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mêmes pour toutes les cordes en question, tandis que p y et g varieront d'une corde à une autre. Pour avoir les
points où la droite (2) rencontre la surface ^, je substitue dans (i) les coordonnées x^ y de cette droite, et il est clair, sans effectuer les calculs, que j'arriverai à un résultat de la forme
(3) Rz* -4- S« -h T = o,
équation dont les racines seraient les ordonnées des deux extrémités de la corde. Mais l'ordonnée z^ du milieu de cette corde étant, comme on sait, égale à la demi-somme des
ordonnées extrêmes . on aura évidemment -z* =^ ^ -ït ; ce
qui revient à dire que l'ordonnée du milieu de la corde sera fournie par Y équation dénuée de (3), savoir:
(4) 2iu-hS = o.
Or, on pçut former cette dernière sans effectuer les substitutions qui auraient conduit à (3) ; il suffit de différent tier (*) la fonction 4>, en y regardant x et y comme te-
{*) Si Ton ne neui pas employer ici le enteiU différentiel, qui Mpendant ^vite une «iibstitution et une élimination un peu longues, il n^y a qu^à remplacer effectivement dans (i) les coordonnées j: et ^ par leurs ▼aleurs tirées de (3), et Ton trouvera , pour Téqualion (3), le résultat suivant :
«« ( Am' + A V -+- A" 4- 2B/H- 2B 'm H- aB "mn) i
-ha»(Aiii^-+- A'n^H-B9-f-|B>-HB''m9H-BV-*-CmH-C'fH-C'')î =o. -t- A;»'-h AV-+-aB V^ -h aC^-HaC^ H-E J
Cette équation aurait pour racines les ordonnées des deux extrémités de la corde; mais Pordonnée z^ du point milieu devant être la demi-somme de cellies-là, on peut, sans résoudre l'équation précédente, en conclure immédiatement que
^(AwH-B'-i-B^^«)-hy(A^n + B-^B'^m)-f-Cm-H-Cn-hC^ '»■*" Am*-+-AVH-A''-+-3Bn-h2B'm-J-aB''m«
D'ailleurs, les trois coordonnées x, , j^, , ;f^ de ce point milieu, devant
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iMnt la place de leurs yaleurs, c'est-à-dire comme des fonctions de jz déterminées par les relations
[7.) xz=zmz-\-pf jr^nz-hg-
Ainsi , d'après la règle qui sert à difFérentier les^nchbri^ de fonctions, on formera Téquation
d^ dx d<^ dy d^
dx* dz df'dz dz *
ou bien ,
laquelle équivaudra à Téquation (4); et alors le système (5) et (2) donnera les trois coordonnées x^ j^z^ du milieu de la corde en question. Cela posé , pour obtenir la surface diamétrale , lieu géométrique des milieux de toutes les cordes parallèles, il faudrait évidemment éliminer de ce système les constantes p et q^ qui seules
▼éfifiop lei équations (a) de la oorde , on aura encore
de sorte que si, entre les trois dernières équations, on élimine p et ^y qui seules distinguent une corde du système donne d^ivec une autre corde de ce même système , on obtiendra Péquation de la surface diamétrale cherchée. Or, en substituant p=^x^ — mt^ , ^ ^^y\ — n^i > dans la valeur de #1, on tromve, après quelques réductions,
(Aiii-HB^ii-+-B')*i-*-(A'»i-+-B«'m^B)r.H-(A*-f.Bii-»-B'iii)ir, i
résultat qui coïncide arec ^équation (7) du teite.
Il ait hou d^obiArTer ici que réqo«kîon 4u plan diamétral (7) eonser* verait la même forme, quand bien même la surface (1) serait rapportée à des axes obliques; seulement les constantes m et n changeraient alors de signification géométrique (no 16). ' f^
84 CHAPITRK VI.
varient d'une corde h une autre ; mais Téquation (5) ne renferme pas explicitement ces constantes : elles n'y entreraient qu^autant qu'on aurait substitué dans (i) les valeurs de a: et ^ tirées de (2). Donc, puisque nous avons évité cette substitution, l'équation (5) elle-même représente la surface diamétrale cherchée, et Ton reconnaît que cette surface est un plan, car en eflfectuant les dérivées qui sont indiquées dans (5), il vient
( m(A*-hB'«-+-B'>-hC)-Hn(A'r-hB»-hB"x-HC')) ^
^^ \ -t- {^''s -f- Bj -f- B'* -+-cr ) **'
OU bien , en ordonnant par rapport aux variables,
i (Am-+-B'-+-B''n)a:-+-(A'n-hB + B''iw)r-h(A"-+-Bn-f.B'TO)i> __ I -hCm-f-C'n-hC" \~^'
Dans cette équation du plan diamétral j il est utile de remarquer que le coefBcient de la v'ariable x est la dérivée relative à x des termes du second ordre qui entrent dans 4>, dérivée où l'on doit ensuite remplacer x, «j^, z par m , n et i . Une composition analogue a lieu pour les coefficients de j^ et de ^; et l'on pourrait d'ailleurs rendre toutes les formules précédentes complètement symétriques, quoique plus longues à écrire, en y introduisant
, , cosa ces 6
les valeurs m = , n = .
C0S7 ces 7
106. n résulte de ce qui précède, que, pour tout système de cordes parallèles dont la direction est définie par les angles ce , 6 , y^ ou par les constantes /n et n , il existe un plan diamétral, puisque les coefficients de Xy y, z, dans l'équation (7), sont réels. A la vérité, ce plan se trouverait à une distance infinie si les coefficients des
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rection des cordes était telle qu'on eût à la fois
Aiw -h B' 4- B''/ï = o, A'/i -h B + B"/?/= o,
mais pour que ces trois équations , qui ne renferment que deux inconnues, puissent s'accorder, on verra aisément que la condition D = o (n** 96) doit être satisfaite. Ainsi , la circonstance d'un plan diamétral situé à Finfini ne peut se rencontrer que dans les surfaces dépourvues de centre^ toutefois, nous aurons égard, dans la suite, à cette restriction.
