COS

VAM-BM-C^

Fie. i5. 85. Cela posé, soient OX, OY, OZ les axes rectangulaires auxquels est rapportée la surface F(a:, j", z) = o; OAB le plan sécant que nous supposons passer par l'origine, et OX' sa trace sur le plan XY. Menons dans ee plan sécant une droite OY' perpendiculaire sur OX', et cherchons à rapporter à ces deux derniers axes la section

TKANSFOKMATION DRS COORDONNEES, etC. 65

faite par le plan OAB dans la surface. Or, pour un point M de cette section , on a en même temps

MP=:z, PQrrrj, ÔQ = J?,

puis, si nous tirons la droite RP, elle sera évidemment perpendiculaire sur OX', et parallèle à la projection orthogonale OY" de OY' sur le plan XY5 de sorte que Tinclinaison du plan sécant sera mesurée par Tangle MRP=Y'OY'==:e. Alors le triangle rectangle MRP donnera

PR = ^'' = ^'cosG;

mais en considérant le point P, projection de M, comme rapporté tour à tour aux deux systèmes de coordonnées rectangulaires X =0(^9 ^=:PQ, eta:'=OR, j^"=:PR, ou aura entre ces coor4onnées les relations connues

a: = ;r' cos ^ + j " sin y , y z=i x' sin ff — y" cosq» :

ce sont les formules ordinaires pour la transformation des coordonnées rectangulaires dans un plan^ seulement nous avons changé le signe de ^".partout, attetidu que, dans la figure actuelle, lesj^" positifs se projettent sur les y négatifs. Donc , en substituant ici la valeur précédente de j**^ cm obtiendra enfin pour les coordonnées d'un point commun à la surface et au plan OAB , les expressions

a? = jr' cosf -f- j^ ' cosÔ .sin ç, (12) ^ ^ = jp'sin^ — /' cosO.cosf ,

Ainsi ces formules , substituées dans F (x , / , ^) = o , don-

66 CHAPITftK IV.

neronl Tëqualion f(x\ j ') = o de k section rapportée à des axes rectangulaires pris dans son plan.

86. Si le plan sécant OAB était perpendiculaire à XY, il faudrait poser 6 = 90^, et les trois formules (12) se réduiraient aux deux suivantes :

.x = x'cos<p, ^ ^ f r = jc' smç,

y -=. X' smç

parce qu'ici Taxe O Y' coïncidant avec OZ, il est inutile de substituer j^' à Fancienne coordonnée z 5 et Téquation de la section faite dans F (or, y, ^) = o, se présentera alors sous la forme /"(jc', %)±zo.

87. On pourrait d'ailleurs obtenir directement les formules (i3) en passant du système primitif OZ, OX, OY, à un autre système rectangulaire OZ, OX', OY'5 ce qui n'exige que l'emploi des équations relatives au changement de coordonnées dans un plan ^ à cause que l'axe OZ est commun. On poserait donc

(i4) \ •^ = ^'c<^f—/'siiï^), ' \ a7 = jc' sin(p H-j' cosf ;

mais, aprèft avoir substitué dans F (jr ,^ , ^) = o , il resterait à faire j^'<=?=o dans le résultat, puisqu'on ne chercbe ici que les points de la surface qui sont situés dans le plan sécaut, lequel coïncide avec ZX': or, cela revient évidemment à introduire d'abord la condition j^':=:o dans les formules (14)9 C[ui coïncideront alors avec \s& éqtta*tions(i3).

88. On se souviendra que quand le plan sécaut ne passera pas par l'origine des anciens axes , ou quand on voudra placer l'origine des nouveaux axes autre part qu'ep O dans le plan sécant^ il faudra (n^ 31) ajouter aux

TRANSFORHATIOS DBS COORDONNÉES, etC. &J

seconds membres des formules (12) et (i 3) leç coopdontT nées de la nouvelle origine, comptées parallèlement, aux axes primitifs.

89. Formules. d'Euler ^oi^ ^o^^r ^V^ système reçT tangulaire à un autre système aussi rectangulaire. Les formules (4), (6) et (6) que nous avons données aux jjos yg ç^ «jg pou^ remplir cet objet ^ sont bipn simples e^ fort symétriques j mais elles ont Tinconvénient de renfermer /zcu^constantes a^pyC, a\ i', . . . . qui se trouvent liées par six équations de condition, entre lesquelles Télimirnation ne peut s'effectuer commodément pour réduire à trois données, comme cela devrait être possible , la détermîi^^tipn des nouye^u^ axes 4:e)ativement au|c anciens. On a donc cherché à exprimer ces neuf constantes en fonction de trois autres choisies de la manière suivante: soient OX» OY, OZ les trois axes rectangulaires primi- Fig. i3. tifs, et ON la trace du nouveau plan X' Y' sur X¥: ce plan X' Y' sera déterminé par l'angle NOX= i|/ et pajr so^ inclhiaison 6 sur le plan X Y ^ si d'ailleurs 011 dpnnc l'aii'igle NOX'= ^ que forme l'axe OX' avec ON , la position de cet axe OX' sera connue, ainsi que celle de OY' qui lui est perpendiculaire; et enfin le troisième axe OZ' devra être mené perpendiculairement aux deijx premiers, et formera l'angle ZOZ'=6. Nous supposerons en outre qu'ici le plan X'Y' est situé au-dessous de XY, afin de faire coïncider nos formules avec celles qui sont employées ordinairement dans la Mécanique.

Cela posé , en imaginant une sphère décrit^ du point O avec un rayon arbitraire , elle sera coupée par les trois faces de l'angle trièdre ON XX' suivant un triangle sphérique ABC dont chaque angle , tel que A , sera lié avec les trois côtés BC = a, CA = 6, AB=:y5 par la relation

68 CHAPITIIK lY.

connue (*)

(i5) cosa = cosÂsinêsiny 4-cos6cos7»

Or, ici, on a A=6, a = XOX', 6=ç, 7=^^ parconsë-^ quent réquation (i 5) devient

a z= ODS XOX^ == cos 9 sin f sin ^ + ces ^ cosip*

La même sphère serait coupée par Fangle trîèdre ONXY' suivant un triangle ABD où Ton aurait A=0, a=XOY', 6=<p-f-9o^, y = ^^ donc, en substituant dans (i5), ou bien en remplaçant seulement (f par go°+(f dans la va-

{*) Nous démontrerons au chapitre XVIII cette formule que nous «nployons ici pour abréger ; car on pourrait avriver aux Taleurs de x, ^^ « , en fonction de x', y ', z\ par une succession de systèmes rectangulaires qui y ayant deux à deux un axe commun , n^jBxigeraient que Temploi des formules (i4) relatives à la transformation des coordonnées dans un plan. Fio. i3. En effet, si l'on regarde la droite ON comme un axe auxiliaire OX'', et que Ton en imagine deux autres OY" et OY" qui soient les intersections des plans XY et X'Y' avec le plan 7107/ ^ on passera du système primitif OX, OY, OZ, an système OX'', OY'', OZ, par les formules

X = x" cos tp-hy" sin ^, jr =jr'' costff — ar^stïi^;

puis, du système OX'', OY'', OZ, on passera au système OX'', OV^, OZ', par les relations analogues

y'f^yf'cOBe'^s' Bine,

z = z' co»$ —y'^sindj enfin , on passera du système 0X^,0^', OZ' au système OX', OY', 0Z%

nar 1a mavtnt dAA ÂanntSnnA

par le moyen des équations

x" =: X ' COS f — ^ ' sin ç, jw -.j^i jjQ^y -t-x' sin 59;

et si Ton substitue ces diverses valeurs dans les pinâcédentes, on trouvera pour expressions des coordonnées x^jr^ «, en fonction de x'^y^ s' et des angles 6, f, /«, lés formules (16} citées dans le texte.

TRANSrORMATIOR DCS GOOKDONNlÉES , etC. 69

leur de a y il viendra

b = cos XOY' = cosO cos f skk^ — sin tf cos ^.

De même, Tangle trièdre ONXZ' fournira qn triangle sphérique ABE où Ton aura A=90** — 0, a=XOZ', €s=90^, y =tp ; donc la formule (i5) doniïera

c = cosXOZ' =z sin 6 siii^|/.

Maintenant si , dans les valeurs de a , 6, c , on remplace ^ par 9o^+<j^9 Taxe OX deviendra OY, et il ^ résultera immédiatement

a' = cos YOX' = €os0 sin y cos>|< — cos^ sin >J», ô' = cosYOY' = cosô cosç cos^* -I- siny cos>(*, c' = cosYOZ' = sin ô cosi|/.

Enfin , si Ton considère Tangle trièdre ONZX', il cou^ pera la sphère suivant un triangle sphérique ACF, où Ton aura

A = go» -4- e, a = ZOX', 6 = AC =ç, 7 = AF = 90»;

donc la formule (i5) donnera

fl" = cosZOX' = — sinO sin^ ;

et en remplaçant ici 9 par 90*4-9, on en déduira

ft" = cosZOY' = -^ anô cosip; d^ailleurs, on a évidemment

c" = cos ZOZ' = cos ô.

Voilà donc , en fonction des trois angles , 9 , ip , les valeurs des neuf coefficients qui entrent dans les formules (4)

du n^ 72 ^ et en les y substituant , ces fonhides devieâdrimt

xzsxa:' (cOsO «isf sift^ -tf-côff tK^^if) -j-'j' (cosô cos(p sin^I* — sin^ cos-tj^) •^ z' sin fl(in tj^ 9

H- z' smGcos^|;y z = -^ A?' ^h6 sîn <p — y 'siû9 (îosf + z ' cos ô.

FiG. 12. §0j GôoiwJaTfjSnÉEs poiÂiiites. On petit en<»)k»è fisîek* là poÂtffôti d'un point M de Pefe^aeè , 4ù iribyeii dés trois variables suivantes : i° le rayon vecteur OM=:r", 2^ Fangle Z0M=5 formé par ce rayon avec Taxe positif OZ5 3° l'angle PC)X = cà que forme le planménV/Ten ZOM avec le plan fixe ZO A. Dé ces deux angles, le premier B , qui est compris entre deux droites prolongées d'un seul côté du pôk O^ ne variera que de o à 180**, tandis que le second co xlevra varier de o a -Sôo^, ^ùr que le rayoa vecteur OM puisse atteindre tous les points de l'espace. Maintenant , si l'on veut exprimer en fonction de r, ô , co , les coordonnée^ rectangulaires MP = z^ PQ =j^, OQ = a:, on observera que les triangles rectangles MOP et POQ donnent

.r=:OPco&w, ^=OPsin«, OP=:rsin0, z = rcosÔ;

d'où l'on conclut

(17) a: r= r sin Ô é<JS'w , j == rsiàfesiàfe), «±=rcos9.

91. Nous avons déjà trouvé («^29) pour les valeurs de ces coordonnées en fonction du rayon vecteur r et des trois angles a , S , y , qu'il forme avec les axes rectangulai- Jie&^ les relations

(18) x±=:rcoS«, j=:rt?osé, z±=ri:mf\

TRANSFOEMATIOn D«S GOOADOMMEES , etC. 7I

ainsi, en comparant les formules (17) et (i 8), on pourra exprimer de la manière suivante les trois angles a, S, y, ^ en fonction de &) et d :

(19) cos a = sin d cos », cos6 = sîn sin 0», 7 = 9.

Ces relations sont quelquefois nécessaires à employer dans la Mécanique, et elles s'accordent bien d'ailleurs avec l'équation de condition

cos' a H- cos*6 ■+- cos^ 7 = i > qui doit toujours subsister (n° 31) entre oc ^ Sel y.

7 3 CHAPIT&E V.

Du centre dans les surfaces quelconques^ et spéciale-ment dans les surfaces du second degré.

FiG. 1^. 92. On appelle centre d'une surface quelconque un point O tel que toutes les cordes MOM', NON', menées par ce point , y sont divisées chacune en deux parties égales. Il faut cependant ajouter que si la droite OM coupait la surface en plus de deux points, il suffirait que ceux-ci , combinés dans un certain ordre , se trouvassent deux à deux à égale distance de O. Cela posé, si Ton conçoit que la surface soit rapportée à trois axes rectangulaires ou obliques, mais dont V origine soit au centre O, et que Ton mène parallèlement à OZ les ordonnées MP et M 'P' des extrémités d'une corde, on verra aisément, par les triangles égaux MOP, M'OP', que ces coordonnées sont égales et de signes contraires. D en sera évidemment de même pour les x et pour les y des points M, M', et aussi pour toute autre corde passant par le centre : d'où il suit que sif(x^y^ z)=zo représente l'équation de la surface rapportée au centre comme origine j cette équation devra se trouver vérifiée par une infinité de systèmes de valeurs, tels que

'^ } X > ^ 9 et ~— X y' — jr , — z ,

Par conséquent, il faut que Véqiuition f {x . y ^ z)=o

bu CENTRE DAMS LES SURFACES. 78

soit composée de manière qu^elle ne change pas quand on change à la fais les signet des trois variables x^ y^ z\ et la réciproque est également vraie.

93. Lorsque Féquation f{x^ y^ z) = o rapportée au centre est algébrique, c'est-à-dire qu'elle ne renferme aucune fonction transcendante, la condition précédente revient évidemment à dire que, dans chaque terme, la somme des exposants des variables doit être de même parité que le degré de V équation. Ainsi , quand Féquation sera d'un degré pair, il faudra qu'il n'y entre que des termes dont le degré soit aussi pair; et quand elle sera d'un degré impair, il ne devra y entrer que des termes de degré impair, parce que ceux-ci changeront tous de signe en remplaçant x^ y ^ Zy par — x, — y^ — z^ ce qui n'altérera pas l'équation , attendu que le second membre est zéro. On sent bien que, dans ce dernier cas, l'équation ne saurait avoir de terme constant ; donc elle sera vérifiée par les valeurs simultanées a:=o,j'=o,z = o, et ainsi une des nappes de la surface passera par le centre. Par exemple , chacune des équations

kxyz^ -H Bjpj^ 4- Cj3 -h DxjH- E =o,

iixyz -f-Bjz^-hO -hDjr -f-E«=o,

représente une surface qui admet pour centre l'origine des coordonnées actuelles.

94, Maintenant, soit F (a:,j^, -z) = o l'équation algébrique d'une surface rapportée à des axes quelconques. Pour reconnaître si elle admet un centre, il faudra transporter simplement les axes parallèlement à euxmêmes en un point indéterminé (xi^y^ j -^i)? en substituant dans F (x , y^ z) = o les formules (n*^ 81) ,

^4 CHAVIIAE V.

puis «gakr à zéro les €odflk;ients de tous les termes ou ia somme des exposants rw sera pas de même parité que le degré de Véquation, et voir si 1*611 peut satisfaire à ces oo&ditioat par -des valeurs réelles exfolies des coordona«ies Xi^ j'i, t^i, qui al<»rs détermineroiit la nouvelle otî^ne pour le «teutre demandé^ nuds lorsqu'on ne pourra satisfaire à ces conditions par de telles valeurs , la surface proposée n'admettra point de centr«?.

95. AppltqiKMQs ces principes aux surfaces du second degré qui mfnt tontes renfennëes dans leqaatton gàiérale

Nous y laisserons les coordonnées quelconques , rectangulaires ou obliques^ et, pour reconnaître si ces surfaces admettent toutes un centre , nous y substituerons

puis nous égalerons à zéro les coefficients des termes de degré impair. Alors , en supprimant les accents des nouvelles coordonnées , l'équation résultante deviendra

(2) kx^ -h Ay -f- AV -h •2B/2 ^ 2 Wzx 4- 2s Wxy-\-lL = o,

dans laquelle les coefficients des variables sont les mêmes quedans (i), «et oùle teraieconstant^st igal à (f (xi^ju ^\% c'est-à-dire que

K = Aa?î -f- K*y\ -h M^z\ -f- •2,Jiy,z, -h aB'z.Jc, -+■ 28"^^,^» -h 2tlc, H- 2O, -f- 2'C"z, -H E.

J>'ailleurs, les termes disparus auront d<^né les conditîoits

(3) Ao;, -4-fi'z. -hBViH-C =0,,

(4) A>, -h Bz, -h B''a?, -f- d' = o,

(5) A!^z, + Wx, -f- Bj^, ■+- C" = o.