PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES

seront

x' =OM'.cosa =cosa, y' =:cos6, z' =0087, J7" = OM".cosa' = cosa', ^'' = cos6', 3"=: ces 7',

lesquelles substituées dans réquation précédente, fourniront pour Fexpression demandée ,

(11) cos(D, D')=: cosacosa' -hcos6cos6' -f- COS7 COS7';

ou bien , en employant la notation suivante , qui rappelle aux yeux la situation de chaque angle ,

(12) cos (D, D') = cos(D, x) 008 (D', x) -h cos(D, y) cos(D', y)

-h cos (Dy z) cos (D', z).

35. n est aisé de déduire de ce qui précède , la condition pour que les droites soient perpendiculaires l'une à l'autre 5 il faut alors et il suffit que cos(D, ly) = 05 ce qui, d'après les formules (10) et (n), entraine l'une ou l'autre des relations suivantes :

(i3) aa' -\'bb^ -^ i =0,

(i4) cos a cos a ' -h cos 6 cos 6 ' -h cos 7 cos 7 ' = o ,

lesquelles conviennent aux droites primitivement données n" 32, aussi bien qu'aux droites OD et Oiy qui se coupent. Quant à ces dernières, on doit remarquer que la condition (i3) laisse encore la seconde droite en partie indéterminée , lors même que la première est complètement fixée par les valeurs de a et de b, puisqu'on n'a ici qu'une équation entre les deux coefficients a\ b^ : et il en devait être ainsi, parce que, dans l'espace, il existe une infinité de droites menées par le même point O perpendiculairement sur la droite OD.

Si l'on voulait exprimer aussi par la formule (10) que

les droites sont parallèles , il faudrait poser cos (D, IK )= i , ce qui conduirait à Téquation

(a __ a'Y -f. (^ — b'Y 4- {ab' — a'bf = a,

laquelle ne peut être satisfaite qu'en posant a = a' et b = h'^ de sorte que Ton serait ramené aux conditions trouvées n° 24.

DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. 25

Des Plans, et de leur combinaison entre eux ou as^ec

les droites.

36. Pour parvenir à l'équation du plan , nous regarderons cette surface comme le lieu des diverses positions que prend une droite mobile assujettie à glisser sur une droite fixe, en restant parallèle à une direction donnée ^ et cette méthode aura Tavantage de nous tracer d'avance la marche à suivre pour exprimer analytiquement la génération des surfaces courbes.

Soient donc

(i) x=:az^p, (2) y = bz^q,

les équations de la droite fixe que Ton nomme la direC" trice^ représentons la ligne à laquelle la génératrice mobile doit rester constamment parallèle, par x = a'z^ y = b'z ; alors les équations de cette génératrice auront la forme

(3) X=:fl'z-h/?', (4) x^b'z^q'',

et ici a\ W seront des constantes données et invariables, tandis que p' eXYj' varieront avefc chaque position de la génératrice , mais non pas d'une manière tout à fait arbitraire 5 car il faut encore exprimer que la droite mobile a , dans toutes ses positions , un point de commun ax^ec la directrice fixe , c'est-à-dire que les équations (i), (2),

26 CHAPIT&E III.

(3), (4) doivent être vérifiées par un même système de valeurs àe x^ y^ z. Or, puisque le nombre de ces écpiations surpasse d^une unité celui des inconnues , cela ne pourra arriver qu^autant qu'il existera entre les coefficients une certaine relation qui s'obtient en éliminant les trois inconnues a:, y, z^ comme nous l'avons vu n** 25 , et qui est

C'est donc là une condition qu'il faut essentiellement joindre aux équations (3) et (4) pour que celles-ci représentent complètement la génératrice. Cela posé, en attribuant successivement à p' diverses valeurs arbitraires, ^'=1,2, 7,..., et tirant de la relation (5) les valeurs correspondantes de 9', pour substituer les unes et les autres dans (3) et (4) , on obtiendrait successwement les équations déterminées de telle ou. telle position particulière de la génératrice \ mais si , au lieu de fixer ainsi les valeurs Aep' ef^q\ on élimine ces deux constantes entre les équations (3), (4), (5), V équation finale en (x, y, z) contiendra alors à toutes les positions de la génératriccy puisqu'elle ne renfermera plus de traces des quantités p' elq' dont les valeurs particulières pouvaient seules distinguer une génératrice d'une autre : par conséquent, le résultat de cette élimination sera l'équation de la sur-face plane, lieu de toutes ces génératrices. Or, en substituant dans (5) les valeurs de p' et q' tirées de (3) et (4)> on trouve

X — a^z — p jr — b^z — q

, a' — a ^ b' — b ' ou bien

(6) x{b'^y)-hx(a'-a)-hs(ab'-^ba')-hp(b'^b)-^q(a-'a')=:zo.

DES PLANS ET Àe LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. 2']

résultat qui prouve que Véquation cCun plan est toujours du premier degrés et renferme généralement les trois variables , c'est-à-dire qu'elle est de la forme

Ax-f-Bj4-Cz-4-D = o.

37. Réciproquement, toute équation du premier degré, telle que

(7) Aar4-Br-hCz-f.D = o,

appartient à une surface plane. Pour le démontrer, cherchons d'abord la trace de la surface (7) quelle qu'elle soit, sur un des plans coordonnés, XZ par exemple; et comme jr=o exprime (n^ 7) la propriété caractéristique de ce plan, en combinant cette relation avec l'équation (7), nous voyons que cette trace est une droite PR représentée par ^^' 7-

(8) r==o et Ax + G8-f-D = o. (9)

Cela posé, imitons la marche suivie au n** H, et coupons la surface inconnue (7) par divers plans parallèles à XY, tels que ^ = a , z = a', . • • • I^s sections seront représentées par les équations simultanées

(10) z=ia et Aa: 4- B/ -h (Ca 4-D) = o, (11) zz=a' et A^ + Bj-f-(Ca'4-D) = o,

résultats dont la forme prouve (n®* 15, 17) que ces diverses sections sont des droites j toutes parallèles entre elles (n^24). Mais, en outre, il arrive ici que chacune a un point de commun ai^ec la trace PR; car si, d'après la règle donnée au n^ 25, on combine ensemble les équations (8), (9), (10) et (11) pour en éliminer d'abord jr

et ^ , on parvient aux deux équations

Aj?-f-Ca-hD = o, Aj7-f-(Ca + D) = o,

lesquelles s'accordent bien à donner pour x la même valeur. Or, comme il en serait évidemment de même en remplaçant a par ol\ a\. , .^ j'en conclus que la surface (7) est le lieu d^une infinité de droites parallèles^ qui s^ appuient toutes sur une autre droite fixe PR -, d'où il suit que celte surface est un plan (n° 36).

Remarquons ici que ce mode de démonstration resterait applicable à l'équation (7), quand bien même un ou deux des coefficients A, B, C, seraient nuls, pourvu qu'alors on choisît convenablement la trace qui sert de directrice fixe, et la direction des plans sécants *, mais d'ailleurs, nous savons déjà (n°* 10 et 7) qu'une équation du premier degré , de la forme particulière

B7-f.C3 + D = o ou C2-hD=o,

représente un plan qui se trouve parallèle à i/n ou à deux des axes coordonnés : ainsi la réciproque annoncée est vraie dans tous les cas.

38. n est très-important d'observer aussi que les calculs et les raisonnements employés n°* 36 et 37 restent les mêmes , et sans aucune modification , dans le cas des axes obliques; par conséquent l'équation du plan rapporté à de tels axes est toujours du premier degré, et la réciproque a également lieu. Il suit de là que toutes les formules et les conséquences auxquelles nous parviendrons dans les n^*^ 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 54 et 60, seront également vraies pour des axes coordonnés obliques,

39. Lorsque l'équation d'un plan (7) Ao^ + By^-I-Cz + D = o est donnée , on obtient ses traces en combinant

DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. 20

son équation tour à tour avec une des suivantes, x=io^ y = 0^ z = o, qui caractérisent (n^ 7) chacun des trois plans coordonnés 5 ainsi la trace PQ sur le plan XY sera donnée par les deux équations simultanées

z = o , Ax -f- By H- D = o ; la trace PR sur le plan XZ , par

et enfin celle qui se trouve sur YZ, savoir QR, par

a: = o, Bx-f-Cz + D = o.

40. Pour avoir le point où le plan coupe Taxe OX , on Fie. 7. posera à la fois les conditions j^ = o et z = o , qui caractérisent évidemment cet axe ; et en substituant dans (7),

on obtiendra , pour les coordonnées de ce point P,

r = o, z=zo, x = — — = 0P;

on trouverait de même pour les points Q et R ,

Si l'on pose ces trois distances OP=p^ OQ = ^,

OR = r, et qu'on les introduise dans l'équation (7) à la

place de A , B, C , l'équation du plan prendra cette forme

très-symétrique :