PREMIER CAS

473. On donne les trois côtés a^ 6, y. Pour trouver l'un des angles , A par exemple , il suffira d'employer la formule (i), qui donne

cos a — cos 6 cos 7

ros A =: . ^ . ,

sm b sin 7

équation dont le second membre est tout connu , mais qui

TRIGONaV^TtlK , SPH^RIQUE. 887

ne se prête pas commodément au cs^lcvd logarithmique. C'est pourquoi nous allons substituer cette valeur dans la relation générale

• i A * /i — cosA sjniA = Y^ ,

et il viendra \ en réduisant au même dénominateur.

'ces (6 — y) — cos CL sm ■ ' ' ^

2sin6sin7

puis , par la formule connue .

' cos {a — b) — cos [a -4- b) ^ 2 sin a sin b\,

on obtiendra enfin

V ^nbsmy

formule que Ton rendra homogène en multipliant le second membre par le rayon R des tailles, et à laquelle les logarithmes s'appliqueront aisément. D^ailleurs, elle n'offrira point de double valeur pour l'angle A , quoiqu'il soit donné par un sinus , parce que l'arc 7 A ne saurait surpasser 90**. Quant aux deux autres angles, ils s'obtiendront par des formules toutes semblables à celle-ci , et qui s'en déduiront par des permutations de lettres.

474. Si l'on avait substitué la valeur de cos A dans la relation

iA=v/^

-+ cos A cos

on serait arrivé, par des calculs analogues, à la formule

cos 1 A = \J~

sin y(6 -+- y — a) sin -j (6 -h 7 -f- a) sine sin y '

388 CHAPITEE XVIII.

qui , par sa combinaison avec la première , fournit encore •cette relation

, ^ ^ /sin-5-(a-4-6 — 7)sin-5-(a tanff - A = 1 / • ^ î^— i^

Ces expressions de cos { A et tang j A pourraient être employées au même usagé que celle de sin { A ; et nous allons indiquer ici une application très-utile de ces formules.

•Tic. 5;. 475. Réduire un angle à V horizon. Un observateur placé au point O , a mesuré langle POQ que font les deux rayons visuels dirigés vers des points fixes P et Q , et il a * mesuré aussi les angles POO' et QOO' formés par ces rayons avec la verticale^ on demande Tangle P'O'Q', qui est la projection du premier sur un plan horizontal. Si l'on conçoit une sphère décrite du point O, comme centre, avec un rayon quelconque ^ elle sera coupép par les trois faces de l'angle trièdre O , suivant un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, 6, y seront les angles obser>'és; tandis que l'angle demandé P'O'Q' ne sera autre chose que l'angle dièdre des deux plans POO' et QOO', c'est-àdîre l'angle A du triangle sphérique : on calculera donc cette inconnue A par une des formules établies cidessus.

DElllXiÈttt; CkS,

476. On donne deux côtés a ef S, ai^ec Pangle A opposé à Vun d'eux^

1^. L'angle B s'obtiendra par le théorème (2), qui donne

. ^ sin A sin 6

sm B = : ,

sma

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. 889

2**. Pour le côté y, on emploiera la formule (i),.

cos a = cos 6 cos 7 + sin 6 sin 7 cos A =cos6(cos7 -4- sin7 tangg cosA);

et pour la rendre calculable par logarithmes , on aura recours à un angle auxiliaire y , en posant (*)

i^) tang 6 cos A = tang (p ,

ce qui donnera

cos a = cos€ ( COS7 -^- sin 7 -] .

\ ' ' cos (p/

ou bien

/„\ cos 6 cos ('7 — 9) (n) cosa=: — : U 1;. ^

cos 7

Ainsi, après qu'on aura calculé l'angle auxiliaire y par Téquation (m), on trouvera, au moyen de (ri)^ Tare y — (f,. et par suite le côté y tout entier.

3°. Pour l'angle C, on pourrait, après avoir trouvé y,