Réciproquement, étant donné un plan

Rjf 4- Sj -^ z := o ,

on peut trouver la direction des cordes qui sont conjuguées avec un plan parallèle au premier ; car ce nouveau plan

Ra?-+-Sjr-h2-f-T = o

étant identifié avec (7), on aura pour déterminer m et « , les conditions suivantes

Àwî-f-B'4-B"/î ___ AV/-+-B4-B''w

A"4-B«+ B'w' ~ A' -4-Brt-^B'm'

mais ensuite il faudra adopter pour T la valeur

108. On doit observer que tout plan diamétral passe par le centre , ou en général par le lieu des centres \ car Téquation de ce plan, écrite sous la forme (6), estévi-

86 CHAPITRE Vt.

demment satisfaite quand on y substitue les coordonnées du centre, fournies par les équations (3), (4), (5) du n** 95; et Ton pouvait d'ailleurs prévoir cette circonstance, d'après la définition même du centre.

109. Cherchons maintenant si, parmi tous les plans diamétraux qu'admet la surface ^ , il y en a un qui soit principal (pP 103). Pour cela, il faut ne plus se donner arbitrairement les angles a , S , y , ou les coefficients m e t /i , mais les choisir tels que le plan diamétral (7) se trouve perpendiculaire à la corde (2). Ainsi Ton doit satisfaire (n^ 47) ai|x deux conditions

desquelles on pourrait déduire , par Télimination de m , i^ie équation du Mt>isième degré aeuletnent, qui admel^ trait toujours pour n une valeur réelle : mais o» arrive à un résultat plus symétrique, et qui nous sera d'ailleurs utile plus tard, en introduisant ime inconnue auxiliaire s déterminée par la relation

alors les équations (8) et (9) se trouvercmt remplacées par les trois vivantes, qui sont du premier degré en m et n,

(10) Aiw -h B' -h B"/i = /iw,

(11) A'Ti-f-B 4-B"m = /ïj, (la) A" H-B/H-B'm=*.

Or, des deux premières (10) et (i i) on tire

(la) /»E(^-^A)(4^^A')--B*'^3 = B'(j — AO-f-M^ (i4) «[(;f--A)(j^A')-.B««) = B (* — A) -l-B'B'';

PLANS &IAMKTRAUX. s 87

et en substitnam dans (12) ces valeurs de m et de n, il yient

ri5^ i (*~A)(i-A')(i-A'')-B'(.-A)-B'»(5-A') )

OU bien , en développant ,