COS7 COS
Or, cela entraîne évidemment les conditions B'=o etB= 6-, d*oii il résulte que, pour de tels axes, l'équation de la surface du second degré sera toujours débarrassée de deux des trois rectangles, et prendra la forme
(17) Ax«-i-A>«H-AV-+-aB''ar-i-2Cr-HaC>-i-aC''«H-E = o.'
Par conséquent, tous les genres de surfaces du second ordre sont renfermés sans exception dans cette équation; mais elle peut encore être réduite. En eflfet, si , sans déplacer l'axe OZ, on fait tourner dans leur plan les axes OX et OY, en les laissant rectangulaires, par les formules connues
x = a:'cos&) — j'sinwj
X^ x^ sin w -h /' cos w,
on pourra faire disparaître le rectangle xy^^ puisqu'on arrive , comme dans l'équation à deux variables , à la condition
asinoj cosw (A' — A) -h 2B'' (cos' w — sin'w) = o, d'où
tang2w = ^— -^.
Cette valeur, qui est réelle et toujours admissible, même quand A 52= A', prouve que l'équation (17) peut toujours être ramenée à la forme
(18) Px^-hPy + P'V — Qx~Q> — Q''z + E = o,
laquelle renferme encore toutes les surfaces du second degré , et où P, P', P", Q , . . . peuvent avoir des signes et
90 CSAPITAB VI.
des valetirs numériques quelconques \ mais iei Ta eommen* cer la séparation des diverses classes.
112. Si les trois coefficients P, P', P" sont tous différents de zéro, il sera toujours possible de faire évanouir les premières puissances des variables; car, en transportant les axes actuels parallèlement à eux-mêmes , par les formules a: = a:'H-a, j'=y+b^ z^z^r-^c, on trouve les conditions
2flP — Q = o, 2^P' — Q' = o, 2cP"— Q" = o,
auxquelles oû peut satisfaire par des valeurs^ue^ de a, byC, tant qu'aucun des ooefficients P , P', P" ne se trouve nul. Ainsi, dans ce cas, Téquation (18) se ramènera à la forme
(19) PiB» -f- py 4- p V = H,
qui comprend une première classe de surfaces du second degré.
113. Si un seul des trois coefficients Ses carrés se trouve nul, par exemple, P=io, et le coefficient correspondant Q^o, on ne pourra plus faire disparaître le terme
Qxy puisque la valeur précédente de a serait infinie ^ mais, en place, on pourra faire évanouir le terme constant, et réduire Féquation (18) à cette forme
(20) Py-hP'V=:Qx,
qui présente une deuxième classe de surfaces du second ordre.
114. Lorsque , dans Féquation (18), on a à la fois P= o et Q=o, sans qu'il manque aucun des deux autres carrés, alors cette équation se réduit d'elle-même à
py -4- PV — Q> — QÎ2 4- E = o;
PLANS DIAMKT&AUX. 9I
et fx>ixioie elle ne renferme que deux variables, elle appartient nécessairement (n*^ S)kun cylindre perpendiculaire au plan des j^z, et dont la base sera évidemment une ellipse ou ww hyperbole. Or, il sera toujours possible de rapporter cette courbe à son centre ^ ou de ramener Téquation précédente à la forme
et puisque cette dernière se déduirait de Téquation (19) en y posant P = o , nous pourrons regarder les cylindres elliptiques ou hyperboliques ^ comme un genre particulier qui sera compris dans la première classe générale représentée par Téquation (19)9 en sous-entendant que, dans celle-ci , quelqu^un des coefficients peut être nul.
113. Enfin , si dans Féquation (i 8) on a en même temps P = o et P'= o , il restera
Or, cette surface étant coupée par dss plans parallèles à XY, tels que ^:s=&, z = A', . . *, donnera toujours des droites parallèles entre elles : donc c'est un cylindre parallèle au plan X Y , et à base parabolique^ puifiqu'enposant j= o , on obtient une parabole. A la vérité , les arêtes de ce cylindre sont obliques sur cette base : mais, en coupant la surface par un plan ZOX' perpendiculaire à ses géné-> ratrices , on aurait encore évidemment une parabole \ t\ Féquation de ce cylindre rapportée au plan de cette section droite, se réduirait (n*" 8) à celle de sa nouvelle base , que Ton sait pouvoir être ramenée à •
i>»nc , puisque cette équation peut être déduite de (20)
ga CHAPITHE VI.
en y posant P '= o , ce genre particulier de surfaces rentre dans la seconde classe.
116. Nous n'examinerons pas l'hypothèse où P, P' et P" seraient nuls à la fois ; car il est impossible (n® 82) que l'équation (17) s'abaisse au premier degré par des transformations de coordonnées.
117. D résulte de cette discussion, que toutes les surfaces du second ordre , avec leurs variétés , sont comprises dans les deux classes représentées par les équations à coordonnées rectangulaires
(19) Px' 4. py -h p "z-" =^ H ,
(20) py -+- P'v = Qx.
Les surfaces de la première classe ont évidemment un centre qui est l'origine des coordonnées actuelles (n** 93) , puisque la somme des exposants des variables est paire dans chaque terme , comme le degré de l'équation. Elles admettent aussi trois plans principaux conjugués entre eux (n°' 102 et 103), qui sont les plans coordonnés rectangulaires auxquels elles se trouvent rapportées maintenant 5 car chaque variable n'entre qu'à des puissances paires dans l'équation (19). D'où Ton doit conclure que , pour ces surfaces, l'équation (16) a ses trois racines réelles.
Quant aux surfaces de la secondé classe , elles n admettent point de centre j puisqu'en transportant l'origine (n" 94) on ne pourrait jamais faire disparaître le terme Qor, dont le degré n'est pas de même parité que celui de l'équation (20). Parmi les plans coordonnés actuels, ceux des (Xj y) et des (a:, z) seulement sont diamétraux et •principaux, attendu que les variables z ely n'entrent chacime qu'à des puissances paires ; d'où l'on conclut qu'il existe ici au moins deux systèmes de cordes principales, qui sont parallèles à l'axe des z et à l'axe desj^ 5 et par
PLANS DIAMÉTRAUX. g3
suite 9 le troisième système , déterminé avec les autres par Técpiation (i6), doit être aussi réel: mais le plan principal correspondant se trouve à une distance infinie, comme nous allons le voir.
D^ailleurs, par cette discussion, il est prouvé que, dans tous les cas , V équation (i6) du n^ 109 a ses trois racines réelles.
ii8. Il suffirait sans doute, pour étudier les surfaces du second ordre, de les avoir renfermées toutes, avec leurs variétés, dans les équations (19) et (20); mais, si Ton veut compléter la discussion des cordes et des plans principaux, il n'y a qu'à reprendre la méthode générale du n° 109, en l'appliquant à l'é* quation plus simple
(18) Vx" -h Py -+- P'V — Qx — Q> — Q' z -i- E = o,
laquelle comprend sans exception toutes les surfaces du second ordre (n^ ili). En cherchant d'abord le plan diamétral conju> gué avec les cordes parallèles à la droite quelconque
, . cosa cos6
(21) x^=:mz-=z .2: y ^ /iz = .z,
^ ' COS7 cosy
on trouvera , par la formule générale (5),
(aa) (2Px — Q)cosa-h{2P'r — Q')co86-h(aP''«-Q'')coB-/ = o.
Ensuite, pour que ce plan et la corde (21) soient perpendiculaires entre eux , il faudra (n^ 48) satisfaire aux trois conditions (*)
P cos a . cos «y = P'' cos a . cos 7, (23) \ P'cos6.cos7 = P"cos6.cos7,
P cosa. cos 6 = P' cos €. cos a.
(*) Ordinairement on exprime seulement que deux des projections de la droite sont perpendiculaires aux traces du plan^ mais il faut alors, suivant la remarque faite au \\^ 46, éviter de prendre deux plans pro-
94 CHAPITRE Vt.
lesquelles ne peuvent être vérifiées à la fois, quand P, P% F'' sont inégaux , que par Tun des systèmes de valeurs qui suivent :
cos a ^ o avec cos 6 = o ,
(24) l cosa = o cosy = o,
cos 6 = COS7 = o.
Or ces valeurs prouvent, i^ qu'il existe trois systèmes de cordes principales, toujours réels, e% perpendiculaires entre eux, puisqu'ils sont parallèles aux trois axes rectangulaires OX» OT, OZ, qui ont ramené l'équation du second ordre à la forme (18); et qu'il n'y a Jamais plus de trois systèmes de ee genre, tant que P, P% P'' sont inégaux;
2^. Que les plans principaux conjugués a^ ces trois systèmes de cordes , et déduits de l'équation (22), sont :
(27) 2Px — Q =0;
mais le dernier sera situé à une distance infinie 07=:--^, si
P = o, ce qui arrive dans les surfaces de la forme (20). Gela vient évidemment de ce que les cordes parallèles à OX ne rencontrent plus la surface qu'en un seul point , et se prolongent indéfiniment dans l'autre sens.
&I9. Si l'on avait à la fois P = o et Q = o, ce plan principal (27), perpendiculaire à OX , se trouverait à une distance indéterminée. En effet, la surface devient alors (n** 114) un cylindre elliptique ou hyperbolique y et les cordes parallèles à OX, ou bien à l'axe du cylindre , se prolongeant indéfiniment dans
jetants qui coïncident. Or, comme cette circonstance arrlyeraît fréquemment ici , où les cordes cherchées vont se trouver paraHèles à un des axes coordonnés , il est plus simple de poser immédiatement les trois conditions, dont une sera toujours comprise dans les deux autres.
PLANS DIAMléTEAUX. <^
ks deux sens 9 leurs milieux peuvent être pris ^ volonté $ur tout plan perpendiculaire à leur direction commune.
ISO. Maintenant, supposons que deux des coefficients P, F% P'' soient égaux, par exemple, P = P'. Alors on satisfera aux conditions (23) d'une manière plus générale que par les valeurs (^4) ; on pourra encore poser
cosa=:o avec cosê = o,
ce qui fait retrouver le système de cordes parallèles à OZ , avec le plan principal (sS) ; ou bien il suffira de poser
cûS7=:o,
en laissant a et 6 indéterminés , ce qui montre que toutes les cordes parallèles au plan XT appartiennent à des systèmes principaux, dont le nombre est par conséquent infini. Les plans principaux correspondants sont fournis par l'équation (22), en y substituant la valeur GOS7 = o, ce qui donne
/ON . ^ Qcosa + Q'cosÔ (20; X cos a 4- / cos 6 — -^^ ^^= = o.
Go cas est celui où la surfaioe (18) est de révolution; car tous les plans s=;ib, z = A^,.... coupent alors oetfee surface suivant des cercles dont les centres sont situés évidemment sur ntoe même droite parallèle ii Taxe ÛZ , savoôr :
D'ailleurs , cette droite se trouve l'intersection commune de tous les plans principaux représentés par l'équation (28).
121. Si Von supposait à la fois P = P' = P", les conditions (23) se trouveraient vérifiées d'elles-mêmes, quelles que fussent les valeurs de a, 6, «y ; d'où il résulte qu'alors tout système de cordes parallèles serait un système principal ; et tout
g6 CHAPITRE Vt.
plan de la forme (22), c'est-à-dire passant par le point
"^'^Ip' -^'-Ip' ^'-ip'
serait un plan principal. Dans ce cas , la surface est une sphère; car l'équation (18) peut alors s'écrire sous la forme
