Lorsque le système (3), (4)9 (S) se réduira à deux

équations distinctes, ce qu'on reconnaîtra en voyant si

les valeurs de a:i,j^i, tirées de (3) et (4), par exemple,

vérifient (S) , quel que soit z 1 , on en conclura qu'il existe

FiG. 17 une infinité de centres, situés tous sur la droite EF

his

représentée par (3) et (4) 5 et , dans ce cas, la surface sera nécessairement un cylindre à base elliptique ou hyperbolique. En effet, tous les plans menés par EF couperont la surface suivant des lignes du second degré (n^ 83) qui devront évidemment admettre pour centres tous les- points O', 0\..» de £F^ donc chacune de ces sections ne pourra être que le système de deux droites parallèles k EF: ainsi la surface proposée se trouvera le lieu de diverses droites parallèles entre elles , c est-à-dire qu'elle sera cy-

DtJ CENTRE DAHS LES SURFACES. '^7 •

Hndrique. J'ajoute que ce cylindre aura nécessairement une base elliptique ou hyperbolique; oar , si on le coupait par un plan GO' H perpendiculaire à EF, oïl devrait trouver pour section une courlie du second degré cpii ad* mît pour centre le point O'.

98. Quand les équations (3), (4)^ (5) se néduirontà une seule, ce qu'on reconnaîtra eh voyant si la valeur de Xi tirée de (3), par exemple, vérifie (4) et (5) quels que soient ^1 et^i, on en conclura qu'il existe encore une infinité de centres situés tous dans le plan GO' F déterminé par Téquation (3) \ et alors la surface proposée ne sera autre chose que le système de deux plans parallèles à GO'F. En effet, si Ton trace dans ce dernier plan deux droites EF et GH , on prouvera , comme ci-dessus (n° 97) , que la surface est un cylindre parallèle i £F. Mais ensuite un plan sécant mené par GH perpendiculairement au premier, devra donner une courbe qui ait pour centre tous les points de GH5 c'est-à-dire que cette section, base du cylindre , sera le système de deux droites parallèles à GH , et par conséquent le cylindre lui-même se réduira à deux plans parallèles à celui des centres. Dans ce cas , l'équation (i) devrait pouvoir se décomposer en deux facteurs rationnels du premier degré.

99. On voit, par cette discussion, que les surfaces du second degré peuvent être rangées en trois classes : la première comprend les surfaces qui ont un centre unique; la deuxième , les surfaces dépoujvues de centre; et la troisième se compose de cylindres qui admettent une infinité de centres , situés tous sur un axe central on sur un plan central. Mais comme ces cylindres se trouveront compris , ainsi qu'on le verra par la suite, dans les équations des surfaces douées d'un centre , on peut borner l'énoncé général aux deux premières classes.

^8 GBhPVTML V. •

Toutefok, puisque la considération du centre, qui se* ndt propre à simplifier Téquatioii générale (i) et à en rendre la discussion plus facâle, n'est point applicable i tontes leB »irfaee» du second ordre , nous allons emjdo^fier, pour réduire cette équation, une autre propriété qui aura Tarantage d'être commune k toutes ces surfaces: c^est eeUe des ^ns diamétramr.

PLA1I9 MAMiTmAUX. ^ *J^

i I I M f I ■ I i II I ■ < I !»■ Il I ^ « I ■« « I 4 I I I » I «S '' j « > J

Z^eif Plans diamétraux j et réduction de l'équation générale du^eeond degré aux deux formes les pluf simples.

100. Dans une surface quelconque F (x, ^, z)ts^o^ ni, Ton mène une &ui|e de cordes parallèles toutes à une direction donnée , et que Ton prenne les milieux de ces droites^ le lieu géométrique de tous ces points formera ce qu'on (appelle une surface éfiamétrule de la première . EUe aurait plusieurs nappes, si chacune des. droites paraUèl^ aviât plus de deux points communs avec la surface proposée^ et comme le nombre de ces points d'intersection, réels ou imagiiiaires, égalera toujours le degré n de Téquation ^ ('^y y 'i ^)?=^o, leurs combinaisons ^^saix à deux formeront sur une même droite indéfinie , ^ ^ cordes

différentes dont les milieux seront en même nombre: par conséquent, la surface diamétrale pouvant être rencontrée par cette droite indéfinie dans— ^ ^.p<nnts, aura

une éqnatiottqui'se trouvera dn degré -^ (*)•

<<^) Ces oonsidétatimift «t Teaploi fort otiled^un f^lan diamétral pouif simplifier imm^ft^temeut réqpation i^éiu^ràJe du ç^cond degré , sofit $du8 à M. J. Binet. (Voyez la Correspondance sur l'École Polytechnique, vol. Il,

80 GHAMSmK VI.

Pour les surfaces du second ordre, où /2=: 2, les sur^ faces diamétrales ne peuvent être que des plans.

101. Lorsqu'une surface quelconque F(x, y^ z)z=zo admet un plan diamétral, c'est-ànlire qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à une certaine directi6n^ si Ton rapporte cette surface à trois axes dont deux soient quelconques , mais situés dans le plan diamétral, et dont le troisième OZ soit parallèle aux cordes conjuguées ai^ecceplan, alors Tëquation nouvelle f(x, y^ z) =;=o de cette surface devra évidemment , pour chaque système de valeurs simultanées x = a ety=£, fournir des valeurs de z qui soient deuEx à deux égales et de signes contraires. Donc cette équatiiini, supposée algé^ brique, deura ne cont&iir que des puissances paires de la variable % ; ce qui n'exclut pas les termes constants ou indépendants de z , comme dans

Aï* -h B/a* 4- Car* 4- Dr -h E = o.

Réciproquement, toutes les fois qu'une équation ne renfermera que des puissances paires d'une des variables, z par exemple , on pourra affirmer que le plan des xy est diamétral et conjugué avec les cordes parallèles à l'axe des z,

102. Trois plans diamétraux sont dits comiugués entre eux, lorsque chacun coupe en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à Vintersection des deux autres plans ^ alors on prouvera, comme ci-dessus, que quand une surface admet trois . plans de ce genre , et qu'on les choisit pour plans coordonnés, l'équation f{x^y<f ^) = o, supposée algébrique, doit ne contenir que des puissances paires de chacune des trois variables.

103i Comme les plans diamétraux, isolés ou conju^ gués , sont en général obliques relativement aux cordes

PLAXS DIAMÉTRAUX. 8t

quHls coupent par leurs ihîJieux , nous donnerons Iç nom particulier de plan principal à un plan qui se trouverait \

eh même temps diamétral et perpendiculaire à ses cordes conjuguées.

404. Nous appellerons aussi diamètre d'une surface, toute droite qui sera l'intersection de deux plans diamétraux *, et si ces deux plans étaient principaux, leur intersection deviendrait un diamètre principal on un axe de la surface. Cette définition des diamètres aura l'avantage de s'appliquer même aux surfaces dépourvues de centre.

Enfin , on donne le nom de sommets aux points où une surface rencontre quelqu'un de ses axes.

Cela posé, pour réduire l'équation générale des surfaces du second degré à une forme simple , qui embrasse néanmoins toutes les surfaces de cet ordre , et qui con^ serv'e les coordonnées rectangulaires avec lesquelles on aperçoit bien mieux les points et les lignes remarquables, nous allons démontrer que, dans toutes ces surfaces, il existe au moins un plan principal.

105. Cherchons d'abord le plan diamétral qui serait conjugué avec un système de cordes parallèles, dont la direction est fixée par les angles a , 6 , y, qu'elles forment avec trois axes rectangulaires quelconques. La surface, rapportée à ces mêmes axes , aura pour équation la plus générale ,

et une des cordes du système donné sera représentée par (2) xz=zmz-^py f==nz-hq9

* 1 ^«^^ CCS a ces 6 . « orwN 1

ou les quanutes m = , n = (n° 30), seront les