Dans un conoïde droit représenté (n* 307) par

on a /? = — —.9', q = -.9' ; de sorte que Téquation (2) de-

vient ici

ydy -H «d^ = o, d'où y^ -+- a?' == 7 :

ainsi les lignes de plus grande pente sont toujours projetées horizontalement sur des cercles concentriques avec Taxe du conoïde. On peut confirmer par la Géométrie ce résultat remarquable , en observant que les lignes de niveau sont ici les génératrices rectilignes de la surface , lesquelles se projettent suivant les rayons vecteurs menés de l'origine O des coordonnées; et , comme la ligne de plus grande pente doit avoir (n^ 440) toutes ses tangentes perpendiculaires à ces rayons vecteurs, elle ne peut être qu'un cercle en projection.

443. Considérons encore les surfaces du second degré, représentées par

réquation (2) se réduira ici à

- djr — - flte = o , d OÙ y zsiix i A H

par conséquent , les lignes de plus grande pente seront à double courbure , et se trouveront projetées horizon talenlent sur des courbes paraboliques , si A et B sont de même signe. Cependant, ces lignes deviendront planes si le point de départ qui sert à déterminer la constante , est dans un des plans principaux ZX ou ZY; car alors Féquation précédente devra être satisfaite par j*=±o et x=x\ ce qui donne y = o, et réduit Téquation de ]a ligne de plus grande pente à j^= o, qui représente la section principale située dans le plan XZ.

TEIOONOM^TRIE SPHKHIQUE. 36g

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

§ !*'• Notions préliminaires,

444. On sait qu'un triangle sphérique est la portion de surface comprise, sur la sphère, entre trois arcs de grands cercles qui se coupent deux à deux , et Ton entend par grand cerck celui dont le plan passe par le centre de la sphère ; de sorte que deux points donnés sur cette surface suffisent toujours pour déterminer un grand cercle. Dans le triangle ABC , les côtés sont les arcs BC , Fig. 54. CA , AB , que nous désignerons respectivement par a, 6, y ; et /e5 angles sont , comme pour des courbes quelconques , les angles formés par les tangentes à ces arcs de cercle : ainsi l'angle sphérique A égale TAS. Mais comme ici les tangentes AT et AS sont perpendiculaires au rayon AO^ intersection des plans des deux grands cercles auxquels appartiennent les arcs AB et AG,

(f) La Trigonométrie sphérique étant aussi une application de PAnalyse à la Géométrie des trois dimensions , laquelle offire des secours nécMsaires à la Mécanique et à la Géodésie , j^ai pensé quHl serait utile de placer ici les principales formules et leur application à la résolution des triangles. Pour obtenir ces formules, j^ai employé la marche analytique suivie par Lagrange dans un Mémoire inséré au sixième cahier du Journal de l'École Polytechnique. Vtxï conservé- la division sexagésimale da cercle, attendu que beaucoup de résultats numériques, exprimés de cette manière et employés souvent dans FAstronomie , sont consacrés par un trop.long usage pour quHl convienne de les changer.

370 CHAPITAE XVIII.

on voit cpie Tangle sphérique A n'est autre chose que l'angle dièdre formé par les deux plans BAO et CAO. D'ailleurs , si l'on mène le grand cercle DEF perpendiculaire au rayon AO, l'angle dièdre en question sera aussi mesuré par DOE ou par l'arc DE ; donc on peut dire encore qu'ww angle sphérique BAC a pour mesure F arc de grand cercle DE compris entre ses côtés j quand ils ont été prolongés jusquà dei^enir égaux à un quadrans ; car on a évidemment AD = 90** et AE = go*'.

4r45. Si l'on admettait des côtés plus grands que 180^, les trois sommets A , B , C » pourraient appartenir à plusieurs triangles \ car ils conviendraient aussi au triangle formé par les arcs CA, CB et AFHDB. Mais on exclut .ces sortes de figures, parce qu'elles. offriraient des angles dièdres qui , comme C dans cet exemple , surpasseraient deux angles droits, et que d'ailleurs la construction de tels triangles se ramènera toujours à celle de triangles soumis à la restriction que chaque côté spit moindre quune demi-circonférence. C'est pourquoi nous lie nous occuperons que de ces derniers.

446. En joignant les sommets A, B, C, avec le centre de la sphère , on forme une pyramide triangulaire OABC , dont la base est le triangle sphérique donné , et dans laquelle les faces ou angles plans BOC, COA» AOB, ont pour mesure les côtés a, è, 7 > du triangle ^ tandis que les angles dièdres compris entre les faces, sont les angles sphériques de ce triangle. Ainsi, d'après les théorèmes de Géométrie relatifs aux angles trièdres ou polyèdres, on a droit de conclure que , dans tout triangle sphérique, i^ un coté est toujours plus petit que la somme des deux autres ; 2^ la somme des trois côtés est toujours mosn" dre queZ6o^^ ou qu'une circonférence de grand cercle.