ABC

Ce résultat montre que Taire du triangle ABC est une fraction de la surface S de la sphère ^ exprimée par le quotient qu^on obtient en. divisant Texcès des trois angles du triangle sur deux droits , par huit angles droits. On sait que cet excès est toujours positif (n** 448), et qu'il ne peut atteindre quatre angles droits; par conséquent la valeur ci-dessus sera , comme on devait le prévoir , toujours moindre que la moitié de la surface de la sphère. 451. Pour simplifier la formule précédente , on con-

374 CHAPlTaB XVIII.

vi^nt ordinairement d'estimer les angles A, B, C, non pas en degrés , mais en fonction de Tangle droit , pris comme unité des angles *, alors on a D ^^^ i , et Â , B, C deviennent des nombres abstraits compris entre o et a. Si, de plus, on adopte aussi pour unité de surface la

quantité g S, qui représente le triangle trirectangle

(n** 449), il restera pour l'expression de Faire du triangle proposé

ABC = A4-B-f-C— 2==e.

C'est cette quantité t que l'on nomme F excès sphérique, et qui devient, par les hypothèses admises, la mesure même de la surface du triangle ; mais il faudra se souvenir que € ne sera qu'un nombre abstrait qui indiquera combien de triangles trirectangles , ou de fractions de ces triangles, sont contenus dans le triangle À6C.

Par exemple , si les angles A , 6, C , mesurés en degrés, se trouvent de 65**, laS**, i4o®, alors on devra, pour les estimer en fonction de l'angle droit, poser

et l'excès sphérique deviendra

ce qui voudra dire que la surface du triangle proposé est

les -g d'un triangle trirectangle ; puis , m l'on veut le comparer avec la sphère , le même triangle sera les --; de la surface totale de ce corps.

TMCONOM^TRIli; 5PHÉ&IQUB. 37$

§ n. Formules générales.

45â. Soit ABC ttn triangle sphërique tracé sur une sphère dont lé rayon OA = r, et qui a pour côtés les ^'*^- ^^ arcs

BC = a, CA = Ô, AB = 7;

menons aux deux côtés qui forment un de ses angles, A par exemple 9 les tangentes AT, AS, que nous terminerons par les rayons OB, OC , prolongés ^ puis, joignons les points T et S : nous obtiendrons ainsi deux triangles rectilignes TOS , TAS , dans lesquels les angles opposés au côté commun TS , sont équivalents (n® 444) au côté a et à Tangle A du triangle sphérique. Donc , par un théorème connu de Trigonométrie rectiligne , nous aurons

TS* = ÔT* 4-5s' — a.OT.OS.cosa,

' = AT + AS — 2.AT.AS,cosAî

et ici les cosinus devront toujours être mesurés, non dans la sphère OA, mais bien dans le cercle dont le rayon égale l'unité, puisque autrement ces équations ne seraient pas homogènes. Alors, si Ton retranche ces équatiions membre à membre , et que Ton ait égard aux triangles rectangles OAT, OAS , qui donnent évidemment les reliar tiens suivantes ,

OT — AT»= r\ ÔS' — AS '= r%

0T = — ^, AT = rtaiig7, 0S=— ^, AS = rlangê, cos 7 cos 6 ' ^ '

il viendra

2r* cos a

o = 2r' h 2r* tang 6 tang 7 ces A;

cos 6 cos 7 o D # >.

3t76 CHAPITRE XVIII..

puis, si l'on supprime le facteur commun ar', et qu'on résolve par rapport à cos a, on obtiendra

(i) cos a = cos 6 cos 7 -|- sin 6 sin7 cos A ,

formule où le rayon r de la sphère en question est disparu, et qui ne renferme que des ligues trigonométriques comptées toutes dans le cercle qui a pour rayon l'unité. Mais cette formule repose sur une construction qui semble exiger que les deux côtés 6 et y soient moindres que 90**; c'est pourquoi il importe de montrer qu'elle est vraie dans tous les cas.

453. D'abord, si le côté y est seul plus grand qu^un quadrans, comme dans le triangle ACB", le rayon OB" rencontrera, non plus la tangente AT, mais son prolongement AT', et donnera lieu à un triangle ACB', pour lequel la construction primitive sera possible. On aura donc dans ce dernier triangle,

cos a' = cos 6 cos 7 ' -h sin 6 sin 7 ' cos A' ;

mais il existe évidemment entre les triangles AC6' et ACB" les relations

et en substituant dans l'équation précédente, on retrouve la formule (i), qui demeure ainsi vraie pour le triangle ACB'.

Si les deux côtés S et y se fussent trouvés ensemble plus grands que 90^, on aurait de même prolongé les deux rayons OB, OC, en sens contraires, ainsi que les deux arcs AB, AC, et l'on aurait obtenu un triangle dans le-, quel on aurait eu

A'=A, a' = a, 6'=:i8o°— 6, 7'=i8o»— 7, ce qui, ramènerait encore à la formule (i).

TUCONOMIÈT&IB SPHKAIQUB. 377

454. . Soient xaamtenaBt 6 = 90° et 7 = 90^, comme dans le triangle ADB"'. Ici la formule (i) se réduirait à

cosot ==:cos A,

résultat évident , puisque l'arc a = DV est bien (n** 444) la mesure de Tangle A.

455. Enfin, supposons, comme dans le triangle ACB"', qu'un seul côté y soit de 90°. Le théorème en question sera démontré, d'après le numéro précédent, pour l'angle droit D du triangle CDB*' (à moins que l'on n'ait DB*' = 90**), et l'équation (i) appliquée à ce triangle., donnera

cos CB*' = cos CD cos DB*", ou bien

cos a = sin 6 eos A.

Or, c'est bien là ce à quoi se réduirait la formule (1) , en y introduisant l'hypothèse y = 90° ; donc cette formule est encore vraîe pour le triangle ACB*'.

Quant au cas tout particulier où l'on aurait à la fois y = 90° et DB*' = 90^, la construction générale que nous appliquions ci-dessus au triangle CDB**, ne pourrait plus s'effectuer ; mais on voit immédiatement qu'alors Iç point B*' se trouverait le pôle de l'arc ACD, et par conséquent B'*'C = a serait de 90^, aussi bien que l'angle A, qui a pour mesure DB" ; de sorte que l'équation (i) serait encore vraie pour un tel triangle ACB*, puisqu'elle deviendrait = 0, d'après les hypothèses admises

456. Nous conclurons de là que le théorème exprimé par l'équation (i) , est vrai dans tous les triangles sphériques , quels qu'ils soient ; et. en l'appliquant tour à tour

3^8 GHAPITIIB XVUI.

aux trois côtés a , 6 ^ y du triangle ABC , nous auronts

/ ces a = cos 6 ces 7 -f- sin 6 8m7 ces A,

(i) < ces 6 = cos a cos 7 -4- sih a sin*7 cos B,

\ cos 7 = cos a cos 6 -f- sin a sin 6 cos C,

formules dont chacuue exprime une relation^entre trois cotés et un angle, et qui, par leur ensemble, doivent comprendre implicitement toute la Trigonométrie spbéricpie, puisqu'elles suffiront toujours pour calculer trois des six quantités A , B , C , a , 6 , 7, quand les trois autres seront connues. Mais comme il est utile d^avoir, pour chaque cas, des formules dont, chacune ne renferme qu'une inconnue , nous allons les déduii^ des équations précédentes par diverses combinaisons.

457. Cherchons ime relation entre deux côtés et les deux angles opposés , par exemple, entre a, 6, A et Bi La marche directe serait d'éliminet cos y et sin / entre les deux premières équations du groupe (i), au moyen de la relation sin*y + cos*y = 1; mais comme les calculs seraient fort longs , nous emploierons le moyen suivant. De la première des équations (i) tirons la valeur de cos A , pour la substituer dans la relation

sin A = y I — cos' A ; il viendra , en réduisant au même dénominateur,

^sin'$sin'7 — '(cos a — cos6cos7)'

sm A = 3 . ^ . '-^ ;

sm6 sin7

mais en substituant sous le radical les expressions des sinus en cosinus , on prouve

. , i/i — cos' a — cos'S — cos * 7 -f- 2 cos a cos 6 cos 7 sm A = . ^ . ■ ' ,

sm € sm 7

TRlOOirOMiTBlB SPBÉftlQUB. 879

Or, le second membre de celte dernière équation , après avoir été divisé par sin ce, deviendra évidemment une fonction symétrique de a , ê , ^, c'est-à-dire une fonction qui reste la même quand on permute ces Içttres entre

elles 5 d'où l'on conclut que le rapport - — a une valeur

constante et invariable pour chacun des angles du triangle ABC , comparé avec le côté opposé ^ et qu'ainsi on a les trois équations

, . sin A' sin B sin G

sin« sin6 smy

ce qui signifie que dans un triante spbérique, les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.

458. Cherchons maintenant une relation entre deux côtés et deux angles dont un soit compris entre les côtés donnés, par exemple, entre a, S , A et C. Substituons dans la première des équations (i), la valeur de cas y fournie par la troisième , et la valeur

sin G sin 7 = sin a —, — -,

sm A

que donne une des formules (2) : il viendra

cosa = cos*6 cos a -f- siti a sin ê cos€ ces G -f- sin 6 sin a -: cosA ;

smA

ou bien, en transposant le premier terme du second membre dans le premier,

cos a sin'€ = sin a sin € cos'S cos G -h sin a sin 6 cot A sin G.

Maintenant, si Ton divise tous les termes par sin a sine, on obtiendra la première des formules suivantes , et les.

38o CBAPITRB XVIII.

autres . s'en déduiront par de simples permutations, de

lettres (*):

cot a sin 6 = cet A sin C -+- cos ê ces C, cota siny =: cot A sin B -f- COS7 cos B;

cot 6 sin a == cot B sin G + cos a cos C, cot 6 sin 7 = cot B sin A + cos 7 cos A ;

cot 7 sin a = cot C sin B + cos a cos B , \ cot 7 sin 6 = cote sin A -4- cos 6 cos A.

459. Pour obtenir une relation entre trois angles et un cétéj le moyen le plus simple est dVpplic[U6r au triangle supplémentaire le théorème fondamental ex-r primé par Féquation (i) , ce qui donne

cos a' = cos 6' cos 7 ' + sin 6' sin 7 ' cos A',

puis de substituer ici les relations connues

a' = i8o°-^A, ê'=i8o"— B, 7'=i8o«—C, A'=:i8o°— ai

alors on obtient pour le côté a, et semblablement pour chacun des autres , les formules

cos A = — cos B cos G + sin B sin G cos a , (4) { ^^* B = — cos A cosG -h sin A sin G cos 6, cos G :=t — cos A cosB -f- sin A sinB cos^.

{*) Les formules (3) 9 que l'on écrit de |>lasieurs manières , ordinairement fort incommodes à retenir, se retrouveront aisément si on les dis^^ pose comme ici, et qu'on observe, i^ que, chaque membre commence par une cotangente multipliée par un sinus; a^ que dans le premier membre ces ligues portent sar deux côtés choisis à volonté , et dans le secmd membre sur deux angles , dont le premier seul est opposé au premier côté déjà employé ; 3^ que le dernier terme est formé par les deux cosinus des mêmes arcs, dont les sinus entrent déjà dans Péquation.

TEIGOKOHéTmiB SPBé&IQUE. 38 1

460. Le^ quatre groupes de formules obtenues jusquHci oSreut évidemment toutes les combinaisons que Ton peut faire de trois données avec une seule inconnue^ parmi les six quantités A,B,C,a,6,7;de sorte qu'il suffira de choisir parmi ces quinze équations , celle qui conviendra au cas proposé , et de la rendre ensuite propre au calcul logarithmique, ainsi que nous le montrerons en détail dans le paragraphe IV. Ici nous nous bornerons à remarquer qu'on doit comprendre dans la résolution des triangles sphériques , obliquangles ou rectangles , le cas où l'on donne les trois angles A , B , C ; car ces données déterminent les côtés a', 6', y', du triangle supplémentaire : elles permettent donc de calculer les angles A', B', C, et par suite leurs suppléments, qui sont les côtés a, 6, 7 du triangle primitif, lequel se trouve ainsi complètement déterminé par la connaissance de ses trois angles. C^est d'ailleurs ce que prouvent directement les formules (4)«

§ in. Résolution des triangles rectangles,

461 . Lorsque dans le triangle ABC l'angle A est droit, Fig. 56. c'est-à-dire quand le plan du grand cercle CA est perpendiculaire au plan du côté BA , le triangle est dit rectangle, et le côté CB=a s'appelle toujours l'Aypoténuse. On ne doit pas oublier que les deux autres angles pourraient être aussi (n^ 449) droits ou obtus 5 mais un triangle trirectangle aurait évidemment tous ses côtés

de 90**, et un triangle birectangle où A et B seraient droits, aurait pour côtés opposés a =90**, S = 90^, tandis que le troisième côté 7 serait (n^ 444) la mesure même de l'angle C. Ainsi , ces deux genres particuliers de triangles ne donnant pas Ueu,.a de véritables problèmes, nous

302 CHAVIT&K XTai.

ne devons conflidérar que les triangles oà un seul angle A est droit, avec deux autres angles obliques qui peuvent être aigus Ou obtus.

462. Pour obtenir les formules nécessaires à la résolution des triangles rectangles ^ il suffit de poser A = 90^ dans les (juatre groupes de relations générales que nous avons trouvées pour les triangles quelconques. Cette hypothèse , introduite dans la première des équations (i), donne

(5) COSa = C0S6 COS7;

c'est-à-dîre que le cosinus de Vhypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés. Cette relation est analogue avec celle-ci : «•==6*-f-y*, qui aurait lieu $i le triangle sphérique devenait rectiligne, en conservant des côtés de même longueur absolue \ et la première se ramènerait à la seconde , en développant les cosinus en séries, puis en supposant que le rayon de la sphère devienne infini. {Voyez vP 492.)

463. Les équations (2) donnent, par Thypothèse A = 90**, les deux formules suivantes ,

.r.. . ^ sin € . sin 7*

(6) smB = -; — , smC==:-r-^,

^ ' sm a sm a

qui montrent que le sinus d*un angle oblique est égal au sinus du côté opposé^ dii^isé par le sinus de rhypoténuse : principe analogue à celui des triangles rectilignes, où Ton aurait

sin B = ~ .

464. Dans les équations (3), les deux premières donnent, pour A = 90®,

cot a sin € = cos S cos C, cot a sin 7 = oos 7 cos B ,

TaiOONOMKT&IB SPHÉRIQUE. 383

d'où ron conclut

(n) cosB = î^5^, cosC=^?î^;

^'^ tanga taiiga

formules qui prouvent que le cosinus (Tun angle oblique est égal à la tangente du côté adjacent, dîv^isée par la tangente de Thypoténuse, et qui sont analogues à la re-

lation cos B = -, que fournirait un triangle rectiligne.

465. La quatrième et la sixième des équations (3) deviennent , par l'hypothèse A = 90®,

cet 6 sin 7 = cot B , cet 7 sin 6 = cet G ,

d'où l'on déduit les relations

c'est-à-dire que la tangente d*un angle oblique est égale

à la tangente du côté opposé, divisée par le sinus du

côté adjacent : principe analogue à celui des triangles

g rectilignes, où l'on aurait tang B = - (*).

466. Quant aux équations (4) , l'hypothèse A = 90*^ donne , dans la première ^ *

o = — cos B cos G + sin B sin G cos et ,

d'où l'on déduit cette formule

(gi) cos a. = cotBcotG;

{*) Les trois formnles (6), (7)y*(^)9 écrites comme nous VaTons fait, seront donc faciles à retenir, puisque les combinaisons d^angles et de côtés sont les mêmes que dans les triangles rectilignes ; seulement > il Ikudra se rappeler que le sinus d^un angle s^exprime par deux sinus, le cosinus par deux tangentes , et la tangente par une tangente et un sinus.

384 cHAPiTRK xvni.

c'est-à-dire que le cosinus de F hypoténuse égale le pro^

duit des cotangentes des deux angles obliques^

467, Enfin, les deux dernières des équations (4) donnent, par l'hypothèse A = 90®,

, V ^ cosB cosC

(10) COS6 = — ; — r;, COS 7 := -: — ^\

' ^ smC' ' smB'

ce qui prouve que le cosinus dHun côté de V angle droit est égal au cosinus derV angle opposé, divisé par le sinus de r angle adjacent,

468. Voilà donc six principes cpx fournissent dix équations où se trouvent toutes les combinaisons que l'on peut faire de deux données avec une seule inconnue, parmi les cinq quantités B , C , a , 6 , y •, et il suffira d'en faire un choix convenable, d'après les données de chaque problème , ainsi que nous allons l'indiquer. Mais auparavant, tirons de ce qui précède deux conséquences applicables à tous les triangles rectangles.

1°. On voit, d'après la formule (5), que les trois côtés a^ ^^ y devront être tous moindres que 90°; ou bien deux seront à la fois plus grands que 90^, et le troisième moindre. Ainsi le nombre des côtés plus grands qu'un quadrans, est toujours y^azr.

2°. La formule (8) montre qu'u/i angle oblique est toujours de même espèce que le côté opposé ; c'est-à-dire qu'ils sont tous deux à la fois moindres que 90^, ou à la fois plus grands.

FiG. 56. '^^®* Premier cas. On donne Vhypoténuse cl et un côté ê de V angle droit ^ les trois inconnues y , B et C se trouveront par les formules (5) , (6) , (7).

Deuxième cas. On donne les deux côtés S et y d^

TRIOONOMéTAIE SPH^RIQUE. 385

V angle droit ^ les inconnues sont ici a , B et C , qui s'obtiendront par les formules (5) et (8).

Troisième cas. On donne Vivypoténuse a et un angle ohUque B ; pour trouver les inconnues 6 , y et C , on emploiera les formules (6) , (7) et (9).

Quatrième cas. On donne un côté 6 et V angle opposé B ; les inconnues a , 7 et C s'obtiendront par les formules (6), (8) et (10).

CINQUIÈME cks. On donne un côté ê av^ec V angle adjacent C 5 les inconnues a , y et B se calculeront au moyeu des formules (7) , (8) et (10).

Sixième cas. On donne les deux angles obliques B et C 5 pour trouver les inconnues a, 6, y, on emploiera les formules (9) et (10).

470. Observons ici, i^ que toutes les formules citées sont telles que les logarithmes s'y appliquent immédiatement; seulement, il faudra auparavant avoir soin de les rendre homogènes en y introduisant pour facteur une puissance convenable du rayon R des tables.

2**. Que lorsqu'un élément inconnu sera fourni par son sinus, lequel peut appartenir également à un angle aigu et à son supplément, il y aura ambiguité sur la grandeur de cet élément ; mais cette ambiguité cessera si , parmi les données , se trouve le côté ou l'angle opposé à cet élément; car on a vu (n° 468) que ces deux grandeurs devaient toujours être de même espèce.

471 . D'après ces remarques , on verra aisément que , parmi les six cas que présente la résolution des triangles rectangles, il n'y a que le quatrième qui soit vraiment douteux^ c'est-à-dire qui admette deux solutions. En effet,

386 CHAPITAB XVIII.

les inconnues ûc, y et C sont données par les équations

sin 6 . tang 6 . ^ cos B

sin a = -7— r^ , sm 7 = — ^-— , sin C = ;

sm B ' ' tang B ' cos 6

ainsi, il faudra commencer par prendre C et y tous deux moindres que 90*^, ou tous deiix plus grands , et ensuite déterminer Tespèce de a par la relation cos a = cos 6 cos 7. On peut d'ailleurs reconnaître à priori l'existence de deux solutions dans ce cas , puisque , si Ton prolonge les Fie. 56. deux côtés BC et BA jusqu'à ce qu'ils se coupent de nouveau en B', on aura un second triangle rectangle CAB', où le côté S et l'angle B' = B sont évidemment les mêmes que dans le triangle primitif CBA ; d'ailleurs , les autres parties C, a', y\ de ce nouveau triangle, sont bien les suppléments de C , a , y.

§ IV. Résolution des triangles obliquangles .

472. "Ces, tri angles, où l'on devra toujours connaître trois des six éléments A,B,C,a,6,y, présentent six problèmes distincts, qui se résolvent parles quatre principes généraux qu'expriment les formules (i), (2), (3) et (4) 5 mais comme ces formules exigent quelques modifications pour se prêter au calcul logarithmique , nous allons parcourir les diverses parties de cette question.