EXEMPLES

L 22" 5r+6 Les facteurs qui forment le dernier terme sont 1, 2, 3 et 6. Remplaçons successivement x par 1,2, 3, 6 jusqu'à ce que le résultat soit O.

pour z=1 on a 1—2—5+6=0 Le polynôme s’annulant pour :=1 est donc divisible par æ—1 et par suite, en appliquant la loi de la formation du quotient (citée plus haut) il vient :

d'—2x—5æ+4+6=(x—1) (x°—1-6) En vertu de la décomposition des trinômes de la forme &*+pæ+q (8), le trinôime x° -x—6 donne (x—3) (x+2). Et, dès lors : d'—22"—52+6=(r+1) (4-3) (x+2) Si le polynôme est d’un degré supérieur au 3° , le quotient sera supérieur au 24et on lui appliquera le même procédé.

2° 18a—36u"1—8ax°+16x" En vertu de la remarque genérale (7) ona 2 (9a'—18a"x—4ax*+8x") Les diviseurs de 8x° sont x, 2x, 4x, 8x.

Remplaçons « par x il vient :

9x'—18x°—42"+82"= — 5x" Donc le polynôme n’est pas divisible par u—æ. Remplaçant a par (—x) il vient :

—9x'—18x2"+47%"+82"=—15%", pas divisible par (a+x) Remplaçons a par 2x, il vient :

72x°—19%"—8x"+8x"=0 Done le polynôme est divisible par («—2x), et alors : Qa—18a°x-4a2"+82'= (a—2r) (9a*+Our -4x°) = (a: 2x) (9a°—4x*) = (a—2x) (3a+2x) (3a—2x).

8 32°+4x-6x-212—5 pour æ=1 la valeur du polynôme est négative pouræ=5 “ “ % “ “positive

Done la valeur de x qui annule le polynôme est une valeur fractionnaire comprise entre 1 et 5 ; cette valeur fractionnaire doit être telle que le numérateur divise le dernier terme 5 et le dénominateur divise le premier terme 3 du polynôme.

Ce sera donc 3 et pour CEE le polynôme s'annule. Donc il est divisible par x — à.

Il vient alors :

Br —Gut— 1285 (2-5) (3c'+91+9r+3) [3x -5

= ) Br" 4020243) =(3c -5) (2°+32"4+8c+1)

On voit donc que diviser le polynôme par (z-;) revient à

effectuer la division par (x-5) et à diviser par 3 chacun des coefficients des termes que l'on obtient aussi au quotient :

Or x'+3+3827"+81+1=(2+1)" donc finalement 32" +42" 62 —12%—5=(32—5) (x+1)'

On serait arrivé au même résultat en essayant = —1.

Le polynôme s’unnulant pour x=—1 est divisible par z+1 et donne pour quotient :

8x'+2—7r°-5 qui s'annule pour 4= —1 Il est donc divisible par +x1 et donne pour quotient 8z"—2x-5 qui se déconpose en vertu de (11) en (325) (+1) Donc finalement :

18. Remarque.—Lorsque le polynôme n'est pas complet, il faut le compléter en remplaçant les termes manquants par des termes à coefficient 0.

EXEMPLE: S3x‘+2x+7 peut s'écrire 8x +0x'+ 0x! +2x+7