B^'-AA', B'^-AA", B»-A'A

qui sont aottlegues à (* ^ ^ac diattiB KM eonrbes du second deg^, et qui sevTîraient à indiquer le genre des» sections faites dans le surface (1) par les plana coordonnés x = o, r =z o> or = o, on par des plans parallèles à ceux-ci.

D'ailfenirti nou6 Terrons plus loin {ifi i 17) que Pé^uafion (16) a totN joufs sea trois racines réelles; maïs M. Ctfud^ a donné de cette ]Ho^oaition une démonstration directe et ingénieuse. Pour cela, il écrit Féquation (i5) sous la forme

(i5> (i-A)L(j-A'} (j-A'')-B«]-[B'*(i-A')-hB»«(i-A''>+-2BB'B'']=o,

puis il remarque que, dans le cas particulier où Ton aurait B' = o et B'' = o, les trois racines seraient

alors, rerenant au cas général, il fait, dans (i5), les hypothèses suivantes :

« = 00 qui donne +,

Ainsi , puisque ces résultats soni altwnatireineoi positifs et négatifs , lea

88 GHAPITAE VI.

jours une racine réelle , à laquelle correspondront dans (i3) et (i4) des valeurs réelles pour met n-^ par conséquent , dans toute surface du second degré, il existe au moins un plan principal^ et il peut y avoir au plus trois plans de ce genre, à moins qu'il n'y en ait une infinité, ce qui arriverait si la forme particulière de la surface rendait quelqu'une des équations (lo), (11)9 (12) identique avec les autres; mais nous reviendrons plus tai*d (n^ 118) sur cette djâcmssion.

110. Toutefois, il importe d'observer que la racine réelle de l'équation (16) prouve bien l'existence d^un système de cordes principales, c'est-à-dire qui sont coupées à angle droit par leur plan diamétral ; mais elle n'apprend rien sur la position absolue de ce plan , qui pourrait se trouver à une distance infinie (n° 106) , et dans ce cas ne saurait être employé comme plan coordonné. C'est pourquoi nous allons appuyer les transformations suivantes , non sur le plan principal lui-même , mais sur le système de cordes principales dont la réalité est certaine.

111. Concevons que la surface générale 4> du n*^ 105 est rapportée à trois axes rectangulaires dont l'un, OZ,soit pris parallèle à ces cordes principales ; il faudra qu'alors les équations (10) , (i i), (12) se trouvent vérifiées par les

trois racines de Téquation sont toutes réelles y et généralement inégales. Pour manifester clairement le signe du résultat de l{ji substitution s = ay il faut remarquer que les quantités a — A', a — A", sont essentiellement positives, et peuvent être représentées par h* et k*; d^ailleurs, on a évidemment B* = (a — A'^) (a — A'') = MV; de sorte que l'équation (i5) se réduit pour 5 = a, à la forme d'un carré négatif

( B'»&* ■+■ B"* ik» dt 3 B'h!' hk)^

Au contraire, quand on pose 5 = 6, les quantités b — A', b — A", sont de la forme — A', — A', et l'on a encore B' = A' k* ; donc l'équation (i5) donne alors un résultat nécessairement positif.

PLANS niAMKT&AUX. 89

hypothèses « = 90°, 6 = 90°, et 7 = 0, ou bien par les

valeurs

cos a ces 6

m ■= =0, n zzz .— rr o.