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et l'on examinera si la combinaison provenant des deux termes consécutifs f“+%a, fl) a est une variation de signe, ou si elle est une permanence. Ensuite on examinera si la combinaison des deux termes consécutifs f("+%b,f(b est une variation de signe, ou si elle est une permanence. Lorsque la combinaison provenant des substitutions est unevariation dans la première suite et une variation dans la seconde, ou lorsque cette combinaison est une permanence dans la première suite, et une permanence dans la seconde ; le nouvel indice £’ est le même que le précédent &. Mais si la première suite donne une permanence qui corresponde à une variation dans la seconde, on a ? —i— 1. Enfin si une variation dans la première suite répond à une permanence dans la seconde, on à L'ETÉ Ces conséquences résultent de la règle que nous avons dônnée dans le premier livre pour former les indices correspondants aux dérivées successives , et elles ne dépendent point de la nature de la fonction fx. En effet ces conséquences sont fondées sur cette proposition générale que le nombre substitué augmentant par degrés insensibles, la suite des signes perd une variation lorsque le nombre substitué devient égal à une racine. Or la vérité de cette remarque n’est pas bornée aux fonctions algébriques ; c’est une propriété de tout point d’intersection, quelle que soit la figure de la courbe qui coupe l’axe des x.

On voit donc que si l'indice correspondant à une fonction dérivée est connu, on peut facilement déterminer les indices qui, pour le même Rae des deux limites a et à, répondent aux fonctions précédente ou suivante. Par exemple si les résultats de la substitution de & dans la suite entière des fonctions dérivées sont les mêmes que les résultats de la substitution de b dans ces fonctions, Ja valeur de l'indice z ne subit aucun changement, en sorte que l'équation fx—0o ne peut avoir entre les limites a et b plus de racines qu'une autre équation dérivée /®"#//—o n'en peut avoir entre ces mêmes limites, quel que soit le nombre 7. Si la fonction principale fx était algébrique, on serait assuré que la différentia-

tion indéfinie donne une constante / "x, m étant le degré de la proposée. On arriverait ainsi à un premier indice, qui est évidemment nul; et comme tous les indices sont les mêmes, il s'ensuit que l'équation principale f(æ)— 0 ne pourrait avoir aucune racine dans ce même intervalle : c'est le lemme de l'article 34 du premier livre. Si l'équation principale fx — 0 n’est pas algébrique, il est manifeste qu'on ne doit pas tirer la même conclusion, mais on connaîtra la relation qui subsiste entre un indice à correspondant à une quelconque des dérivées désignée par fx , et l'indice 2’ correspondant à la dérivée de l’ordre moins élevé d’une unité, savoir f(x. Par conséquent on déterminera par le même moyen la relation de l’indice z de la fonction fx avec l'indice 7 de la fonction principale f(x), et si l'on connaissait ë on en conclurait la valeur de j. Or nous démontrerons que l’on peut toujours assigner un certain intervalle A pour lequel l'indice correspondant à une fonction fx est nul. Donc à partir de cette fonction jusqu'à la fonction principale fx, on déterminera les indices des autres fonctions pour ce même intervalle, et l'on connaîtra ainsi combien on y doit chercher de racines de la proposée fr—o.

IL°. fx désignant une fonction transcendante déterminée , et A une valeur donnée de la variable x, on peut toujours assigner un intervalle A tel qu'on soit assuré qu’une équation dérivée quelconque fx = 0o ne peut avoir aucune racine dans l'intervalle de A à A+A, en sorte que l'indice : propre à cet intervalle est certainement zéro. En effet la proposée fx —o est, selon notre hypothèse, une équation déterminée, c’est-à-dire que l'expression f(x) détermine entièrement la valeur de la fonction f(x) pour toute valeur de la variable x, soit qu'elle donne cette valeur exactement par un nombre fini d'opérations, soit qu’elle en donne des valeurs approchées qui en diffèrent aussi peu qu'on le veut, comme cela a lieu par exemple lorsque f(x) est donnée en série convergente. Si l'expression f(x) ne déterminait pas la valeur de la fonction pour toute valeur de la variable , 11 n’y aurait pas lieu de proposer de résoudre l'équation f(æ)—= 0. Il est nécessaire que l'expression f(x), quelle qu’en soit

la nature, puisse servir à connaître si, pour une valeur quelconque A de la variable x, la valeur de la fonction f(x) est plus grande ou moins grande qu’un nombre proposé B. Ainsi l'expression f(x) donne la fonction f(A), ou exactement, ou par une série convergente, où par tout autre procédé qui tiendrait lieu de cette série, en sorte que l'on puisse rapprocher indéfiniment les limites de la valeur de f (A). Il en est de même d’une fonction dérivée de f(x) d’un ordre quelconque : car la fonction principale étant entièrement déterminée, la fluxion d’un ordre quelconque est aussi déterminée. Cela étant, il s'ensuit rigoureusement qu’en désignant par À une valeur quelconque et donnée de la variable x, on peut toujours assigner un intervalle A tel que pour une dérivée d’un ordre quelconque f 0 +, l'équation fx — 0 ne peut avoir aucune racine dans l'intervalle de À à À + A, c’est-à-dire que toutes les valeurs de fx dans cet intervalle ont un même signe. En effet quelle que soit l’expression de f(x), par exemple si cette fonction est donnée en une série, la convergence de la série suppose une condition d’inégalité, qui par conséquent subsiste dans toute l'étendue d’un certain intervalle. On connaît dans cet intervalle deux fonctions différentes qui servent de limites à la valeur de /"x, et l'on peut déterminer l'accroissement A en sorte que l’une et l’autre limites donnent pour ‘f® >, dans l'intervalle. A + A, des résultats qui ont un même signe. On en conclut qu'on ne doit chercher aucune racine de l'équation f®x— o entre À et À + A: c'est un intervalle pour lequel l'indice z est certainement nul.

On détermine ensuite , conformément à la proposition F°°, la valeur de l'indice qui, pour ce même intervalle, répond à l'équation principale. On parvient ainsi, quoique la fonction proposée f(x) ne soit point algébrique, à connaître combien on doit chercher de racines de l'équation f(x) —o dans l'intervalle dont il s’agit, et il n'y à aucun des intervalles suivants auxquels le même procédé ne s'applique. On connaîtra donc les intervalles où les racines doivent être cherchées, et l’on déterminera par les règles expliquées dans les premiers livres la nature et les limites des racines.

Nous avons rapporté dans ce cinquième livre divers exemples

propres à éclairer cette application des principes de l'analyse algébrique. Elle est fondée sur la notion générale des variations et des permanences de signe: ce serait retrancher une partie considérable de l’art analytique que de ne point introduire cette notion dans la théorie des équations transcendantes.

(16) Ie, Une fonction transcendante ou algébrique + x étant proposée, si l’on fait l'énumération de toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x, savoir &,6,y,9,etc. qui rendent nulle la fonc-

tion x, et si l’on désigne par f(x) le produit (1), (a