PROBLKHES SUR LES LIGNES DROITES

puisqu'on a évidemment (n** 6) les relations si d'ailleurs ou y joint les suivantes

qui expriment que les points M', M" sont sur les droites (D), (D'), on pourra calculer aisément les coordonnées de ces points , et Ton trouvera

mmm^^

-fà

-hl

slâ

v/fl^-h^'-hi' a'

de sorte qu'en substituant dans l'équation (9), on aura pour déterminer l'angle des deux droites, la formule suivante

(10) cos(D, D') =

^a'-hb^-h i v^fl'» + 6'»-f- 1*

Si l'on voulait calculer le sinus de cet angle, on emploierait la relation générale sin = yi— cos', cpi conduirait ici à l'expression

si„(D,D') = ^-^:E^^E^^S5'.

et par suite on en déduirait la tangente.

33. La formule que nous venons d'obtenir pour cos (D, ly), renferme deux radicaux susceptibles chacun du signe ±5 ce qui fournit, si l'on veut, quatre valeurs

égales deux à deux , et qui répondent aux quatre angles formés par les droites indéfinies DOE , IXOE': mais il im-

FiG. 6. porte de remarquer que toutes les fois qu'on aflFectera les deux radicaux du même signe ^ c'est-à-dire quand on prendra le dénominateur total positwement , la valeur du cosinus conviendra nécessairement à l'angle DOD' formé par les deux portions qui font chacune un angle aigu a\^ec OZ, ou à son opposé par le sommet EOE'. En effet, pour ces deux angles, les points M' et M'' qui servent à construire le triangle sur lequel repose le calcul, doivent avoir leurs ordonnées z' et z"y toutes deux positii^es ou toutes deux négativ^es ^ donc, en remontant aux valeurs trouvées ci-dessus pour z' et z"^ il est certain que les deux radicaux doivent alors être affectés du même signe. Observons néanmoins que cet angle DOD' pourra encore être aigu ou obtus, suivant le signe du numérateur aa'-f-ift'4- I.

Quant à la valeur de sin (D, D'), il faut toujours la prendre positivement , parce que , sous cette forme , elle convient aux quatre angles supplémentaires deux à deux ; et que d'ailleurs il est impossible de distinguer des angles négatifs dans les trois dimensions de l'espace.

34. On peut aussi exprimer l'angle que font entre elles les deux droites OD et OD', en fonction des angles que forme chacune d'elles avec les axes coordonnés.

FiG. 6. Soient en effet DOX = a, D0Y = 6, D0Z = 7, et a', 6', y', les angles analogues pour la droite OD'^ nous parviendrons, comme au n^ 32, à la relation

cos(D, jy)=zx'x" + x'x"-¥z'z";

mais, d'après la remarque faite au n^ 29, et attendu qu'ici on a OM' = i = OM", les valeurs des coordonnées