Décomposition des expressions x'+a
æ°+a* s'annule par x=—«. Donc il est divisible par (x+4«) et,
appliquant la loi de formation du quotient, il vient : a" +0ax"+ Ou'x+u'=(r+a) (2*—ax+a*) (10)
Pour la même raison le polynôme x'—«" s'annulant pour z=4
est divisible par (x—a) et la lui de formation du quotient donne x +Oux"+Oa*h-a"=(x—a) (2*+ax+a*) (11)
Et par suite, on peut dire :
a) La somme des cubes de 2 nombres (formule 10) est égale à la somme de ces deux nombres multiplié par la somme de leurs carrés diminuée de leur produit.
b) La différence des eubes de deux nombres (formule 11) est égale à la différence de ces deux nombres multipliée par la somme de leurs carrés augmentée de leur produit.
ExEMPLes : 27a'h+64c°=
(Bab+4c) (Qu?b?+16c2—12ube) 27a'b°—64c'= (3ub—4c) (Qu*h?+16c°+12ubc)
20. Décomposition de quelques expressions algébriques de forme particulière.
1) Soit à décomposer en facteurs 2° +y" +2" —3ryz
Le polynôme s'annule en y remplaçant æ par —-(y+2). En effet —(y+2)"+3(y+2) yz+y' +2 —ÿ —3y"2—8y2 —2 +8y"24+3y2+y +2"
Le polynôme est donc divisible par r+(y+2) et la loi de formation du quotient donne
L'AHO—-3y2z + y "+2! a+(y+:) LE —(y+ is) + Cy+2)—-3y2]
Le quotient peut s'écrire ya sky ++ 35
Ed pr 5 on peut done dire que :
Lu sonume des cubes de trois quantités diminuée de leur triple
produit est égale à Le somme de ces quantités multipliée pur lu
somme de leurs carrés wuymentee des produits pris en signes
contraires des 3 quuntités prises deu à deur.
Par analogie et par application de la règle précédente on a successivement :
a+ gs Bryan + y) Gp y Eye) dy + + Brys (om +2) Gp + + ys +5) ay —s —Brys=(o—y —2) (+ y + + ytus—y5)
2) Décomposer en facteurs :
Ge y+s) 2" y" que l'on peut mettre sous la forme Lot y+2) Tr +29=
Lr+y+s) a] fe + 4 +2 +de y aus+2ys He try xz]—
Cy+2) Cf +2 y2)
En etfet, cette expression se compose de deux termes : le 1° une différence de deux cubes (e+y+2)'—#",
le 24 est une somme de deux cubes (y'+2') (application des formules (10) et (11).
Réduisant les termes se (y+2) CR y Bey Brs RO ys)—
mbiables dans chaque
et mettant (7-2) en facteur entre les
3°) Décomposer en facteurs :
COUTURE EEE NPC fe'+uc"
Mettons successivement :
«* en facteur entre le 1° ct le 5°
On voit que l' expressions telles que le puissent eux-mêmes se soit commun, Ainsi (bi—et), (b—e commun que l’on peut mettre en év
(h—e) Le" (b+e)+hte—ur(pt+e
TRUE + be) —a(b 0") opération consiste de mettre
*+bc)J=
Ge) [a'b+u'e+bte yep Par un procédé identi crochets en facteurs et |’
— e—u*be]
iue, on décompose l'expression entre expression devient :
(b—c) [et b(a—b) + «ea 1h) (b—c) (a—b) [ut (b—e) (a —b) [ab+atc—uc he (b—c)(a—b) [b(a®—e (4—c)[b (a+c)+uc] (a—c)(ab+be+ue)
facteur il vient :
Cy+2) Cyt+2—ys)
2 termes :
(+0 +ry+3xs +3y:)= 3Cy+2) (a +xytas+ys) = 3(y+2) [tr (a+y)+: Gc+y)]= 3 (y+2) (&+ y) (+2)
en évidence des S facteurs résultants soient les mé décomposer en facteurs dont au m ), (b'—c!) ont le facteur (b—c) idence, et alors il vient :
L'vient : 4°) Décomposer en facteurs :
#3) Berry + 12y + 222431 y5 4 2022 On arrive à ln ‘décomposition de ce polynôme en considérant les trinômes Gr + 17ry+12y* et 12y°+31y3+203: et en les décomposant en
facteurs par ln méthode indiquée an N° 11, Ainsi Gr+17ry+ y =(2e+34) (3r+4y) y +81y2+202 = (3y+42) (4y452) Groupant convenablement ces résultats on peut écrire : Ge +1 Try +12 +223] 24202!
2x +37 ++ 3x +4y +55 Ce qui donne :
(2r+3y+4:) CBe+4y4+52)
ce des en ses ou 5°) Décomposer en 5 facteurs :
ins un (b—c) 729a°b— ab" Mettant «b en facteur. il vient :
ab (729u°—b") Mais 7294” =çube de 94* entre b'=çube de 4° Donc
ab (7290 1" )=ub (Ja? ht) (Slu'+ht+9ah2) Or Sla‘+94°h24h se décompose d'après la règle (13). comme suit :
Slai+9ub+b + 90h 9h = (9e? +b3)—(3ab)= (Ju *+h+3ab) (9a?+b°—3ab) Donc enfin 7204 hub =ab (3u+b) (Ba—b) (94°+b?+34b) (Ou?+b—3ab)
mms
6o) Décomposer en facteurs :
a(a—1)2"+(2a"—1)#+a(a+1) Cette expression de la furme Ar'+Br+C se décompose d'après les mêmes principes, ($ 11) Le produit des coefficients des termes extrêmes donne : a(a—1)u(a+1) qu'il faut décomposer en deux groupes de facteurs dont la somme fait (2«'—1), Or ces deux groupes sont «x « et (u—1)(«+1), c'est-à-dire | a" et a'—1 En effet leur somme «'+u*—1=2«"—1 | Appliquant dès lors la règle ($ 11) on a :
| (et) et +eta4(et Tr (a+ 1)-= de (Ce) ee] + (et) (Cat) +0] | [(@—1)a+a][uztu+1]=(ux-x+u)tur+a+1)
Applications
21 Pour quelle valeur de m le polynôme 4x'+292?+mx-25 est-il divisible par (2x+3) ?
Pour que ce polynôme soit divisible par (2x+3) il faut qu'il
s'annule en y remplaçant æ par (-). On a alors :
| Bon 0 3 des ia || tx 429 5, m—25=0 D'où l’on déduit | 2 3m = 107 matt 2 4
Le polynôme devient dune 4x'+292%+-07,-95
Le polynôme décomposé en facteurs donne :
92. Quelles valeurs faut-il donner à p et q pour que le polynôm æ*+pæ*+q soit divisible par x°+2x+5 et donnez le quotient ?
e d'après
groupes
st-à dire
+mz-25
aut qu'il
Le dividende étant du 4° degré et le diviseur dn 24, il est évident que le quotient sera du 2° degré ; on peut donc écrire, en appelant x°+bx4+c ce quotient, que :
2 4+pr+q=(2" 42245) (x +br4e) Le produit du diviseur par le quotient donne : L'4pa+q m2" +(24b) 2'4(54+2b4e) xt +(5b42e) 45e Les deux membres étant deux polynômes égnux du même degré,
il doit y nvoir égalité entre les coefficients des mêmes puissances de z.
On a done successivement :
2+h=0 | bas —:2 5+2b+c=0 d'où l'on tire Tr L 5h+2c=p P= —-!2 5c=q ] = — à
Le polynôme devient donc :
a'+pa+q= 2'—12r-5 et le quotient
æ+bryc= 2x1
