Cela posé, lorsque Téquation donnée (i) rendra le

{^) On peut s'as8U]r.er 4)ue^ daoatoiitQ fonction rationnelle et ei^ti^a F (x^ .x? '^)> ^^ termes du premier ordre en x, ^^ 2, après qu^on y aura substitué xH-x, , ^H-j^j, if4^'«^, auront toajourfc fiiour coeffièlenls W dérÎTées de F; cftr> si T^a eSéclise céit^ fiiMiit«itk>Qid«»a Tonlaîe xj -V x, rA-HsT» «,-+-«, la formule de Tajrlor donnera pour la fonjotion y^i^e

dxj 2 <ir, <(r,

Ou voit àus^ que le terme indépendant des variables est F (x ^^ pr^y zX et^ que la dernière ligne reproduira tous les fermes dé l'ordre n le plus élevé,' <^l >«ntltii6tff dakis F(x, y^ a); niafs ^^mk d^cto èr4re itifSHeiM^ a» trod-' vev^ift a;ug-aiaiiiéadej»ou?ell«fi'quautUé8 ^ui b^ofaUaiidvQQt {kar li^^mute.. précédeni^. D'à illeur^ , pour (|ue la surface F (x, y^ z) adniette un centre, il faudra pouvoir égaler à zéro toutes les dérivées J'orfcf/cf impair ou d'ordre pair, setoR que le' degVé de cette surface sera pair -on ihkpëiri -, - ' >

76 GHAPiras V.

polynôme D ^o, les valeurs précédentes de Xj, jj, Z|

qui sont toujours réelles, se trouveront ^?i/e5; par conséquent y la surface admettra un centre unique dont la position sera déternlinée par les coordonnées Jt 1 , y 1 , ^ ^ de la nouvelle origine, pour laqudle Téquation de la surface prendra la forme (2).

Si Féquation (i) rend le polynôme D = o, et que les trois numérateurs N , N', N" ne soient pas nuls à la fois , une au moins des coordonnées du centre deviendra infinie^ ce qui signifie que, dans ce cas, la surface sera dépourvue de centre.

Enfin , si en même temps que D =± o , les trois numérateurs N, N', N" sont tous nuls, la surface admettra une infinité de centres, puisque alojs les équations (3) , (4) , (5) se réduiront à une ou à deux équations vraiment distinctes, ce qui permettra d'y satisfaire par une infinité de valeurs de ^1 ,^1 , Zi : mais ce cas présente deux variétés qu^il faut examiner séparément.