Soit , par exemple
qui représente (n? 296) toutes les surfaces de révolution autour de l'axe des 4? ; on a ici /; = 2 a:. 9', ^ = nj. (f: donc Téquation (i) devient
xilx 4- ydx = o ; d'où, en intégrant,
Âinài les courbes de niveau sont les parallèles de la surface, comme on devait s'y attendre.
439. La ligne de plus grande pente j à partir d'un point donné sur une surface , est celle qui jouit de la propriété que chacune de ses tangentes fait auec F horizon un arigle plus graîidque celui de toute autre tangente à la surface y menée par le même point dé la courbe. Ôr, comme toutes les tangentes menées par ce point quelconque sont dans le plan tangent de la surface , ceUe de ces droites qui sera perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan , formera évidemment le plus grand angle possible avec l'horizon ; d'où il résulte que la ligne de plus grande pente doit avoir, en chaque point, sa tangente perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent^ et , par une conséquence nécessaire , la projection de cette tangente sur le plan XY, devra aussi former un angle droit avec la trace du plan tangent.
366 CHAPITRE XVU.
440. Cela posé , en appelant x^ y^ les coordonnées d^un point quelconque de la projection de la ligne de plus grande pente , sa tangente et la trace du plan tangent seront représentées surîc plan des (x^jr) par
— z = /? (or' — *) -f- ç (j' — 7);
et puisque ces deux droites doivent être perpendiculaires , on aura la condition
Cette relation(2), qui caractérise la courbe de plus grande pente, suffit pour la déterminer, en y joignant du moins Téquation F (a:, y^ z)-=:o de la surface sur laquelle doit être située cette courbe \ et lorsqu'au moyen de F= o on aura éliminé ^ de Féquation (2), si cette variable y entre , on aura Téquation diflFérentielle de la projection de la ligne de plus grande pente, et il restera à Fintégrer.
On aurait pu aussi parvenir à l'équation (a), en exprimant que la ligne de plus grande pente était perpendiculaire à la coujrbe de niveau représentée par l'équation (i).
441. Si nous prenons encore l'exemple des surfaces de révolution
Téquation (2) deviendra
xdy — ydx = o \
d'où, en intégrant et désignant la constante arbitraire par 7,
ft A
DE ià GOUBBUnE DES SURFACES. 867
dette équation représentant un plan passant par l*axe OZ, il s'ensuit qu'ici les courbes de plus grande pente sont toutes des méridiens de la surface. La constante arbitraire y se déterminera en assujettissant la courbe à passer par un premier point {x\ y) assigné par la question , ce
qui donnera y = ^, Cette valeur resterait indéterminée ,
du
si le point donné était sur Taxe de révolution; mais c'est qu'alors tous les méridiens partant de ce point sont indifféremment des lignes de plus grande pente.
