Si Ton considère la pyramide qui aurait pour
arêtes OA, OB, OC, et pour base le triangle ABC, elle sera évidemment le sixième du parallélipipède que nous venons de calculer ^ et d'ailleurs , comme en désignant les trois côtés de la base par
BC = a', CA = b'y AB =ir c' ,
il serait aiséde calculer les trois quantités cos a^ cos 6, cos 7, on arriverait ainsi à trouver le volume de la pyramide , exprimé seulement au moyen de ses six arêtes. Parmi ces droites , il est bon d'observer que a et a' sont deux arêtes opposées , ainsi que b avec b\ et c avec c.
§ VI. Résolution d'un triangle sphériqucy dont les trois côtés sont très-petits par rapport au rayon de la sphère.
FiG. 63. 491. Soit un triangle sphérique ABC dont les côtés ont pour longueurs absolues a, b, c, et qui est tracé sur une sphère dont le rayon OA = r. Nous avons fait observer (n^ 452) que les sinus, cosinus,. . . . qui entraient dans la formule (i) et dans toutes celles qui en ont été déduites, ne désignaient pas les lignes trigonométriques des arcs AB , AC , BC , eux-mêmes : mais seulement les sinus , cosinus, . . . d^arcs semblables à ceux-ci , et tracés sur une sphère dont le rayon serait T unité. Or, puisque deux arcs semblables sont toujours entre eux comme leurs rayons , il s'ensuit que les arcs que nous avons désignés jusqu'à présent par de, ê, y, sont liés avec les longueurs absolues a , & , c , par les relations
ah c
et c'est effectivement de là qu'il faudrait déduire les va-
TRICONOMKTRIK SPHÉ&IQUE. /^o3
leurs de a , 6 , y , si les cotés étaient donnés en grandeur absolue, par exemple en mètres. Mais il peut arriver que ces côtés a , b, c, soient très-petits par rapport au rayon /' de la sphère ; comme dans la Géodésie , où les côtés des triangles que l'on conçoit tracés sur le globe terrestre, bien qu'ayant plusieurs lieues de longueur , sont encore très-petits relativement au rayon du globe , dont la valeur moyenne est de 1592 lieues de 4 kilomètres. Alors les
rapports -, -, -, étant des fractions très-faibles, ré-
pohdraient à des arcs a, 6, y, qui se trouveraient beaucoup au-dessous de i®^ or, pour des arcs aussi petits, les tables de logarithmes n'offriraient plus assez d'exactitude, et il devient à la fois plus rigoureux et plus court de ramener la résolution de pareils triangles à celle de triangles rectilignes. Nous allons donc démontrer le principe sur lequel repose cette réduction.
492. En substituant les valeurs précédentes de a , ë , y dans la formule (i), elle donne
ces A =
ces ces - ces -
h c sin- sin-
mais si Ton développe les sinus et les cosinus , en négligeant les termes au-dessous de -^ , on aura
cos - =r I
cos - = I
c c' cos - = I
. b b sin - =
sin - = TUn >
4o4 CHAPITAE XVIII.
valeurs qui substituées dans Texpression de cos A , donneront , en négligeant toujours les puissances supérieures à r^, un résultat dont Terreur sera néanmoins de Tordre —, parce que le dénominateur renferme le facteur — , et il viendra
cosA= ^
bc / c»-h^'\
Mais en supprimant le diviseur commun r*, et développant le facteur
puis négligeant les termes où entrera r^, nous aurons enfin
(.5)cosAt= ^^^ + ^^^, .
493. Maintenant) si Ton posait ici r = qq , le triangle sphérique deviendrait un triangle rectiligne ayant les mêmes côtés a, b^c^ mais dont les angles A', B', C\ seraient différ^its de A, B, C; et la formule (|5) dminerait
cos A' = r ,
relation déjà connue, et d'où Ton déduit
aa^b* -4- 2a*c^-h 2b^c^ — a* — b* — c*
sin»A' =
Alors on voit que Téqualion (i5) peut s'écrire sous la
TaiGONOMCTEIE SPHÉRIQUE. 4^^
forme
/ a\ A A/ *<?siii*A'
( ib; cos A = cos A' ■^— — ,
or
ce qui montre que Tangle  est plus grand que A', mais que la différence doit être très-petite , puisque le dernier terme de Téquation jirécëdente est divisé par r*. Pour mieux apprécier cette différence , posons
A =: A' -h X , d'où cos A = cos A' cos x — sin x sîn A'
= cos A' — ;r sin A' ;
ce résultat qui s'obtient en négligeant le carré de x , étant comparé avec la relation (i6), prouve que
bcwkA' S
où S désigne la surface du triangle rectiligne \ d'ailleurs il en résulte que la quantité x', que nous avons négligée ,
serait de Tordre --. Ainsi , en acceptant une approximation de ce genre , on pourra poser
et Ton aura de même ,
car la quantité S ne change pas quand on permute A avec B ou avec C.
