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les efforts de Pagani ne nous paraissent pas avoir surmonté la difficulté : il nous est difficile d'admettre comme suffisamment clair et rigoureux le raisonnement par lequel il essaie d'établir le principe en question, soit qu'il considère un point matériel isolé, soit qu'il ait en vue un système quelconque.

La suite du mémoire est au contraire un modèle de méthode et de clarté : si l'on y rencontre peu d'idées essentiellement neuves , il faut reconnaître que nulle part on n'avait présenté d'une manière plus heureuse la combinaison du principe des vitesses virtuelles avec les formules qui régissent les déplacements infiniment petits d'un système invariable , pour en déduire les théorèmes généraux de la mécanique.

Pendant que Pagani méritait ainsi sa place à l'Académie, et fondait sa réputation de géomètre par d'utiles et sérieux travaux, il ne faudrait pas croire qu'il vécût seulement dans les régions de l'àbstrao* tion, ni qu'il eût perdu de vue complètement dès études plus pratiques. Déjà dans le courant de l'année 1825, au mois de juin, il avait visité la plupart des centres industriels de sa nouvelle patrie , compa* rant les procédés de fabrication , recueillant des données utiles sur les perfectionnements apportés à l'industrie, sur l'avenir auquel pouvaient aspirer les établissements déjà en activité ou en voie de se former. Les notes recueillies dans ce rapide examen attestent à la fois des connaissances singulièrement variées , un désir ardent de les accroître , un coup d'œil sûr et exercé; pour n'en citer qu'un trait, ce

n'est pas sans étonnement que Ton trouve parmi ces remarques de toute espèce des considérations sur l'importance du problème, aujourd'hui tout à fait à Tordre du jour, de la combustion de la fumée dans les foyers des machines à vapeur.

Vers la fin de la même année, il visita l'Angleterre et l'Ecosse, continuant à recueillir des observations semblables qui présentent un tableau curieux et fidèle des manufactures anglaises à cette époque, principalement des établissements destinés à la filature du coton et à la construction des machines. Il décrit çà et là quelques essais de locomotion par la vapeur sur les chemins à ornière, dont le hasard le rend témoin à Newcastle et à Edimbourg.

Mais la position nouvelle qui l'attendait à son retour en Belgique vint le fixer dans une voie plus en harmonie avec ses capacités, et diriger définitivement 6es recherches vers les mathématiques pures et ses efforts vers leur enseignement. Nommé professeur extraordinaire à l'Université de Lbuvain, il ouvrit dans cette ville un cours de géométrie et de mécanique industrielle , où il s'attacha à concilier la simplicité convenable à l'auditoire auquel ces leçons étaient destinées avec l'exactitude géométrique dont il ne se départait jamais.

Cette même année acheva de combler les vœux de Pagani en lui faisant trouver, au sein d'une famille distinguée, ce foyer domestique et ces affections intimes qui lui faisaient cruellement défaut si loin de son pays : le 19 avril 1826, il reçut la main de M"*Wae-

penaert de Termiddel-Erpen, dont les hautes qualités devaient assurer son bonheur.

L'avenir heureux qui s'épanouissait devant lui , les encouragements et l'accueil qu'il recevait des hommes distingués auxquels il s'était adressé , tout concourait à entraîner Pagani dans la voie des recherches scientifiques et des labeurs féconds; jamais aussi son intelligence ne se déploya plus active, jamais il ne fut mêlé plus éncrgiquement à la vie intellectuelle de son époque que pendant ces brillantes années : à l'Académie de Bruxelles, dans les mémoires de Turin, dans la Correspondance mathématique de M.Quetelet, il s'attache à simplifier l'exposition des principales théories de la mécanique , à en discuter les cas les plus épineux , ou à en étendre les applications par l'examen approfondi des méthodes analytiques qui leur conviennent.

Les théorèmes établis par Fourier, et sur lesquels celui-ci a fondé la solution d'un grand nombre de questions dans la théorie de la chaleur, attirèrent surtout l'attention de Pagani, qui avait tout d'abord apprécié l'importance de cette méthode nouvelle , et le progrès réel qu'elle constituait dans la science. Il eut de plus l'honneur de concourir au triomphe définitif de cAte méthode, en démontrant qu'elle s'appliquait avec beaucoup de simplicité à plusieurs des problèmes les plus difficiles de la mécanique et de la physique mathématique, et en l'envisageant sous un point de vue extrêmement général dont Fourier luimême ne paraît pas avoir apprécié la puissance. Ce

fut d'abord dans son mémoire couronné, relatif an mouvement d'un fil flexible (1), qu'il développa ses idées, en traitant par la méthode de Fourier le célèbre problème des cordes vibrantes sous plusieurs points de vue, et en attaquant par cette même méthode le problème proposé par l'Académie : « Un fil flexible et » uniformément pesant étant suspendu par l'une de » ses extrémités à un point fixe, et soulevé par son » autre extrémité à une hauteur et une distance quel- » conque , si l'on vient à lâcher cette seconde extrémité net à abandonner ainsi le fil à l'action libre de la apesanteur, on demande les circonstances de son » mouvement dans l'espace supposé vide. »

Malgré la simplicité apparente de l'énoncé du problème, il suffit de l'examiner d'un peu près pour reconnaître qu'il appartient à l'ordre des plus difficiles questions de la dynamique : Pagani en poussa la solution aussi loin que l'Académie pouvait espérer. En établissant par des considérations fort simples les équations du mouvement d'un système flexible linéaire , telles que Lagrange les avait trouvées (2), il ajoute une page élégante à la mécanique analytique. L'intégration de ces équations dans le cas des oscillations très-petites le conduit à ce résultat curieux : que le problème des oscillations d'un fil flexible, pesant, suspendu par une extrémité, est beaucoup plus com-

(i) Mémoire» couronné» par l'Académie de Brvxelle» , t. V, 4834. .{%) Mécanique analytique , t. I, p. S42, édition de M. Bertrand.

pliqué lorsque le fil est homogène que lorsque sa densité suit une loi moins simple en apparence. En résumé , il établit que le problème est résolu complètement par ses formules dans le cas des oscillations très-petites, qu'une solution générale excède les forces actuelles de l'analyse, et que les intégrales analogues à celles du principe des aires et des forces vives subsistent dans le mouvement d'un fil flexible.

L'élégance soutenue qui caractérise cet écrit suffirait seule pour en rendre la lecture profitable; mais la manière nouvelle dont l'auteur a tiré parti des idées de Fourier, pour donner à ses intégrations une allure uniforme, mérite une attention spéciale.

Un grand nombre de problèmes de physique mathématique conduisent , comme on le sait, à se poser la question suivante : représenter une fonction complètement arbitraire , entre certaines limites assignées à la variable, par une série infinie dont les termes dérivent d'un terme type, en y faisant varier un paramètre suivant une loi connue, et multipliant chaque terme par un coefficient, fonction inconnue de ce paramètre. La fonction arbitraire se trouve déterminée dans chaque cas particulier, par l'état initial du système; mais la difficulté consiste à déterminer, au moyen de cette équation unique , tous les coefficients en nombre infini qui figurent dans le développement, à trouver un procédé d'élimination qui permette d'isoler a volonté un coefficient quelconque, pour en calculer la valeur. Cette question, de si haute importance , avait été résolue par Lagrange dans un

cas particulier, sans qu'il vît là matière à des généralisations ultérieures; Fourier, plus heureux, fit voir au contraire par quels liens l'avancement de plusieurs théories physiques se rattachait à la solution de ce problème, et montra comment on pouvait le traiter dans un grand nombre de cas. Pourtant, dans la plupart de ceux où il l'a considéré dans son immortelle théorie de la chaleur, le terme type de la série est une fonction trigonométrique , et les propriétés les plus simples de celles-ci conduisent sans peine à trouver le procédé d'élimination. Dans une seule question, celle du refroidissement de la sphère, cette circonstance ne se présentant pas, l'insuffisance des moyens ordinaires l'oblige à recourir à une marche différente, sans qu'il paraisse se douter de la puissante extension dont cette méthode est susceptible.

En travaillant à son mémoire sur le fil flexible, Pagani comprit quels avantages résultaient de l'emploi des considérations effleurées par le savant français, et combien la généralisation en serait précieuse pour faciliter l'application des méthodes mêmes de Fourier. Il se servit exclusivement , dans le cours du mémoire, de ce procédé pour achever la détermination des coefficients , et s'attacha à en faire ressortir la fécondité et la supériorité sur toutes les autres méthodes employées pour arriver à ce but. Aujourd'hui que, par les beaux travaux de M. Lamé, la théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides a fait des pas importants, et que la méthode dont nous parlons est passée dans la science, il est superflu d'ajouter

qu'elle consiste à puiser le principe de l'élimination dans l'équation différentielle même à laquelle satisfait le terme type de la série, combinée avec les équations de condition du problème.

Dans le mémoire sur le développement des fonctions arbitraires en séries dont tes termes dérivent d'une même fonction continue, en y faisant varier une constante ou paramètre (1) , Pagani donna à son idée tout le développement qu'elle avait pris chez lui par une méditation prolongée : il se proposa de traiter la question du développement des fonctions arbitraires, abstraction faite de toute théorie physique, et de l'envisager dans toute sa généralité, en considérant même le cas où la variable reçoit des différences finies ; le terme type de la série étant d'ailleurs défini seulement par une équation différentielle d'ordre quelconque, linéaire, à coefficients variables. En se plaçant ainsi au point de vue le plus élevé de la question, l'auteur devait naturellement retrouver les formules importantes données soit par Fourier, soit par Poisson , qui ne sont en effet que des cas trèsparticuliers dans sa méthode ; mais quelque symétrie qu'il ait réussi à donner à ses calculs , on conçoit , par la nature extrêmement abstraite de ce travail , combien l'étude en est pénible.

Dans le cours de Tannée 1828, Pagani put faire à Paris la connaissance personnelle de Fourier, auquel

(4) Lu à l'Académie en 1888. Mémoires de rjcadémie royale de Bruxelles, t. V, 4849.

il exposa sa manière de voir, et une correspondance s'établit entre les deux savants : Fourier était heureux de recueillir tout ce qui pouvait compléter et perfectionner ses propres travaux; les objections mêmes soulevées contre sa théorie lui rendaient utile l'assistance d'un auxiliaire, qui du reste ne lui fit pas défaut, car en 1833 Pagani présenta à l'Académie un nouveau travail , destiné à montrer la flexibilité de la méthode d'intégration de Fourier sous les modifications que lui-même y avait apportées ; il est intitulé : Mémoire sur l'intégration d'une classe d'équations aux différentielles partielles linéaires, relatives au mouvement de la chaleur dans les corps solides (1).

Plusieurs problèmes assez difficiles, que Poisson avait traités dans le journal de l'École Polytechnique (2), à l'aide de toutes les ressources que lui fournissait son prodigieux génie pour l'analyse , y sont résolus fort simplement, par une méthode uniforme : « On se propose spécialement ici , dit Pagani dans le » cours du mémoire , de faire voir que la méthode » proposée par M. Fourier, et qui n'est, si l'on veut, » qu'une extension de celle de Lagrange, peut con- » duire facilement au but , sans qu'on soit obligé » d'inventer de nouveaux artifices d'analyse. »

(1) Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. VIII, 1834. Ce mémoire a été reproduit à divers intervalles, dans la Correspondance mathématique.

(«) W Cahier.

Tandis que Pagani consacrait aux recherches mathématiques le temps que lui laissait renseignement dont il était chargé, la révolution survint et, par un décret du gouvernement provisoire, la faculté des sciences de Louvain fut supprimée et la chaire de mathématiques transportée à Liège. Forcé de se rendre dans cette dernière ville, Pagani ne quitta pas Louvain sans recueillir un précieux témoignage de l'estime qu'il y avait inspirée : il reçut une lettre où les autorités de la ville, en lui exposant les efforts qu'elles avaient tentés pour obtenir la suppression du décret, lui exprimèrent combien étaient appréciés les services qu'il avait rendus, combien étaient vifs les regrets qu'il laissait après lui.

Arrivé à Liège, il y passe un petit nombre d'années, partagé entre ses travaux qu'il poursuit activement et ses leçons sur les différentes branches de la science. En 1832 il est nommé professeur ordinaire. Deux ans après , nous le voyons parcourir son pays natal, au milieu des marques de considération de ceux qui avaient été ses maîtres ou ses amis, et porter à Rome, aux pieds du Saint-Père, l'hommage d'un dévouement religieux. Enfin, au mois de novembre 1835, nous le retrouvons à Louvain, professeur à l'Université catholique récemment fondée. C'est là qu'il accomplit le dernier travail de sa vie, c'est là qu'il professe presque sans interruption , aussi longtemps que la maladie et*le désir de son repos ne viennent pas l'enlever à ses collègues et à ses disciples.

L'enseignement de la mécanique eut toujours la meilleure part de ses sympathies ; un contact habituel de cette science avec son esprit, le désir de la rendre vraiment accessible aux jeunes intelligences qu'il formait, ramenèrent plusieurs fois ses méditations vers les théories générales, et lui dictèrent des travaux d'une certaine étendue.

On peut ranger dans cette classe un écrit qui porte ce titre : Mémoire sur l'équilibre des systèmes flexibles, et qui fut présenté à l'Académie en 1827 (I). Adoptant une marche qu'il avait déjà plusieurs fois suivie, Pagani considère d'abord un polygone funiculaire dont les sommets sont soumis à des forces quelconques (application du principe des vitesses virtuelles, problème de calcul aux différences finies); puis, par le passage du discontinu au continu, il obtient les formules connues de l'équilibre d'un fil flexible. Généralisant ensuite la question, il établit les équations de l'équilibre d'un réseau flexible , sujet qui n'avait pas encore été traité et qui offre cette circonstance remarquable , qu'en passant du fini à l'infini par une transformation ingénieuse , l'auteur obtient les équations d'une surface flexible en équilibre, et révèle par là le défaut de l'analyse de Lagrange, qui aborde cette question dans la mécanique analytique , mais d'une manière évidemment incomplète (2). Ce point obscur de la mécanique avait été

(1) Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tome IV, 1837.

(2) Mécanique Analytique, t. I , p. 440. Édition de M. Bertrand .

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pour but de simplifier l'exposition de la science. La symétrie des formules de géométrie ou de mécanique dans lesquelles on considère trois axes coordonnés rectangulaires a depuis longtemps été remarquée : presque toujours les équations se groupent par trois, qui se déduisent Tune de l'autre par un roulement de lettres ; souvent les différents termes d'une même équation suivent une loi semblable. Cependant les facilités que donne cette remarque pour abréger et vérifier les transformations algébriques n'avaient pas encore servi de base à un algorithme spécial, destiné à en tirer tout le parti possible : tel est le but que se proposait Pagani dans ce mémoire, et, après avoir établi ses conventions, il en faisait usage dans la théorie des projections, dans la transformation des coordonnées, dans le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe.

Quoique le système de notations proposé par Pagani donnât une forme très-concise à l'écriture algébrique, quoiqu'il eût été appliqué par le savant professeur à des exemples heureusement choisis, il ne fut pas adopté par les géomètres. Voici peut-être quelle en est la raison : il est avantageux pour le calculateur de pouvoir écrire sous une forme abrégée les résultats définitifs où il est parvenu , mais il est plus commode pour lui d'opérer sur des formules suffisamment développées lorsqu'il s'agit de les combiner entr'elles. S'il n'a sous les yeux que des indications abrégées , obligé de suppléer par la pensée aux termes absents , il s'astreint à une attention scru-

pilleuse, et la fatigue épargnée à la main se trouve par là rejetée sur l'esprit.

Familiarisé cependant avec le maniement de sa notation , Pagani ne cessa d'en faire usage dans ses travaux postérieurs sur la mécanique. L'un des plus intéressants est celui dont il donna d'abord un extrait dans la Correspondance mathématique (1), qui fut ensuite publié dans le journal de Crelle (2), et présenté enfin, avec des modifications notables, à l'Académie de Belgique, sous ce titre : Mémoire sur quelques transformations générales de la formule fondamentale de la Mécanique (3). L'auteur expose en quelques lignes la marche qu'il suit dans son cours pour établir cette équation fondamentale, qui résulte de la combinaison du principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles. Puis , admettant cette formule comme démontrée, il étudie diverses transformations dont elle est susceptible. Le théorème remarquable donné par Lagrange sur ce point important de dynamique est complété par Pagani, qui en fait l'application à plusieurs systèmes de coordonnées. La plus intéressante des formes sous lesquelles il présente l'équation générale de la mécanique, et à laquelle il parvient par des artifices analytiques , est en même temps l'une des plus simples que Ton ait proposées : elle présente cet avan-

(4) Tome VIII, année 1837.

(2) 17» Band, drittes Heft, 4837.

(3) Mémoires de V Académie de Bruxelles, t. XII, 4839.

tage particulier que toutes les quantités qui y figurent ont une signification remarquable au point de vue mécanique; qu'elle conduit immédiatement au principe des forces vives, à la solution du mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe, et de quelques autres problèmes difficiles , dont Pagani présente des exemples dans ce mémoire. Au reste, il suffit d'examiner d'un peu près cette formule pour voir qu'elle dérive sans aucun calcul du principe de d'Alembert, en introduisant au lieu des composantes parallèles à trois axes les composantes tangcntielle et normale de la force d'inertie des points du système.

Les mémoires que nous venons d'analyser montrent avec quel succès Pagani se livrait à l'enseignement de la mécanique analytique, et combien il apportait de soin à en coordonner, à en perfectionner les parties les plus importantes. Des questions plus spéciales attiraient aussi son attention : il en est une à laquelle il revint assidûment, et dont Euler s'était déjà préoccupé; mais Pagani eut certainement le mérite de porter beaucoup de lumière dans un sujet obscur, et de le rattacher habilement aux principes ordinaires de la mécanique. On sait que tout système invariable qui repose sur plus de trois appuis exerce sur chacun d'eux une pression indéterminée, si l'on fait abstraction de la flexibilité de ces appuis : la singularité d'un tel résultat avertit qu'il faut ici tenir compte de la déformation légère qui a lieu réellement dans la nature. Abandonnant toute hypothèse, Pa-

gani , dans sa Note sur l'équilibre d'un système dont une partie est supposée inflexible , et dont l'autre partie est flexible et extensible (i) , part de la loi expérimentale de l'allongement des fils élastiques et traite avec beaucoup de simplicité et de lucidité plusieurs problèmes intéressants, relatifs à l'équilibre d'un corps pesant , suspendu par un système de cordons flexibles et extensibles.

Un mémoire plus important, Sur l'équilibre des colonnes (2), fut présenté par M. Bidone au nom de l'auteur à l'Académie de Turin , et donna sur ce sujet de nouveaux éclaircissements. Ici l'auteur s'est proposé d'établir les formules générales , à l'aide desquelles on peut calculer les pressions supportées par une colonne , ou par un système de colonnes prismatiques , dont la base repose sur un plan horizontal fixe, la base supérieure supportant une table chargée d'un ou de plusieurs poids. La solution présentée par Pagani découle exclusivement d'une analyse approfondie des conditions mécaniques de la question; elle a tous les caractères d'une méthode applicable dans la pratique. Les lois expérimentales de la déformation des ressorts prismatiques sous l'action de certains poids fournissent des équations qui , jointes aux équations ordinaires de l'équilibre, donnent les

(i) Mémoires de l'Académie royale de Bruxelles, t. VIII.

(2) Memorie délia Reale Academia délie Scienze di Torino, V série , t. I. —Ce travail a paru d'abord, en partie, dans le Journal de Crelle en 4834.

éléments suffisants pour calculer, soit l'état du système déformé, soit la pression qui s'exerce sur un filet vertical quelconque; le reste n'est plus qu'une question de calcul. Telle est la marche adoptée par Pagani dans son mémoire : en ne tenant pas compte de certaines flexions secondaires qui compliquent la difficulté, l'auteur établit, par cette analyse claire et élégante dont il possède le secret, les formules qui résolvent le problème et dont il fait ensuite plusieurs applications. Dans son travail, il démontre à priori ce théorème général , que la somme des carrés des pressions supportées par les colonnes est un minimum parmi tous les systèmes de forces qui , appliquées aux mêmes points , feraient équilibre aux mêmes poids; il avait déjà donné une proposition analogue dans sa note précédente.

C'était particulièrement dans les journaux scientifiques que Pagani publiait de courtes notices sur les sujets qui attiraient son attention, comme l'expérience deGrégory, dont le troisième volume de la Correspondance mathématique renferme la description. Qu'on imagine un corps pesant suspendu à un cordon flexible, dont le point d'attache est au centre d'une roue horizontale tournant sur elle-même avec une vitesse constante : le fil se courbe, le corps se soulève, se place dans une singulière position d'équilibre, et tout le système se meut alors d'un mouvement uniforme. Cette expérience fut pour Pagani l'occasion de déployer son habileté dans le maniement des formules de la mécanique rationnelle : il

en considéra d'abord un cas particulier dans le tome IV de la Correspondance; un officier du génie, M. de Salys, en résolut un autre, et la discussion s'engagea. Pagani donna successivement plusieurs additions à son travail, et, l'émulation aidant, il en vint à traiter la question d'une manière très-générale et très-complète : tel est le sujet du Mémoire sur L'équilibre d'un corps solide suspendu à un cordon flexible (1). Une analyse savante le conduit aux résultats que l'expérience avait constatés, et à la solution d'un grand nombre de cas particuliers.

Certes , il ne peut être accusé d'un défaut d'activité , l'homme qui, dans le petit nombre d'années que nous venons de parcourir, avait successivement mis au jour tant de travaux, tous remarquables au moins par leur élégance et leur correction , sans que des études aussi approfondies l'eussent empêché de se livrer, avec un dévouement sincère et un incontestable talent, à l'enseignement des matières scientifiques les plus variées , à la diffusion des méthodes les plus parfaites en mathématiques. Les qualités qui brillent dans les écrits du géomètre, on les retrouvait dans les leçons du professeur : la clarté , la précision , l'élégance dans les transformations analytiques , un art particulier pour se rendre maître des perfectionnements apportés chaque jour à l'exposition de la

(4) Mémoires de l'Académie, toro. X, 4837. — Ce mémoire a été reproduit intégralement dans le Journal de C relie.

science , et les faire passer dans ses leçons avec un cachet de simplicité qui lui était propre; par dessus tout, l'habitude de dominer son sujet d'assez haut pour montrer les liaisons des diverses parties de la science, la route suivie par l'esprit des grands maîtres, pour tracer à chacun le travail que doit s'imposer l'intelligence, si elle veut s'assouplir aux luttes de l'analyse contre les problèmes de la nature.

Possédant une érudition considérable et une connaissance approfondie de la marche progressive des sciences , il en savait répandre assez dans ses leçons pour intéresser ceux qui l'écoutaient, et inspirer aux jeunes esprits qu'il voulait former l'amour des recherches mathématiques. Aussi, parmi les nombreux élèves qui le suivirent, et dont plusieurs ont acquis une réputation méritée, il n'en est peut-être pas un qui n'ait conservé vivant le souvenir de cet enseignement à la fois si lucide et si élevé , et qui n'ait attesté par des témoignages publics ou par des lettres intimes l'impression pleine de respect que le maître faisait sur son auditoire.

Mais parmi toutes les branches qu'il professa , soit à Liège, soit à Louvain, la mécanique analytique fut toujours l'objet de sa prédilection, et c'est là surtout, disent ceux qui ont eu le bonheur de le suivre dans ce champ favori, que son talent se manifestait d'une manière plus complète, et qu'il éveillait dans son auditoire une attention plus vive : « Que n'avons-nous vingt ans à consacrer à la mécanique, disait-il quelquefois , atin de la reprendre à son enfance et de la

voir s'élever, par le travail incessant des géomètres, à l'ensemble qu'elle présente aujourd'hui ! »

Nous l'avons vu , dans ses recherches mathématiques , s'attacher souvent à mettre de l'unité dans une théorie, à généraliser les principes et à resserrer les anneaux du raisonnement par lequel on déroule les conséquences de ces principes; chercher enfin à imprimer à tout ce qu'il faisait le caractère systématique. Tel était le géomètre, tel était l'homme : en toutes choses poursuivant l'unité et la rigueur des déductions, il aimait, soit en philosophie, soit dans les matières scientifiques, à se construire des systèmes d'un enchaînement remarquable et d'une forte ordonnance. Pagani possédait en outre une grande rapidité de conception, une vue claire et prompte du vrai chemin 'qui conduit à la solution d'une difficulté, et ces qualités faisaient de lui un adversaire redoutable dans les discussions : il ajoutait eucore à tout cela des connaissances étendues sur les sujets les plus variés , car il avait beaucoup lu , et bien lu ; son patriotisme lui avait rendu la littérature italienne particulièrement familière.

A l'ascendant d'un esprit élevé et original, il joignait l'autorité d'un caractère universellement respecté : sincèrement et profondément religieux, d'une austère sévérité pour lui-même , d'une impartialité et d'une délicatesse extrêmes vis-à-vis de tout le monde, il savait encore trouver des paroles bienveillantes et un accueil affectueux pour ceux qui réclamaient ses conseils , et auxquels il manifestait un vrai désir d'être

utile, pour peu qu'il leur eût reconnu la volonté d'avancer dans les sciences.

Bien qu'il recherchât peu les honneurs, il devait à son mérite une réputation solide et étendue, dont il reçut de nombreux témoignages. — La Société des sciences physiques, chimiques, etc.. de France, la Société des sciences, lettres et arts d'Anvers, le comptèrent parmi leurs membres correspondants; ses succès avaient eu de l'écho dans son pays natal : la province de Valence lui offrit le mandat de député, plusieurs fois il reçut du Piémont des lettres où l'on sollicitait le secours de ses lumières; enfin, le 17 février 1837, sur la proposition de M. Bidone, il fut nommé membre correspondant de l'Académie des sciences de Turin. La décoration de l'ordre de Léopold, qui lui fut accordée le 20 septembre 1841 , récompensa les services qu'il avait rendus à l'enseignement et à la science. En Allemagne , ses travaux étaient justement estimés dans le cercle d'hommes capables de les apprécier, comme le prouvent sa correspondance avec M. Crelle et l'hommage rendu à sa mémoire dans le célèbre Journal dont il fut pendant quelque temps le collaborateur.

Malheureusement, le moment approchait où le savant professeur, épuisé par le travail , découragé par une santé chancelante et par des circonstances qui tiennent à la nature de ses travaux, allait quitter, jeune encore, le champ de la science, et renoncer, d'une manière de plus en plus complète, aux recherches qui avaient passionné sa jeunesse et absorbé sa vie.

Dans la dernière période active de la vie scientifique de Pagani, on remarque un changement assez curieux dans la direction de ses recherches : soit que la nature des questions qui faisaient alors l'objet de son enseignement eût attiré son attention sur ce sujet, soit qu'il éprouvât cette influence qui, à un certain âge, porte quelquefois les méditations des géomètres vers les notions fondamentales de la science, il s'attacha à généraliser les principes de l'analyse, à perfectionner certains points importants des théories algébriques : on doit regretter qu'il ait si tôt abandonné cette- voie, où le peu d'écrits qu'il nous a laissés démontre qu'il pouvait ambitionner des succès réels.

Il publia d'abord dans les mémoires de l'Académie une Note sur l'équation A» = C (\). On sait que l'illustre Euler, envisageant le premier la théorie des logarithmes sous un point de vue général , avait établi cette importante proposition : « tout nombre réel, dans un système dont la base est réelle, admet une infinité de logarithmes. » Généralisant encore les idées d'Euler, Pagani, dans le travail dont nous parlons, suppose à toutes les grandeurs, entre lesquelles a lieu l'équation exponentielle, la forme type des quantités imaginaires : après avoir exposé par quelles transformations ces quantités s'expriment en fonction d'un module réel et d'une exponentielle imaginaire, il résout par des formules générales les

(4) Mémoire» de V Académie royale de Belgique , t. XI , auuée 1858.

divers problèmes auxquels cette équation donne lieu. L'application des formules ainsi trouvées au cas particulier traité par Euler, celui où l'exposant est inconnu, le nombre et la base étant des quantités réelles données, conduit à un résultat qui diffère de celui auquel est parvenu ce grand géomètre. Euler considère en effet la base comme essentiellement réelle; à cause de cette restriction dans son point de départ, ses équations ne renferment pas certains termes que Pagani rétablit et d'où il résulte que dans l'expression générale du logarithme d'un nombre, non seulement la partie imaginaire admet une inlinité de valeurs différentes, ainsi qu'Euler l'avait démontré, mais la môme chose a lieu pour la partie réelle, contrairement aux conclusions du célèbre analyste. On déduit aussi des formules générales trouvées par Pagani cette conséquence remarquable, que, dans un système à base réelle positive, un nombre imaginaire aura un logarithme réel, pourvu qu'il satisfasse à certaines conditions. En'1839, Pagani revint sur ce sujet dans une note de quelques pages (1), et considéra les logarithmes sous un autre point de vue. Partant de leur définition arithmétique, il parvint à retrouver une formule connue que l'on pourrait aussi regarder comme une nouvelle définition des logarithmes , à en déduire les propriétés fondamentales de ces quantités, et même les expressions générales

(4) Bulletin» de V Académie royale de Belgique, t. VI, 4a partie.

proposées par Euler. Plus tard , il ajouta sur certains points de nouveaux éclaircissements à la théorie des imaginaires, compléta les recherches de M. Cauchy sur les équations trigonométriques (1); mais ces courtes remarques, où il fit preuve d'ailleurs de beaucoup d'adresse et de sagacité, n'étaient visiblement que les premiers jets d'un travail important, qui peut-être occupait déjà son esprit. Le but de ce travail était d'élargir suffisamment les idées fondamentales de l'algèbre, pour que la théorie des quantités imaginaires s'y pût encadrer, dépouillée de tous les nuages qui l'obscurcissent, et préparer à la géométrie de nouvelles et fécondes ressources , ainsi qu'il est arrivé déjà pour les quantités négatives. Cette entreprise , dont l'importance a déjà sollicité et appelle encore aujourd'hui les efforts de géomètres éminents , il la tenta en effet : ses papiers renferment un mémoire inachevé sur les principes fondamentaux de l'analyse algébrique , qui ne fut pas livré à la publicité, soit que l'auteur ait par la suite renoncé au système qu'il y proposait, soit qu'il n'ait plus trouvé la force de donner à son œuvre la perfection nécessaire. Du reste, il donna, vers cette époque (1846), une série de leçons à l'université , où l'on retrouve l'empreinte des idées qui régnaient alors dans son esprit.

A partir de l'année 1859 , les annales de l'Académie

(4) Bulletin» de V Académie royale de Belgique , t. VII, «" partie.

ne renferment plus aucun mémoire qui porte le nom de Pagani ; des rapports, des notes de peu d'étendue, insérées dans les Bulletins, forment pendant une longue suite d'années le seul contingent qu'il apporte aux travaux de la compagnie. On retrouve encore dans ces ébauches l'habileté du géomètre , l'art des transformations élégantes, mais ces qualités font regretter davantage l'absence de recherches plus importantes. Cette retraite affligeante, qui devient un silence presqu'absolu depuis 1847 jusqu'en 1852, a dû naturellement causer quelqu'étonnement , et nous manquerions à la mémoire de Pagani en n'essayant pas de jeter quelque lumière sur ce point.

La santé du professeur était depuis longtemps altérée : des études prolongées, les fatigues de l'enseignement avaient miné ses forces et par là même affaibli son courage : le moment arriva où le travail dut lui devenir très-pénible, sans qu'il cessât pourtant de lire et de se livrer à l'étude. Des circonstances douloureuses contribuèrent, en l'affectant vivement, à aggraver son état de faiblesse et de maladie. Au retour d'un voyage qu'il fit en Italie, en 1845, pour demander aux rayons du soleil méridional quelque allégement à ses souffrances , il fut autorisé à reporter une partie des fatigues de sa charge sur un élève formé par lui, M. Andries. Mais le soulagement qu'il en éprouva fut malheureusement de courte durée. Ce jeune homme, qui justifiait déjà les plus brillantes espérances, mourut dans les premiers mois de l'année 1848, à Paris, où il était allé chercher le corn-

plément de ses études antérieures (i). Cette carrière subitement terminée fut pour Pagani l'objet de vifs regrets ; aussi ne reprit-il pas sans découragement la tâche qu'il avait cru pouvoir confier à son élève, et dont il ressentit de nouveau tout le poids. Une nouvelle épreuve, la mort de son frère aîné, qui survint en 1851 , fut un dernier coup porté à sa santé chancelante, et l'affaiblissement de sa personne devint dès lors visible à tous les yeux.

Pour peu que l'on considère l'ensemble des travaux de Pagani, que l'on connaisse les sphères où son intelligence se mouvait d'habitude, on ne peut manquer d'être frappé d'une autre circonstance , qui a dû profondément influer sur l'activité de ses recherches , et dont il est nécessaire de tenir compte. Pagani était exclusivement de l'école d'Euler et de Lagrange : formé aux écrits de ces deux géomètres , il assista sans y prendre part à une transformation très-remarquable du génie de cette école, sous l'influence de tendances nouvelles qui se manifestèrent dans la science. Cessant de demander à la seule analyse la solution des problèmes de la physique et de la mécanique , quittant le champ où avaient passé tous les génies de l'époque précédente , des esprits novateurs tournèrent leurs efforts vers la géométrie à la manière des anciens, dont ils introduisent la

(4) Voyez la notice sur M. Andries dans l'Annuaire de l'Université de 1849, p. 440.

marche naturelle , les aperçus lumineux dans l'étude des plus hautes et des plus difficiles questions. Ces restaurateurs de méthodes injustement oubliées furent, en France, Carnot, MM. Poinsot, Chasles, Poncelet, etc.; en Belgique, MM. Quetelet, Dandelin; en Allemagne, Mobius, Steiner, etc.; et ce qui a été fait donne un gage de ce qu'on peut espérer dans l'avenir.

Nombre d'hommes distingués marchèrent avec ardeur dans ces voies nouvelles; l'analyse elle-même en éprouva le contre-coup , car plusieurs de ses théories doivent d'heureuses simplifications ou d'importants perfectionnements à l'emploi bien dirigé des considérations géométriques : il suffit de citer les noms de MM, Lamé, Chasles, ou de rappeler les travaux de MM. Bertrand, Catalan, etc.

Or il est difficile à l'homme qui travaille loin du courant des idées contemporaines de travailler longtemps avec la même ardeur : l'isolement , l'absence d'émulation sont les sources du découragement et de la stérilité.

Peut-être par la nature de ses travaux, Pagani se trouva- t-il soumis à quelque influence semblable : en consultant la Correspondance mathématique , les Mémoires de l'Académie , depuis 1824 jusqu'à l'époque où son nom cesse d'y figurer, on s'étonne de trouver peu de recherches sur les sujets qu'il cultivait luimême , et si , exceptionnellement , il trouvait autour de lui de l'écho, on voyait naître ses mémoires les plus complets et les mieux travaillés. On conçoit fa-

cilement jusqu'à quel point ce peu d'harmonie entre les idées régnantes autour de lui , et ses sympathies naturelles, a dû ralentir son ardeur et le détourner des travaux mathématiques; mais l'action des circonstances extérieures sur son intelligence devient plus évidente encore, et confirme ce que nous avons déjà dit, lorsqu'on voit, en 1852, après que M. Foucault , par ses belles expériences sur la déviation du pendule libre, eut tracé le programme d'intéressantes recherches sur la mécanique, Pagani sortir brusquement de l'indifférence où il semblait depuis longtemps plongé, et lire tout à coup à l'Académie une note sur le théorème d'Euler (1), et un mémoire assez étendu sur le mouvement d'un point matériel rapporté à trois axes fixes dans un corps mobile autour d'un point (2).

La note est de quelques pages seulement : c'est une démonstration ingénieuse et tout à l'ait élémentaire du théorème connu sur la décomposition des mouvements de rotation , théorème à l'aide duquel on peut facilement expliquer le phénomène de la déviation , et trouver la loi de celle-ci.

Son mémoire sur le mouvement d'un point rapporté à trois axes mobiles est beaucoup plus important, la question du mouvement relatif y étant envisagée à un point de vue très-général. Pagani se propose, en partant des équations du mouvement

(4) Bulletins de Y Académie royale de Belgique, t. XIX , *' partie*

(5) Tome XIX , 3* partie.

absolu d'un point matériel, de déterminer son mouvement par rapport à un système invariable, qui tourne d'une manière quelconque autour d'un point lixe : il y parvient par une simple transformation de coordonnées et, malgré la grande généralité de la question , réussit à donner aux formules une simplicité remarquable. Les équations du mouvement relatif deviennent plus faciles encore lorsque la rotation du système s'effectue autour d'une axe de direction constante : c'est le cas des corps mobiles à la surface de la terre.

La seconde partie du mémoire renferme plusieurs applications intéressantes de ces formules générales : la chute des corps pesants ou le mouvement des projectiles dans l'air, en tenant compte de la rotation terrestre, questions déjà traitées dans le dixième livre de la Mécanique céleste; — plusieurs problèmes nouveaux sur le mouvement horizontal y sont aussi résolus , entre autres celui dont s'occupaient alors les géomètres , le mouvement du pendule libre en ayant égard à la rotation de la terre et à la résistance de l'air. On remarque cependant que Pagani n'a pas voulu décrire le phénomène dans toutes ses circonstances , mais établir, par une analyse simple et serrée, des formules qui suffisent pour le représenter exactement.

Le mémoire dont nous venons d'essayer l'analyse, mémoire où Pagani se montre toujours géomètre habile , est malheureusement celui qui ferme la série de ses travaux : c'est, la dernière page à laquelle il ait

attaché son nom. Après cet effort momentané, ce retour d'un instant aux grandes études de sa vie, sous l'impulsion des circonstances , il rentra dans un silence qu'il ne devait plus rompre, et le travail d'affaiblissement qui se faisait en lui s'acheva graduellement. L'enseignement , auquel il s'était longtemps livré avec ardeur, lui devenait chaque jour un fardeau plus pénible; la force lui manquait, et par suite le goût de continuer à s'y livrer (1). D'ailleurs, la science n'était plus le lieu habituel de ses idées : comme s'il eût pressenti sa fin prochaine , sa pensée se tournait de plus en plus vers Dieu, il aspirait ardemment vers un repos absolu, où il pût consacrer à son âme les dernières heures qui lui étaient accordées sur la terre. Enfin, le premier janvier 1854, ne sentant plus en lui l'énergie suffisante pour remplir les devoirs de la chaire qui lui était confiée, il ne crut pouvoir l'occuper plus longtemps, et renonça d'une manière définitive à l'enseignement. Cette détermination prise, on le vit retrouver un peu de calme : il passa l'année tranquillement occupé de ses bonnes œuvres , de ses amis , de lectures qui lui rap-

(4) En 4853, M. Pagani obtint un congé d'un an, pour aller passer quelque temps dans son pays natal. Au bout de trois mois , par des circonstances imprévues , il revint . à Louvain , mais ne reprit plus ses cours. Ayant renoncé au professorat par suite de l'affaiblissement de sa santé, il annonça sa résolution à M. le Recteur de l'université par une lettre dans laquelle il le remercie pour toutes le* bonté» qu'il avait constamment eues pour lui. Notice de M. Quctelet , pp. 413 et 443.

portaient comme un écho de ses travaux d'autrefois, cherchant par de paisibles distractions un soulagement à ses douleurs. La santé seule faisait défaut chez lui, car il avait conservé toute, la vivacité de son esprit , toute la lucidité de son jugement.

Au mois d'avril 1855, il quitta Louvain, se proposant de passer l'été dans une campagne qu'il possédait à Woubrechtegem, près d'Alost; jamais il n'avait manifesté une joie plus vive, un désir plus ardent de concentrer, au sein d'une paix profonde, toutes ses pensées vers le ciel. Cet empressement était d'un fatal augure. Il avait à peine goûté, au milieu de sa famille, quelques jours de ce calme qu'il était venu chercher, lorsque des symptômes graves se manifestèrent brusquement : le mal, sur ce corps déjà défaillant, fit rapidement des progrès que les soins et le dévouement qui l'entouraient ne parvinrent pas à conjurer. Bientôt la science se reconnut impuissante , et tout espoir fut perdu , sans que la conscience d'une mort prochaine pût troubler un instant son front, où brillaient également la fermeté du chrétien et la paix d'une âme irréprochable. Dix jours d'intolérables douleurs achevèrent d'anéantir ses forces , sans amener sur ses lèvres une parole qui ne fût empreinte d'une parfaite résignation à la volonté divine. Il reçut les derniers sacrements avec une ferveur exemplaire, et expira le 10 mai 1855, laissant ceux qui l'avaient assisté dans ses derniers combats pleins du souvenir de sa mort édifiante, et tous ceux qui l'avaient aimé plongés dans une douleur profonde.