lectuer par (144), on multipliera les coefficients par (—«).

Remarque II.—Le diviseur étant du 1°" degré, il est évident que le quotient est de un degré inférieur à celui du dividende. On n'a donc pas à se prévecuper de la lettre ordonnatrice qui entre dan: le quotient, celui-ci devant, comme le dividende, être ordonné suivant les puissances décroissantes de cette lettre.

2XEMPLE : 5a'—3x"- 71 +4 273

Coefficient du 1°" terme du quotient == 5 = 5X3—3=12 —=12X3—7—29 —=29X3+41=91 Reste de la division =91 X3—273—0 Le quotient est donc 5x°+127*+29x+91