DT RS PET

ce sont les premières parties des inconnues x et y.

Pour découvrir les termes subséquents, il faut substituer le binome p + q au lieu de x et p'+ g'au lieu dey; p et p désignant les premiers termes connus, et q et q les sommes des termes subséquents. Les nouvelles inconnues sont qg et q, et l’on a deux équations pour les déterminer. On appliquela même règle afin de trouver les premiers termes de g et g’, qui seront les seconds termes des racines cherchées. En poursuivant le caleul d’après les mêmes principes, on trouverait les parties suivantes des racines.

On voit que les deux équations proposées n’ont que deux solutions possibles. L'une contient aux premiers termes les puissances + et — © de a : aucune autre combinaison ne pourrait satisfaire à Ja fois aux deux proposées.

Quant à la règle qui fait connaître les premiers termes des racines, nous nous bornons à dire ici qu’on peut aussi ramener cette recherche à des constructions, et c’est par ce moyen que nous avons forme les premiers termes des deux solutions ci-dessus indiquées. Au reste la recherche des exposants de ces premiers termes est un problème de l'analyse des inégalités linéaires; mais l'usage des constructions peut ici suppléer à cette analyse. On parviendrait à découvrir les premiers termes des solutions par les essais successifs des combinaisons de différentes valeurs attribuées aux exposants :

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 5g l'emploi de l'analyse des inégalités, ou celui des constructions , suppléent à ces essais. Au reste, cet emploi n’est indispensable que si le nombre des termes qui entrent dans les proposées était trop grand; et dans ce cas les règles elles-mêmes ne peuvent pas toujours prévenir la longueur du calcul. Quoi qu'il en soit, il demeure certain que l’on parviendra toujours à la détermination exacte des premiers termes de toutes les solutions possibles. Quant aux termes subséquents, non-seulement on les découvre par l'application des mêmes règles, mais la marche des opérations se simplifie de plus en plus, parce que ces termes ne peuvent avoir que des exposants inférieurs à ceux que l’on a déja déterminés, condition qui facilite la recherche.

Les conséquences que l’on vient d’énoncer s'appliquent à toutes les équations multiples, quels qu’en soient le nombre et le degré ; mais les opérations sont d'autant plus composées que le nombre des équations est plus grand. Toutefois il est manifeste que la résolution des équations littérales multiples s'opère au moyen de ces principes, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux éliminations successives. La méthode de résolution donne en général les développements des solutions en séries infinies. L'usage de ces séries, où plutôt le calcul des seuls premiers termes, doit s'appliquer principalement à la discussion des propriétés des lignes ou des surfaces courbes considérées dans leur cours infini. La conséquence la plus générale de cette analyse est que la résolution des équations multiples est indépendante de tout procédé d'élimination, et qu'elle doit consister dans le calcul simultané des équations proposées, sans apporter aucun changement à leurs coefficients primitifs.

(14) L'objet du cinquième livre est de montrer comment les principes de l'analyse algébrique exposés dans les livres précédents s'appliquent aux fonctions transcendantes. Nous avons principalement en vue celles de ces fonctions que les géomètres ont considéréés jusqu'ici, parexem ple celles que l’on trouve dans les ouvrages d'Euler , ou que plusieurs géomètres ont successivement employées dans des recherches de dynamique ou de physique mathématique,

6o EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

et spécialement celles que nous avons nous-même introduites dans la théorie de la chaleur.

Nous considérons les équations déterminées formées d'expressions transcendantes dont la valeur change par degrés insensibles , quelle que soit d’ailleurs la nature de la fonction ; ou du moins nous considérons les parties des fonctions transcendantes quelconques qui varient ainsi par degrés issensibles. Ainsi on ne suppose point que dans les parties de fonctions auxquelles ces recherches s'appliquent les valeurs passent du positif au négatif sans devenir nulles dans l'intervalle : mais lorsque cette condition n'a pas lieu, rien n'empêche d'examiner séparément chacune des parties où la continuité subsiste.

Le caractère propre des fonctions algébriques entières est de se réduire toujours à une valeur constante par des différentiations continues, et nous avons Jusqu'ici admis cette condition. Il faut. remarquer maintenant que les conséquences principales auxquelles nous avons été conduits ne dépendent point de cette même condition. Nous l'avons d’abord supposée pour rendre les démonstrations plus simples ; mais en examinant avec soin ces démonstrations, on reconnaîtra qu'elles ont un objet beaucoup plus étendu, et qu'il n'est nullement nécessaire que la différentiation indéfinie réduise les fonctions à des valeurs constantes.

Par exemple, on a démontré dans le premier livre qué si la substitution d’une limite « dans la suite des fonctions dérivées de tous les ordres donne des résultats qui soient les mêmes, terme pour terme, que ceux qui proviennent de Ja substitution d’une autre limite b dans les mêmes fonctions, l'équation principale fx— 0 né peut avoir aucune racine dans l'intervalle des deux limites. Ce lemme estimportant, et nous en avons souvent fait usage dans diversés recherches d'analyse algébrique. Or il est certain que cette proposition ne s'applique point de la même manière aux fonctions algé-

briques et aux expressions transcendantes. Par exemple si la fonction principale est sin.æ, et si les deux limites a et sont respectivement « et a+ 27, les deux suites de résultats seront les mêmes,

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. 61 terme pour terme. Or il est manifeste qu'on ne peut point en conclure que l'équation sin.æ=— 0 n’a pas de racines dans cet intervalle de a à a +27: mais la démonstration que nous avons donnée du lemme dont il s’agit prouve dans ce cas qu'une équation dérivée d'un ordre quelconque, telle que f"x— 0, ne peut pas avoir entre les deux limites & et » plus de racines que n’en a dans le même intervalle l'équation f"+°x—o d'un ordre plus élevé, quel que soit le nombre z. Or cette proposition est indépendante de la nature de la fonction différentielle , et l’on doit se borner à cette conclusion, parce que l'intervalle des limites esttrop grand pour queles premières substitutions puissent indiquer les limites de chaque racine.

(15) Nous allons maintenant énoncer quatre propositions générales qui servent à détérminer les limites et les valeurs des racines , lorsqu'on applique les principes de l'analyse algébrique aux fonctions transcendantes.

F°. On a expliqué dans le premier livre les relations qu'ont entre eux les nombres entiers appelés indices qui correspondent aux fonctions dérivées. Si l’on connaissait l'indice z pour une certaine fonction

fx comprise dans la suite des dérivées de fæ, a etb désignantles deux

limites auxquelles cet indice se ra pporte, on en conclurait que l’'équation f x — 0 ne peut pas avoir plus dei racines dans l'intervalle de ces limites ; c'est-à-dire que si l’on avait à résoudre l'équation /"x=—0, il faudrait chercher un nombreide ces racines entre & et b. Considérantensuite l'équation dérivée placée à gauche de fx, savoir f"+°, et désignant par £’ le nouvel indice correspondant à f"+"°x, on en conclurait que si l'on avait à résoudre l'équation f"+x—0, il faudrait chercher un nombre z’ de ces racines dans le même intervalle des limites & et 6. Or les indices £ et 5’ peuvent être d’abord inconnus , lorsque la fonction fx est transcendante, mais ces deux indices ont une relation nécessaire. Le nombre £’ est i, ou i— I, OÙ 1+1, et l'on connaîtra toujours lequel de ces trois cas a lieu. I suffit de comparer les résultats de la substitution de « dans fx et ft +9 x aux résultats de la substitution de b dans les mêmes fonctons. On les écrira donc comme il suit