En ajoutant les trois équations précédentes, il vient

4o6 CHAPITRE XVIII.

ce qui prouve que la quantité — équivaut à Y excès sphé-

rique e , qui exprime aussi (n** 454) la surface du triangle sphérique \ et les dernières équations du n*' 493 pourront

s'écrire ainsi :

Il résulte de là que , quand on a un triangle sphérique très-peu courbe j dont les angles sont A, B, C, et les côtés a, b, c, il existe un triangle rectiligne qui a des côtés de niéme longueur y et dont les angles sont

A — ^e, B — ^e, C — ^e, en désignant par e l'excès de o 6 ô

la somme des trois angles du triangle sphérique sur deux angles droits.

495. Voici maintenant la manière dont il faudra employer ce théorème, i*'. Si l'on connaît les trois côtés du triangle sphérique, on saura calculer S par la formule ordinaire

où p désigne le demi-périmètre ; et alors S et r se trouvant exprimés en unités de même espèce, par exemple

en mètres , le quotient — = s sera un nombre abstrait

qui représentera une certaine fraction du rayon R des tables de sinus , lequel a été pris pour unité des lignes trigonométriques. Ainsi, pour convertir e en secondes, il fau-

S dra multiplier — par R", nombre de secondes contenues

TRIGONOMÉTRIE SPHKRIQUE. 4^7

cl ans Tare de cercle qui égale en longueur absolue son rayon (*) : on aura donc

et alors , en calculant les trois angles A', B', ,C, du triangle rectiligne d'après les côtés connus a, i, c, il suffira d'augmenter chacun d'eux de - £, pour avoir les

angles A , B , C , du triangle sphérique,

2°. Si la question donnait A, i, c, alors on sait que

bc sin A' bc sin A S = = ,

en prenant sin A pour sin A'; et comme ces deux quantités ne diffèrent que par des termes du second ordre , puisque

sin A' = sin (A — jc) = sin A cos x — cos A sin a*, il s'ensuit cpie le résultat

ne sera fautif que dans les termes de l'ordre -j . Par conséquent , si l'on résout le triangle rectiligne ayant pour éléments by c et A' = A — ■= e , on en conclura , après avoir trouvé a, B', C, que les parties cherchées. dans le

(^) Ce nombre de secondes s^obiient en renrarquant que

7rR= 1800 = 648000";

de sorte qu^en divisant par it y qui est connu , on obtiendra le nombre de secondes contenues dans Parc qui ëgale R, savoir,

W" = ao6265" et log R" = 5,3i44a5i.

4o8 GHAFtT&E XVIII.

tridngk sphérique étaient

3^. Si Ton connaissait, dans le triangle sphérique, ' A, a, bj on calculerait dans le triangle rectiligne corres^ pondant

^ sinA' ^ sin A

sin B' =

d'où Ton conclurait l'angle C= i8o*^ •—A — B', avec la même approximation que ci-dessus ] et par suite , on aurait

a rV

4^. Lorsque l'on connaît A, 6, c, on obtient aisément

bc sin A c^ sin B sin A

"~ 2 ~"2sm(A-^B)'

d'où Ton conclut e *, et il en serait de même pour les don* nées A, B, a, puisque le troisième angle C serait connu par l'équation C == i8o*^ — A ^ — B , qui est suffisamment exacte pour le calcul de la quantité S, laqueUe doit être divisée par H. Ainsi, dans tous les cas, on pourra estimer directement l'excès sphérique e ; et^ par suite , con- ■ dure les parties du triangle sphérique d'après celles qu'on aura calculées dans le triangle rectiligne.