Les angles qui entrent dans ces équations suppo

6^ CttAPlTRK IV.

sent rintroduction de normales auxiliaires , distinctes des axes anciens et nonveaux ; mais on pourrait y substituer des angles formés par les données immédiates de la question, en observant que

cos(]Nf,z)=rsin(2,JFjr), cos(N,x')= sin {^',^^),

Toutefois cela aurait l'inconvénient d'exiger l'emploi d'angles négatifs dans les seconds membres \ car on apercevra aisément» que le facteur sin {x\xy)^ par exemple, devrait être aflecté du signe moins, si le demi-axe positif OX' tombait du côté opposé à OZ par rapport au plan XY. Ainsi il faut mieux garder les formules sous la forme (i i), parce que, les angles n'y pouvant varier "que de o à i8o**, les cosinus prendront d'eux-mêmes les signes convenables.

Observons enén qu'en supposant rectangulaires les axes primitifs OX, OY, OZ, les trois tioimales ON", ON', ON viendront coïncider avec ces axes, et les formules (il) feront retomber alors sur les équations (4) du 11^1%

81 . Dans toutes les transformations de coordonnées qui précèdent, nous avons supposé que l'origine restait invariable. Or, si , en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on transportait seulement l'origine du point O à un autte point O' dont les coordonnées relatives à O fussent désignées par a , ê , y , il est clair qu'il faudrait employer les formules

d'où il résulte évidemment que , pour passer d'un système d'axesOX, OY,OZ, à un autre système O'X', O'Y, O'Z', dont la direction et l'origine sont dififérentes , il suffira d'ajouter aux valeurs de .r , .jy z trouvées pour les diveus cas précédents, les coordonnées a , 6, y delà nouvelle origine O'^, comptées parallèlement aux anciens axes.

TRANSFORMATION DES COORDONNEES, etC. 63

82^. D importe d'observer que quand on emploiera un des systèmes de formules qui précèdent, pour rapporter Téquation d'une surface F(cc,j^, z) = oàde nouveaux axes, Féquatîon transformée F'(jt',y ,z') = o sera toujours du même degré n que la première^ et l'on sait que Ton entend par degré d'une équation, la plus haute somme des exposants des trois variables dans un même terme. En effet, dans tous ceis systèmes, les valeurs de' x, j^ z^ étant linéaires par rapport à x\y\ z\ une quantité telle que x^ deviendra (ax' -^by' -^cz* + ay^ dont les termes sont au plus de la dimension /? ; et un produit X ^, j*'. z' donnera des termes x^'.y'''. z^\ dans lesquels p'-^-q'+r' égalera au plus le degré p + q'\-r', donc, d'abord , le degré n' de l'équation F' {x\y\ z') ne pourra jamais surpasser n.

D'un autre côté, on ne saurait prétendre que, par des réductions de termes, le degré n' soit devenu moindre que n. Car, en substituant dans F' {x\y\ xr') = o les Valeurs de a:', y\ z\ tirées des formules qu'on aurait employées pour la première transformation , valeurs qui seroùt encore évidemment linéaires, on doit toujours retomber identiquement sur F (j: , y , ^ ) = o -, or, cela exigerait que le degré n' pût s'élever jusqu'à n par une transformation de coordonnées, ce qui vient d'être démontré impossible ; par conséquent, le degré n' restera toujours égal à n.

C'est ainsi que, comme nous l'avons vu n** 38, l'équation du plan est toujours du premier degré, soit que les altes se trouvent rectangulaires ou obliques.

8^. Toute aection faite dans une surface F (or, y , <z) ±±î o du degré n^ par un plan quelconque, est une courbe du degré n au plus.

En effet, concevez que cette surface soit rapportée àr d'autres axes, doïit deux, OX' ctOY', soient situés dans

6^^ CHAPITEE IV. .

le plan sécant: alors son équation F(xS y', z')z=io sera encore (n^ 82) du degré n ; et comme il suflSra évidemment d'y poser z'=o, pour qbtenir la section demandée, le résultat ne pourra être d'un degré supérieur à n. Seulement ce degré sera moindre ^ si l'hypothèse ^'=o anéantit tous les termes de l'ordre le plus élevé.

84. Pour connaître cette section en vraie grandeur , ce qui est utile dans la discussion des surfaces , il ne suffirait pas de combiner F (a: , j", -s) = o avec l'équation du plan sécant Aa:-|-By+C-2-|-D = o, en éliminant la variable jz, par exemple -, parce que le résultat f(jx:^y) = o représenterait seulement la projection de la courbe demandée, projection qui n'est pas ordinairement identique avec la section dans l'espace : mais il faut effectuer une transformation de coordonnées équivalente à la marche indiquée n*^ 83 , et pour laquelle nous allons donner des formules directes, après avoir déterminé , i° l'angle f que forme avec OX la trace du plan sécant sur le plan XY; 2? l'angle qui exprime l'inclinaison du plan sécant sur le même plan XY. Or, la trace en question étant

Aj: -f- Bj^ 4- D = o, on aura tang^rr: — ~; et par les formules du n*' 56 , on sait que