Réciproquement, étant donné un plan

R«-f-S^-hz = o,

on peut trouver la direction des cordes qui sont conju^ guées avec un plan parallèle au premier ; car ce nouveau plan

étant identifié avec (7), on aura pour déterminer met n^ les conditions suivantes

R -^ Am-f-B^H-B^/g A^/iH-BH-B''/?»

mais ensuite il faudra adopter pour T la valeur

Cm ■+- Cn 4- C"

A"^-hB«H-B'iw'

108. On doit observer que tout plan diamétral passe par le centre , ou en général par le lieu des centres ; car l'équation de ce plan, écrite sous la forme (6), estévi-

86 GHAPITBS VI.

demment satisfaite quand on y substitue les coordonnées du centre, fournies par les équations (3), (4), (5) du n? 95 5 et Ton pouvait d^ailleurs prévoir cette circonstance, diaprés la définition même du centre.

109. Cherchons maintenant si, parmi tous les plans diamétraux qu'admet la surface 4>, il y en a un qui soit principal (n° 103). Pour cela, il faut ne plus se donner arbitrairement les angles a ,6 , y , ou les coefficients m e t /i , mais' les choisir tels que le plan diamétral (7) se trouve perpendiculaire à la corde (2). Ainsi Ton doit satisfaire (n** 47) aux deux conditions

^^ A'-f-B/iH-B'/w -'"' '9^ A''-f-B/i4-B'm~'''

desquelles on pourrait déduire , par Félimination de m , une équation du troisième degré seulement, qui admettrait toujours pour n une valeur réelle : mais on arrive à un résultat plus symétrique, et qui nous sera d'ailleurs utile plus tard, en introduisant une inconnue auxiliaire s déteritiinée par la relation

alors les équations (8) et (9) se trouveront remplacées par les trois suivantes, qui sont du premier degré en m et /i,

(11) A'/i-hB -hB"m = /ï5,

Or, des deux premières (10) et (i i) on tire

(i3) «[(* — A)(^ — A') — B''>]=:B'(^ — AO-f-ra^ (i4) /i[(^ — A)(* — A') — B''»] = B (s-^A) -HB'B";

PLANS DlAUBTlLàUX. 87

et en subsûtuaat ddi^s (13) ces valeurs de m et de n, il. OU bien ^ en développant ,

f fix J *' — i'(A-HA'H-A") — i(B'''— AA'H-B"— AA"+B«— A'A") ) '^^ f -t-(AB'H-A'B'»-hA"B"»-AA'A''-2BB'B* J -o..

Cette équation (*) étant d'un degré impaii*, admettra tou-

n i ■ * u til ii^ii i m ^ ' i4 <. i'i|i I I

{*) G>mme elle sera nëeessaire à <Jit6r plus tafd , tiouç ferons obsenrei> ici que le terme connu est précisément le dénominAtèur D des eoordoo*nées du centre (n** 93) : le coefl^cieni; de s* est facile à retenir; et qiuint au coefficient de s, il se compose de la somme des trpis binômes *