En ajoutant les trois équations précédentes» il vient

4o6 CHAPITRE XVIII.

ce qui prouve que la quantité — équivaut à V excès sphé-

rique e , qui exprime aussi (n° 451) la surface du triangle sphérique \ et Içs dernières équations du n*' 493 pourront

s'écrire ainsi ;

Il résulte de là que, quand on a un triangle sphérique très-peu courbe, dont les angles sont A , B, C, et les cotés a, b, c, il existe un triangle rectiligne qui a des côtés de même longueur , et dont les angles sont

A — ^e, B — ^s, C — ^e, en désignant par s l'excès de ô 6 6

la sonune des trois angles du triangle sphérique sur deux angles droits.

495. Voici maintenant la manière dont il faudra employer ce théorème, i^. Si Ton connaît les trois côtés du triangle sphérique, on saura calculer S par la formule ordinaire

S = sjp{p^a){p''-b){p^c),

où p désigne le demi-périmètre \ et alors S et r se trouvant exprimés en unités de même espèce, par exemple

en mètres, le quotient -^ = « sera un nombre abstrait

qui représentera une certaine fraction du rayon R des tables de sinus, lequel a été pris pour unité des lignes trigonométriques. Ainsi, pour convertir e en secondes, il fau-

dra multiplier ~ par R", nombre de secondes contenues

TRIGONOMÉTaiE SPHÉRIQUE. 4^7

(1 ans Tare de cercle qui égale en longueur absolue son rayon (*) : on aura donc

et alors , en calculant les trois angles A', B', C, du triangle rectiligne d'après les côtés connus a, i, c, il suffira d'augmenter chacun d'eux de ^ e, pour avoir les

angles A, B, G , du triangle spliérique.

2^. Si la question donnait A, 6, c, alors on sait que

bc sin A' bc sin A S = = ,

en prenant sin A pour sin A'; et comme ces deux quantités ne diffèrent que par des termes du second ordre , puisque

sin A' =: sin (A — ar) = sin A cos x — cos A sin x, il s'ensuit que le résultat

ne sera fautif que dans les termes de l'ordre — . Par conséquent, si l'on résout le triangle rectiligne aysflit pour éléments J, c et A' = A — ^ e, on en conclura, après avoir trouvé a, B', C, que les parties cherchées dans le

(*) Ce nombre de seconde^» s^obiient en remarquant qae

7rR= 1800 = 648000";

de sorte qu^en divisant par tt , qui est connu , on obtiendra le nombre de secondes contenvies dans Tare qui égale R, savoir,

ir = 206265" et log R" = 5,3 14425 1 .

4o8 GHAPIT&B XTlli;

triangle sphéricpfê ëtaienrt

3^. Si Ton connaissait, dans le triangle sphérîque, A, a, b^ on calculerait dans le triangle rectiligne correspondant

b sin A' 6 sin A

sin B' =

d'où Ton conclurait Tangle €'= i8o° -*- A — B', avec la même approximation que ci-dessus \ et par suite , on aurait

g ab sin C^ . ~ ^ r''

4^. Lorsque Ton connaît A, B, c, on obtient aisément

6c sin A c* sin B sin A

~" 2 "" 2 sin (A -f- B) '

d'où Ton conclut e ; et il en serait de même pour^es données A, B, a, puisque le troisième angle G serait connu par l'équation G = i8o® — A — B, qui est suffisamment exacte pour le calcul de la quantité S, laquelle doit être divisée par r^. Ainsi, dans tous les cas, on pourra estimer directement l'excès sphériquee; et, par suite, conclure les parties du triangle sphérique d'après celles qu'on aura calculées dans le triangle rectiligne.