Cela posé, lors({ue Téquation donnée (i) rendra le

\*) On peut 6'*aMtti;6r que^ dans toute fonction rationnelle et eotilàre F-{Xy J'y z\ les termes du premier ordre en x, ^, «, après qu^on y aura substitué x-+-X|, jr-^-y^y *■+"*!> auront toujours pour coefficients les cKHvées de Y\ ttar, si l'on eflGsctoe cette stttelhuttott dlibs Totdfe x, +x, ^1 -Hr> '1 -4-2, la forvbule de TajrXor donnera pour la fonction variée

ldr*| ' i.a^. . .K

Ou voit aussi que le terme indépendant des variables est F(4rt,^,, ^J, et que la dernière ligne reproduira tous les termes de t^ordre n le plus élevé, qui^ètttHiiènt àtAië F'(âr, y, k); mafsc^rix d^lin or^re itoféHeur «e trouve'r6Wt augmentas de BOUTeUes quantités qui Vobtteadront par la •formule précédente. D'ailleurs, pour que la surface F (ar,j', z) admette un centre, il faudra pouvoir égaler à zéro toutes les dérivées à^otdre impair ou d'ordre pair, 9èloti que le degré de cette surface sera pair ou imptiir.

76 CHAPITAS V.

polynôme D ^o, les valeurs jprécédenles de Xi, /i, z^

qui sont toujours réelles, se trouveront ^me5; par consé* queut , la surface admettra jun centre unique dont la position sera déterminée par les coordonnées a: 1 , /i , ^ 1 de la nouvelle origine, pour laquelle Féquation de la surface prendra la forme (a) .

Si Téquation (i) rend le polyn6meD = o, et que les trois numérateurs N, N', N'' ne soient pas nuls à la Xois^ une au moins des coordonnées du centre deviendra infinie^ ce qui signifie que, dans ce cas, la surface sera dépourvue de centre.

Enfin , si en même temps que D=s o , les trois numérateurs N, N', N" sont tous nuls, la surface admettra une infinité de centres^ puisque alors les équations (3), (4) , (5) se réduiront à une ou à deux équations vraiment distinctes, ce qui permettra d^ satisfaire par une infinité de valeurs àe x^^y^^ Zx'- mais ce cas présente deux variétés qu'il faut examiner séparément.

97. Lorsque le système (3), (4)? (5) se réduira à deux équations distinctes, ce qu'on reconnaîtra en voyant si les valeurs de a^i, j^i, tirées de (3) et (4), par exemple, vérifient (5) , quel que soit -z 1 , on en conclura qu'il existe Fie. 17 une infinité de centres, situés tous sur la droite EF représentée par (3) et (4) \ et , dans ce cas, la surface sera nécessairement un cylindre à base elliptique ou hyperbolique. En efiet, tous les plans menés par EF couperont la surface suivant des lignes du second degré (n*^ 83) qui devront évidemment admettre pour centres tous les pointa O', O'',.-- de EF; donc chacune de ces sections ne pourra être que le système de deux droites parallèles k EF : ainsi la surface proposée se trouvera le lieu de diverses droites parallèles entre elles , c'est-à-dire qu'elle sera cy-

DU CENTRE Bkvi LES SURFACES é ^J^

lindrique. J'ajoute que ce cylindre aura riécessairement une base elliptique ou hyperbolique^ car, si on le coupait par un plan GO' H perpendiculaire à EF, on devrait trouver pour section une courbe du second degré qui admit pour centre le point O'.

98. Quand les équations (3), (4), (5) se réduiront à une seule j ce qu'on reconnaîtra en voyant si la valeur de Xi tirée de (3), par exemple, vérifie (4) et (5) quels que soient ^1 et^i, on en conclura qu'il existe encore une infinité de centres situés tous dans le plan GO' F déterminé par l'équation (3) 5 et alors la surface} proposée ne sera autre chose que le système de deux plans parallèles à GO'F. En efiet, si Ton trace dans ce dernier plan deux droites EF et GH , on prouvera , comme ci-dessus (n° 97) , que la surface est un cylindre parallèle à EF. Mais ensuite un plan sécant mené par GH perpendiculairement au premier, devra donner une courbe qui ait pour oentre tous les points de GH -, c'est-à-dire que cette section , base du * cylindre , sera le système de deux droites parallèles à GH , et par conséquent le cylindre lui-même se réduira à deux plans parallèles à celui des centres. Dans ce cas , l'équation (i) devrait pouvoir se décomposer en deux facteurs rationnels du premier degré.

99. On voit, par cette discussion, que les surfaces du second degré peuvent être rangées en trois classes : la première comprend les surfaces qui ont un centre unique^ la deuxième , les surfaces dépoun^ues de centre ; et la troisième se compose de cylindres qui admettent une infinité de centres , situés tous sur un axe central ou sur un plan central. Mais comme ces cylindres se trouveront compris , ainsi qu^on le verra par la' suite , dans les équations des surfaces douées d'un centre , on peut borner l'énoncé général aux deux premières classes.

Toutefois , puisque la coBsidération du centre, qvd aérait propre à simplifier réquation générale (i) et à en rendre la discussion plus facile, n'eat point applicable à toutes les surfaces du second ordre , nous allons employer, pour réduire cette équation, une iiulre propriété qui aura l'avantage d'être commune à toutes ees surfaces: c'est celle des plans diamétraux.

PLAN& UIAmftT&AUX. 79

^■■■1 t m I I -^^»»>— ^»^^->»- I ■ Il I i'^-iB-^^^-^»M^~»^

Des Plans diamétraux, et réduction de V équation générale du second degré aux deux formes las plus simples.

100. Dans ime surface quelconque F (ofj y, z)=ro, si Ton mène une suite de cordes parallèles toutes à une direction donnée , et que Ton prenne les miliew^ de ces droites, le lieu géométrique de tous ces points formera ce qu'on appelle une surface diamétrale de la première. Elle aurait plusieurs nappes, si chacune des droites parallèles avait plus de deux points communs avec la surface proposée; et comme le nombre de ces points d'intersection, réels ou imaginaires, égalera toujours le degré n de Téquaiion F (Xy J9 z)^=^Qf leurs combinaisons deux à deux formeront sur une même droite indéfinie , — ^ « cordes

différentes dont les milieux seront en même nombre ; par conséquent, la surface diamétrale pouvant être rencon-

trée par cette droite indéfinie dans-i points,

aura

une équation qui se trouvera du degré -^ — — -^ (*) .

(*) G» fionsidévatioiia et remploi fort utile d^un pUn diamétral pour simplifier immédiatement Téquation générale d\\ second degré, sont dus à M. J. Binet. (Voyez la Correspondance sur V École Polytechnique, vol. Il,

8o CHAPITRE VI.

Pour les surfaces du second ordre, où w = a, les surfaces diamétrales ne peuvent être que des plans.

101. Lorsqu'une surface quelconque F (a:, y^ i:) = o admet un plan diamétral, c'est-à-dire qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à une certaine direction, si l'on rapporte cette surface à trois axes dont deux soient quelconques , mais situés dans le plan diamétral, et dont le troisième OZ soit parallèle aux cordes conjuguées avec ce plan, alors l'équation nouvelle f{pc^ y^ z) = o de cette surface devra évidemment , pour chaque système de valeurs simultanées x = a et j^ = h , fournir des valeurs de z qui soient deux à deux égales et de signes contraires. Donc cette équation, supposée algébrique , deura ne contenir que des puissances paires de la variable z\ ce qui n'exclut pas les termes constants ou indépendants de z , comme dans

As* 4- Bja* -h Cr^ + Dr -4- E = o.

Réciproquement, toutes les fois qu'une équation ne renfermera que de3 puissances paires d'une des variables, z par exemple , on pourra affirmer que le plan des xy est diamétral et conjugué avec les cordes parallèles à l'axe des z,

102. Trois plans diamétraux sont dits conjugués entre eux, lorsque chacun coupe en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à V intersection des deux autres plans ^ alors on prouvera, comme ci-dessus, que quand une surface admet trois plans de ce genre, et qu'on les choisit pour plans coordonnés, l'équation fipo^y^ z) = o, supposée algébrique, doit ne contenir que des puissances paires de chacune des trois variables.

103. Comme les plans diamétraux, isolés ou conju^ gués , sont en général obliques relativement aux coi-des

PLANS DtAMlËTSAlIX. 8t

qu'ils coupent par. leurs milieux ^ nous donnenms le nom particulier de plan principal à un fdan qui se trouverait en même temps diamétral et perpendiculmre à ses cordes conjuguées.

i04. Nous appellerons aussi diamètre d'une surface, toute droite qui sera l'intersection de deux plans diamétraux ; et si ces deux plans ëuîent principaux, leur intersection deviendrait un diamètre principal om un axe de la surface» Cette définition des diamètres aura l'avantage de s'appliquer même aux surfaces"dépourvues de centre.

Enfin , on donne le nom de sommets aux points où une surface rencontre quelqu'un de ses axes.

Cela posé, pour réduire l'équation générale des surfaces du second degré à une forme simple , qui embrasse néanmoins toutes les surfaces de cet ordre , et qui consente les coordonnées rectangulaires avec lesquelles on aperçoit bien mieux les points et les lignes remarquables, nous allons démontrer que, dans toutes ces surfaces, il existe au moins un plan principaL

105. Cherchons d'abord le plan diamétral qui serait conjugué avec un système de cordes parallèles, dont la direction est fixée par les angles a , ê , y, qu'elles forment avec trois axes rectangulaires quelconques. La surface, rapportée a ces mêmes axes , aura pour équation la plus générale,

et une des cordes du système donné sera représentée par (2) x-mmz-^pj yz=inz-^qy

où les quantités m = , /* = (n** 30), seront les

même» pcnir tout»» le» cordes en question, usidis que p et q varieront d'une eorde à une autre. Pour avoir le6 points où la droite (a) rencontre la sur&ce ^, je substitue dans (i) les coordonnées a:, y de cette droite ^^^^t il est clair, sans effectuer les calculs, que j'arriverai à' un résultat de la forme

. (3) Rz'4-Sz + T=:o,

équation dont les racines seraient les ordonnées des deux extrémités de la corde. Mais l'ordonnée z^ du inilwu de cette corde étant, comme on sait, égale à la demi-somme des

ordonnées extrêmes , on aura évidemiment j^t = -*- -;^ : oc

qui revient à dire que l'ordonnée du milieu de la corde sera fournie par V équation dérivée de (3), savoir:

(4) •. 2iu-f-s=.p.

Or, on peut fosi'mer eette dernière sans effectueir leS' substituions qui auraient conduit à (3)^ il suffit de différei^ tier (*) la fonction 4>, en y regardant x et y comme' te^

MJ.

{*) Sf Ton ne veut pas employer réMé âi^tA dii^enti'él , (^\ «èpiendast évite une êubstHultonet ntie élim&iwlioii ub peu loaguee-, it n^ a qu^à remplace* effectivement dans (i) les coordonnées x eXx par leui|^$ valeurs tirées de (2), et Ton trouvera, pour Péquation (3), le résultat suivant : .-.,..

«•(Am'-f-A'n»H-A"-+-aB«-|-îiB'mH-aB"mn) 1 '

îi*(Am/?-+- A'n^H-B^-H{B>-|-B''m47-4-B''np-^Cm-+-C'n-i-C'') J =0. A/»»-hAV-haBV^H-2C/p-haCV-l-E . ).

Cette équation aurait pour racines les ordonnées des deux extrémités de la corde; mais Tordonnée 2, du point miHeu devant être la demi-somme de celles-là, on peut, sans résoudre l'équation précédente, en conclure immédiatement que

;y(Am-i-B^4-B^«) + ^(A^ii-f-B4-B^m)-4-CiwH-C«"hC'^ '*"" Am"-+-AV + A''-i-aBïiH^aB'wn-aB''mn

D^ailleurs, les trois coorddttnees x^, y^^ ^, de ce point milieu, devant

PLANS DIAMiTRâUX. 83

Qant )a place de leurs valeurs, c'estnà*dire oomuie des fonctions de z déterminées par les relations

(2) X •=z mz -H/?, ^ = /2Z -h ^.

Ainsi , d-aprês la règle qui sert à diffiSrentier \^ fonctions â^ fonctions , on formera réquatioii

ou bien ,

:?-• 3- -^ 3-- 3^ -^ 3- = ^> dx dz dy dz dz

^ ^ dx df dz

laquelle équivaudra à Téquation (4); et alors le système (5) et (2) donnera les trois coordonnées x^ y^ z^ du milieu dé la corde en question. Cela posé , pour obtenir la surface diamétrale^ lieu géométrique des milieux de toutes les cordes parallèles , il faudrait évidemment éliminer de ce système les constantes p et q^ qui seules

TéHfié^ les éqttâtions (a) de Te coMè', 011 auru «néore

de sorte que si , entre les ;trQis dernières équations y on élimine p et q^ qui seules distinguent une corde du système donné d'^avec une autre corde de ce même système, on obtiendra Péquation de la surface diamétrale cherchée. Or, en substituant pisist^-^ m^^ , 9 ^=^1 — ^^u dans la valeur de f 19 on trouve, après quelques Quêtions,

résultat qui coTncidè arec Inéquation (7) du texte.

Il dfti boa d'obriksrve» iei que réqufttiou du plau diamètre (7) conser* verait la même forme, quand bien même la surface (i) serait rapportée à des axes obliques; seulement les constantes m et n changeraient alors de signfÀcation e(éoméfrique (à^ f6). y

varient d^une corde à une autre ^ mais Tëquation (5) ne renferme pas explicitement ces constantes : elles n'y entreraient qu'autant qu'on aurait substitué dans (i) les valeurs de x et j" tirées de (2). Donc, puisque nous avons évité cette substitution, l'équation (5) elle-même représente la surface diamétrale cberckée, et l'on reconnaît que cette surface est un plan, car en effectuant les dérivées qui sont indiquées dans (5), il vient

( m(Aar-hB'«-HB'>-hC)-+-n(A>-4-B»-|-B''arH-C))

^ ^ i -+- (A"4f -t- Br-H B'*-f-cr S "■ ""'

OU bien, en ordonnant par rapport aux variables,

i (Aiin-B'-hB"n)a:H-(A'ii-t-B4-B''TO)j'-+.(A''-HBrt-hB'ro)«>

Dans cette équation du plan diamétral j il est utile de remarquer que le coefficient de la variable x est la dérivée relative à x des termes du second ordre qui entrent dans ^, dérivée où l'on doit ensuite remplacer jr, jr, s par m, n et i. Une composition analogue a lieu pour les coefficients de ^ et de z ^ et l'on pourrait d'ailleurs rendre toutes les formules, précédentes complètement symétriques, quoique plus longues à écrire, en y introduisant

, , cosa jcosê les valeurs m = , n = .

COS7 cos 7

i06. Il résulte de ce qui précède, que, pour tout système de cordes parallèles dont la direction est définie par les angles a, 6, y, ou par les constantes m et », il existe un plan diamétral, puisque les coefficients àe x^ jyZ^ dans l'équation (7), sont réels. A la vérité, ce plan se trouverait à une distance infinie si les coefficients des trois variables étaient nuls ensemble, c'est-à-dire si la di-

PLANS DIAMÉTRAUX. 85

rection des cordes était telle qu'on eût à la fois

Aiw 4- B' -H B''n =;= o, A'/i-f- B -h B"/w = o, A" -h B/H- B'm = o;

mais pour que ces trois équations , qui ne renferment que deux inconnues , puissent s'accorder, on verra aisément que la condition D = o (n^ 96) doit être satisfaite. Ainsi , la circonstance d'un plan diamétral situé à l'infini ne peut se rencontrer que dans les surfaces dépourvues décentre^ toutefois, nous aurons égard, dans la suite, à cette restriction.