A . LA LL . L - I

l'unité, et qu'il y ait un premier reste. On prendra — pour la pre- °« y . enr I

mière valeur approchée de 4, et la différence na sera une frac-

tion € que l'on comparera de la même manière à l'unité. En conti-

nuant ce calcul la fraction « sera développée en une suite dont chaque terme a l’unité pour numérateur , et dont les dénominateurs sont les nombres entiers que l'on à trouvés par la comparaison des restes successifs avec l'unité.

Ces divers développements, dont le calcul des fractions continues est un cas particulier, ont des propriétés qui se rapportent à la théorie des nombres ; mais nous considérons ici sous un autre point de vue ces différentes formes d’approximation, comme servant à exprimer les irrationnelles algébriques en suites de nombres entiers indéfiniment continuées. On reconnaît premièrement qu'une équation numérique étant proposée, on peut développer la racine comprise entre deux limites & et b en choisissant à volonté ou l'expression en fractions continues, ou l’un des développements ci-dessus indiqués. On détermine exactement les dénominateurs partiels, de même qu'on le ferait si la valeur cherchée était donnée par une équation du premier degré dont les deux coefficients seraientconnus. Dans ce dernier cas le développement serait terminé; il est indéfini lorsqu'on exprime une racine algébrique irrationnelle : or l'équation proposée fournit immédiatement les dénominateurs successifs. Quelle que soit la forme du développement que l’on a choisi, on obtient toujours pour la racine deux valeurs de plus en plus approchées, et entre lesquelles on est assuré qu'elle est comprise, ear il suffit de faire varier d’une unité chaque dénominateur. Ainsi la convergence n’est pas moins démontrée que pour les fractions continues , et en général cette convergence est du même ordre.

Des exemples particuliers rendent ces conclusions très-évidentes. On voit par là qu'une racine d’une équation à laquelle on a appliqué les deux règles (A) et (B) démontrées dans le premier livre, n’est pas moins clairement connue que si elle était exprimée par une équation du premier ou du second degré; car les coefficients de la proposée d’un degré quelconque donnent sans aucune incertitude toutes les parties du développement. Ainsi la racine d’une équation algébrique quelconque n’est pas plus imparfaitement exprimée quoique le degré de l'équation soit élevé; seulement le degré déter-

ho EXPOSÉ SYNOPTIQUE.

mine l’ordre suivant lequel se succèdent les nombres qui entrent dans le développement. Cet ordre est propre à chaque degré : les nombres qui le forment dans tous les cas sont également connus. Il suffit donc pour exprimer complètement ces valeurs d’avoir résolu ainsi la recherche des irrationnelles algébriques. On exige seulement que l’on résolve par une méthode exacte et facile la question qui a pour objet de reconnaître si une racine est réelle, et de placer chaque racine réelle dans un seul intervalle. Lorsque cette distinetion desracines est achevée, la résolution ne consiste plus que dans un développement arithmétique. La racine se trouverait toujours placée entre deux limites que l'on peut rapprocher autant qu'on le veut. Les nombres qui forment le développement ont des valeurs déterminées que l'on déduit des coefficients de la proposée, en sorte que l'on connaît de la racine cherchée tout ce qui peut servir à l'exprimer complètement.

(9) Pour donner plus d’étendue à cetexamen de la nature desirrationnelles algébriques , nous avons montré dans ce même livre qu'elles peuvent être aussi développées en fonctions continues, et l’on a rapporté les constructions géométriques qui rendent les résultats très-sensibles. On ne pourrait point indiquer clairement cet usage des fonctions continues sans des détails et des exemples que l'on ne peut donner dans un exposé général : nous nous bornons aux remarques suivantes. On considère une certaine relation entre une première valeur approchée + que l’on supposerait à la racine cherchée, et une seconde valeur à’ plus approchée que la première x. Par exemple soit entre x et x’ la relation très-simple x'— 1 +=.

On donnerait à x une valeur quelconque que l'on peut ici regarder comme arbitraire, et l’on en conelurait la valeur correspondante de x". Prenant ensuite pour seconde valeur de x celle que l'on vient de trouver pour +’, on déduirait de la même relation une nouvelle valeur +”, qui étant prise pour + donnerait une valeur suivante 4”. En continuant ainsi on obtient des valeurs de plus en plus approchées de la racine inconnue. La valeur de cette irrationnelle est iC1 L/a, car l’approximation a pour limite une valeur de x telle que

: I : : x la relation à'—1 +- n'apporterait plus aucun changement à la

, à : L t valeur que l'on donne à x: on aurait donc z— 1 + OÙ &— 2.

On trouverait une conséquence analogue pour une autre relation récurrente, et ce procédé s'applique aux équations de tous les degrés. La racine inconnue est une limite dont on s'approche indéfiniment, et la différence devient plus petite que toute quantité assignable. Les constructions qui répondent à ce genre d'approximation sont remarquables. Par exemple elles consistent ici dans une spirale rectangulaire, dont le point extrême s'approche continuellement du point d'intersection correspondant à la valeur de la racine.

On trouve aussi par ce même procédé les racines des équations exponentielles ou transcendantes : nous en avons cité divers exemples dans la Théorie analytique de la chaleur, pag. 343 et suivantes.

Il faut remarquer que l'approximation indiquée par ces méandres rectangulaires, quoique régulière, serait trop lente pour devenir une méthode usuelle : notre but est seulement de rendre manifeste le rapport singulier de la figure avec la marche de l'approximation, et de prouver que l'on connaît un moyen certain d'approcher indéfiniment de la racine des équations. Mais ce même procéde des fonctions continues donne des approximations beaucoup plus convergentes lorsque la spirale orthogonale est remplacée dans la construction par la suite des tangentes inclinées, et lon pourrait augmenter la convergence de l'approximation en considérant le contact du second ordre. |

La fonction continue qui donne les valeurs approchées a un rapport nécessaire avec l'équation proposée. [l n'y a aucune équation algébrique pour laquelle il ne soit facile de déterminer les fonctions correspondantes aux tangentes inclinées. L'approximation newtonienne n’est elle-même qu'un exemple de ce procédé général. Jai fait un usage fréquent de cette forme d'approximation dans diverses recherches, et particulièrement pour la résolution d'une équation transcendante qui m'avait été indiquée par mon illustre confrère M. le baron.de Prony.

Cet emploi des fonctions continues doit être dirigé par les propriétés de la figure. On pourrait y suppléer par des considérations purement analytiques; maïs en omettant l'examen de la figure on ajouterait beaucoup à la difficulté de la recherche, qui au contraire devient très-simple au moyen de la construction. C'est un des cas, d’ailleurs fort rares, où la construction est pour ainsi dire nécessaire. Il peut arriver qu'on ne trouve par ce moyen que des valeurs approchées , toutes moindres que la racine, ou toutes plus grandes que cette racine; mais il est toujours facile de fornrer une seconde limite qui complète l’approximation: elle est clairement indiquée par la construction même. Il n’est pas moins facile de distinguer les cas où la fonction continue , au lieu de donner des valeurs plus approchées, conduirait à des résultats de plus en plus éloignés de celui que l’on cherche : c'est ce qui arriverait si lon traçait la spirale orthogonale dans une direction opposée à celle que la figure indique.

Les considérations que l’on vient de présenter dirigent et facilitent l'emploi des fonctions continues; elles excluent les expressions analytiques divergentes, et montrent qu'il suffit de calculer les premiers chiffres des résultats successifs. Au reste l'emploi des approximations de ce genre n’est point nécessaire pour la résolution des équations numériques, et les méthodes que nous avons expliquées conduisent plus simplement encore à la connaissance des racines; mais il importait de remarquer des procédés généraux qui donnent une étendue nouvelle à la théorie des fractions continues et montrent les rapports de ces fractions avec les propriétés des figures.

(10) Après avoir exposé dans le troisième livre l'usage des fractions continues pour approcher de plus en plus et indéfiniment des racines irrationnelles dont chacune est placée entre deux limites connues , nous avons considéré une propriété fort générale commune à toutes les méthodes exactes d’approximation. Elle consiste en ce qu’il n’y a aucune de ces méthodes qui ne suffise pour distinguer les racines imaginaires lorsqu'on dirige le caleul par l'application du théorème général (A). Cette conséquence est pour ainsi dire évi-

dente pour l’approximation linéaire dérivée de la méthode newtonienne. En effet ce procédé d’approximation est représenté, comme nous l'avons dit, par la suite des tangentes inclinées indiquées par les figures r ou 2. Supposons qu’il résulte du théorème (A) que l’on doive chercher deux racines entre les limites « et b, et que l'on connaisse par les principes démontrés dans les deux premiers livres que l'are mA n’a aucune sinuosité dans l'intervalle ab. On ignore si les deux racines cherchées sont réelles (fig. 1), ou si elles manquent dans cet intervalle (fig. 2). Or le procédé d’approximation peut résoudre cette question. En effet, ce procédé consiste à déduire de la première valeur approchée & une valeur plus approchée &’, qui répond à l'extrémité a’ de la sous-tangente ; ensuite on passe de a’ à une nouvelle valeur approchée &”; ainsi de suite, en continuant le même calcul. Or dans le premier cas toutes les valeurs approchées «, a’, «”', etc. ne peuvent dépasser le point d’intersection qui répond à la racine réelle : par conséquent si l’on détermine par le théorème(A)combien on doit chercher de racines entre a etb, ou entre «et b, ou entre «” et b, ete, on trouvera toujours que ce nombre des racines indiquées est 2, comme il l'était d’abord. Mais le contraire arrivera dans le second cas (fig. 2) où les deux racines cherchées manquent dans l'intervalle : il est im possible dans ce dernier cas que si l'on continue l'approximation, on ne parvienne pas à une valeur telle que «”, au-delà du point où l'arc mn est le plus rapproché de l'axe « b ; et lorsqu'on sera arrivé à un tel point a”, si l’on détermine par le théorème (A) combien on doit chercher de racines entre la dernière valeur «” et b, on trouvera que le nombre des racines indiquées entre «” et b n’est plus 2, mais zéro. Cette condition peut ne point arriver pour les premières valeurs approchées telles que a!, mais il est impossible que si l'on continue le calcul, et si la forme de l’are est celle que représente la figure 2, on ne trouve point une valeur approchée telle que l'extrémité «” devienne très-voisine du point &, ou nese porte au-delà de ce point. Le seul cas singulier où l’on ne pourrait obtenir un tel résultat est celui des deux racines égales, détermi-

a EXPOSÉ SYNOPTIQUE

nées par le contact de l'arc mn et de l'axe «ab. On sait que ce cas intermédiaire est très-facile à distinguer : il suppose que les fonctions fx et f'x ont un facteur commun, ce que l'on peut connaître d'abord, comme nous l'avons expliqué précédemment. Ainsi la méthode d’approximation jointe au théorème (A) suffit toujours pour reconnaître la situation de l'arc m7 par rapport à l'axe a b. Voici le procédé qui indiquera la nature des deux racines. On calcule une première valeur approchée « qui répond à l'extrémité a de la première soutangente. S'il arrive que cette seconde valeur a soit plus grande que la seconde limite D, il est évident que les racines cherchées sont imaginaires. Mais si a’ est moindre que b, on désigne une valeur intermédiaire 4 moindre que à et plus grande que a’, et on la substitue dans fx. Si par cette substitution les deux racines sont séparées, c'est-à-dire si le résultat de la substitution est négatif, les deux racines cherchées sont réelles : lune est entre a et « et l’autre entre « et b. Mais si la substitution donne un résultat positif, on déterminera par le théorème (A) le nombre des racines qui doivent être cherchées entre « et d. Si ce nombre est o, les deux racines sont imaginaires ; mais si aucune des deux conclusions n’a lieu, c’est-à-dire si les racines ne sont point séparées, et si le théorème (A) indique que l’on doit chercher deux racines entre « et b, on a deux limites « et b entre lesquelles on doit chercher deux racines, et l’on ignore jusqu'ici si ces deux racines sont réelles ou si elles manquent dans l'intervalle : la question est dane la même que celle que l’on avait eue à résoudre, et alors les limites « et à sont plus voisines que les premières limites «& et b. On procédera donc, et de la même manière, à une seconde épreuve; c'est-à-dire que l’on ajoutera à la nouvelle valeur « un second accroissement qui répond pour cette nouvelle valeur à l'extrémité de la soutangente. On suivra littéralement le procédé qui vient d’être indiqué pour la valeur approchée a, et l’on en déduira les conséquences précédemment énoncées. Il est impossible qu'en continuant ce caleul, on n'arrive pas par la voie la plus briève à reconnaître la nature des racines. Il faut seulement ajouter que le cas singulier des

racines égales doit être examiné séparément, ce qui n’a aucune difficulté. On voit par ce qui précède que la règle donnée dans le premier livre, article 3, pour reconnaître la nature des deux racines que l’on cherchait dans un intervalle donné, n’est autre chose que l’approximation linéaire appliquée à la distinction des racines. Or cette conséquence n'est point bornée à l'approximation linéaire : nous démontrons dans ce troisième livre qu’il n'y a aucun procédé d’approximation qui ne donne un résultat semblable. En général toute méthode exacte propre au calcul des valeurs approchées suffit pour la distinction des racines imaginaires, lorsqu'on joint à cette méthode l'usage du théorème (A) qui fait connaître combien de racines doivent être cherchées dans un intervalle donné. Nous entendons par méthodes exactes d’approximation celles qui étant fondées sur les principes exposés dans le premier livre, donnent continuellement deux valeurs dont lune est plus grande et l’autre moindre que la racine.

(11) Nous avons appliqué principalement cette remarque à l'approximation qui résulte de l'emploi des fractions continues, parce que cette methode est plus généralement connue. Voici la conséquence remarquable que fournit cet examen.

Le théorème (A) du premier livre indique combien on doitchercher de racines dans un intervalle donné. Considérons le cas où l’on serait assuré que toutes les racines d’une équation sont réelles. Il faut se représenter d'abord que l’on opère sur une équation de ce genre, et que l'on .cherche la valeur des racines par la méthode d'approximation des fractions continues. Cette méthode est expliquée de la manière la plus claire dansles ouvrages de Lagrange. L'illustre auteur suppose qu'au moyen d’une équation auxiliaire on est assuré qu'il n'existe qu'une racine dans chaque intervalle; mais ici nous ferons abstraction de tout caleul précédent, et nous admettons que la réalité des racines est connue d'avance. Cela posé la seule application du théorème (A), combinée avec le calcul des fractions continues, suffirait pour trouver les valeurs de toutes ces racines. En renouvelant après chaque opération partielle l'application du même

théorème (A), il arriverait toujours qu’en joignant aux racines déja séparées par les opérations précédentes celles que l'on aurait à chercher dans l'intervalle restant, on trouverait précisément autant de racines que le théorème en avait primitivement indiqué. Mais cela ne peut arriver que si l'équation proposée a en effet toutes ses raeines réelles. Si au contraire plusieurs de ces racines manquent dans des intervalles où le théorème indique qu'elles doivent être cherchées, nous démontrons que le calcul des fractions continues fera disparaître ces racines déficientes ; par là on reconnaîtra que l'équation n'avait pas toutes ses racines réelles, comme on l'avait supposé, et l'on saura avec précision quel est le nombre des couples de racines imaginaires.

La remarque que l’on vient de faire exige une démonstration complète, que nous avons rapportée dans le troisième livre. Elle prouve que le calcul de l'équation auxiliaire qui ferait connaître la limite de la moindre différence des racines est entièrement superflu, de sorte que la partie de cette méthode que l’on peut justement regarder comme impraticable est celle qui doit être omise ; il suffit 1° d'employer le calcul des fractions continues tel qu'il est exposé par l'inventeur de cette méthode; 2° de combiner chaque opération partielle avec l'emploi du théorème général (A). Par ce moyen il ne reste rien d'incertain, ni sur la nature des racines, ni sur les valeurs de plus en plus approchées qui proviennent de la convergence rapide des fractions continues.

Toutefois nous ne proposons point de recourir à cette CMS méthode pour le calcul des racines. [/ approximation linéaire, telle que nous l'avons expliquée dans le premier livre, est plus commode et aussi convergente, Nous avons voulu seulement exposer une propriété singulière et nouvelle des fractions continues.

Notre objet principal est de prouver dans ce troisième livre i° que les irrationnelles qui expriment les racines des équations peuvent être développées sous différentes formes, et que ces approximations sont exactes, parce qu’elles donnent toujours deux valeurs entre lesquelles la racine est comprise ;

2° que ces quantités irrationnelles ne sont pas moins clairement

définies et connues que si elles étaient des fractions simples, en

sorte que l’on peut toujours déduire facilement des coefficients de

la proposée les dénominateurs qui entrent dans un développement quelconque ;

3° que toute méthode exacte d’approximation résoud la question difficile de la distinction des racines imaginaires, pourvu qu’on y Joigne l'emploi de notre théorème (A) du premier livre ;

4° que cette remarque s'applique surtout au développement en fractions continues, et que cette dernière méthode n’exige aucunement le calcul de l'équation aux différences, ou tout autre résultat déduit des propriétés des fonctions invariables.

On a vu précédemment que la méthode d’approximätion newtonienne né pourrait point être appliquée généralement à la détermination exacte des racines, et qu'il était nécessaire de résoudre Jes difficultés auxquelles elle est sujette. Il en est de même du procédé des fractions continues , tel qu’il a été proposé par les inventeurs, car 1l exigerait que l’on connût d'avance la plus petite différence de deux racines consécutives. Or cette recherche suppose un calcul que l’on doit regarder comme impraticable, si ce n’est pour les équations des premiers degrés. C’est pour cela que nous avons examiné avec beaucoup de soin si cette difficulté peut être résolue, et nous y sommes parvenus en prouvant que le calcul de la plus petite différence des racines est superflu. La suite des opérations à effectuer est toujours la même quelle que puisse être cette différence. Ces opérations sont celles que l’on ferait si l’on connaissait d'avance que toutes les racines sont réelles. Seulement elles deviennent moins nombreuses et plus simples lorsque plusieurs des racines sont imaginaires, parce que l'application du théorème principal (A) indique que ces racines manquent en nombre pair dans les intervalles où on les cherchait.

(12) L'objet du quatrième livre est la résolution des équations littérales. Les coefficients de ces équations sont des polynomes alsébriques dont chaque terme est de la forme La"b?et..... Les

lettres a, b,c, etc. sont des quantités connues. Les exposants », P; q, etc. sont des nombres donnés. Si A, B,C, représentent de tels polynomes , et si l’on considère un produit (æ— A) (x-—B) (x—C)... formé de plusieurs de ces facteurs , le résultat de la multiplication est un polynome d’un certain degré en x. On suppose que ce produit complet est donné, et que le nombre des facteurs est mn : il s'agit de trouver tous les polynomes du premier degré x—A, z—B,x—0C,etce., qu'il est nécessaire de réunir pour former le premier membre de l'équation proposée. Il faut donc découvrir une méthode générale qui étant appliquée à une équation d’un degré quelconque », fasse connaître les facteurs simples qui répondent aux racines de la proposée. Si quelques-uns des polynomes A, B, C, ete. contiennent un nombre fini de termes, la méthode doit faire connaître les racines exprimées par ces polynomes finis; mais si l'on propose une équation littérale quelconque du degré m, la méthode de résolution donnera le plus souvent des polynomes dont le nombre des termes est infini. Chacune de ces racines aura toujours la propriété essentielle de réduire à zéro le premier membre de la proposée, lorsqu'on y substituera cette racine au lieu de x. Ainsi la méthode qui est l’objet de notre recherche reproduira toutes les racines exprimées en un nombre fini de termes lorsqu'il existe de telles racines , et doit servir à développer en séries infinies celles qui ne peuvent point avoir la forme de polynome fini.

Cette question appartient à l'analyse spécieuse dont Viete est l'inventeur. Elle peut être résolue complètement, et le principe de la solution existe déja dans les écrits de Newton, de Stirling et de Lagrange. À la vérité on a toujours considéré cette recherche comme un élément de la doctrine des séries, mais on verra bientôt qu'elle se rapporte directement à l'analyse algébrique. C’est sous ce point de vue que nous la considérons ici.

Newton a ramené la partie principale de cette question à une construction singulière, qui sera toujours regardée comme une des plus belles inventions analytiques que nous ayons reçues de ce grand géomètre. Lagrange en a donné une démonstration qui ne laisse

rien à désirer. Sans reproduire dans notre ouvrage ces premières découvertes, nous nous attachons principalement à compléter la méthode, et à montrer qu’elle peut devenir à la fois plus facile et beaucoup plus étendue.

Nous avons employé une construction différente de celle de Newton, mais susceptible d'une application plus générale. Elle conduit pour le cas d’une seule variable au même résultat, savoir à la règle analytique que Lagrange a démontrée.

Parmi les lettres qui expriment les quantités connues on en désigne une quelconque a, afin d'ordonner le calcul selon les puissances de cette quantité, et l'on regarde comme le premier terme d'une racine celui qui, dans l'expression de cette racine, contient le plus haut exposant de la lettre choisie a. Cela posé on cherche d'abord les premiers termes de toutes les racines. L’exposant de la lettre & dans un de ces premiers termes est une inconnue qui doit satisfaire à certaines conditions : il faut déterminer cet exposant, et en trouver autant de valeurs que la proposée a de racines. Or on trouve ces exposants, qui sont en nombre 7, par une règle spéciale dont l’application est facile. Voici la construction que nous avons employée pour représenter les résultats de cette règle analytique. On considère une multitude de lignes droites différentes, tracées sur un même plan. La position de chacune de ces lignes est donnée par une équation du premier degré, dont les deux coefficients sont connus, parce qu'ils se forment immédiatement de l'exposant de la variable dans certains termes de la proposée et de l’exposant de la lettre principale & dans ces mêmes termes. Le système de toutes ces droites est toujours limité à sa partie supérieure par un polygone dont les deux côtés extrèmes à droite et à gauche sont infinis. Toutes les parties des droites tracées qui ne se confondent point avec les côtés de ce polygome sont placées au-dessous de ces côtés. Or on prouve que les sommets des angles de ce polygone correspondent aux exposants cherchés. Toute abscisse d’un de ces angles est une des valeurs que l'on peut donner à l'exposant de « pour former le premier terme d’une racine. Les

seuls exposants que la lettre choisie & puisse avoir dans les premiers termes cherchés sont les abscisses des sommets du polygone. La figure indique clairement le moyen de déterminer ces abscisses. I] faut descendre en suivant un des côtés extrêmes jusqu'à la rencontré du premier sommet, continuer en suivant le côté que l’on vient d'attendre jusqu'à la rencontre d'un second côté, puis suivre ce nouveau côté Jusqu'à ce qu'on atteigne le côté contigu; ainsi de suite. La règle analytique que ce procédé indique est celle que Newton, Stirling et Lagrange ont considérée. Le caleul est trèssimple, et il ny a aucune voie plus courte pour découvrir les exposants des premiers termes. On en déduit immédiatement les coefficients dans les premiers termes cherchés, et l’on forme tous ces premiers termes. La règle fait ainsi connaître autant de premiers termés que la proposée a de racines, et il n’est pas moins facile de former les termes suivants.

Nous avons supposé que les termes sont ordonnés selon les puissances décroissantes de la lettre principale a. On pourraitaussi suivre un ordre contraire, etil faudrait trouver en premier lieu le terme de chacune des racines dans lequel cette lettre a le moindre exposant. Dans ce cas la racine cherchée serait ordonnée selon les puissances croissantes de «. Pour résoudre cette seconde question on emploie une règle semblable à celle qui donne pour premier terme celui où la lettre & a le plus grand exposant. En effet ce même système de lignes droites que nous avons considérées plus haut est limité à sa partie inférieure par un autre polygone, et toutes les parties de ces lignes droites qui ne se confondent point avec un côté de ce polygone inférieur sont placées au-dessus de ces mêmes côtés. Il en résulte un procédé parfaitement analogue à celui que nous avons décrit plus haut, et l’on trouve par ce calcul les abscisses des sommets de ce polygone inférieur. Ces abscisses sont les exposants de la lettre & dans les premiers termes des racines ordonnées selon les puissances croissantes de a. Les exposants étant ainsi déterminés, on trouve immédiatement les termes correspondants, et l’on forme les premières parties des racines cherchées. Il est également facile

EXPOSÉ SYNOPTIQUE. bi de trouver par la même règle tous les termes subséquents, et l’on parvient ainsi à former tous les facteurs du premier degré dont le produit est le premier membre de l'équation proposée.

En général l'application de ces règles donne sans aucune difficulté les valeurs de toutes les racines de la proposée ordonnées selon les puissances décroissantes ou selon les puissances croissantes de la lettre choisie. S'il existe des polynomes finis qui satisfassent à la proposée, on découvre successivement toutes les parties de ces polynomes, et l'on arrive à une dernière opération qui montre que le nombre des termes est fini: mais si la racine cherchée n’est pas formée d’un nombre fini de termes, l'opération se prolonge continuellement et la racine est donnée par une série infinie. Cette expression est toujours telle qu’étant substituée dans la proposée au lieu de la variable, tous les termes du résultat se réduisent successivement à zéro.

Cette méthode de résolution est générale. Elle s'applique aux équations d'un degré quelconque, et la lettre principale par rapport à laquelle le calcul est ordonné peut toujours être prise à volonté. Si l'équation proposée est très-sim ple, par exemple si elle n’a que deux termes, en sorte que les racines cherchées contiennent un seul radical, la méthode générale se réduit à celles que l’on connaît depuis long-temps pour extraire la racine littérale d’un polynome donné. Non-seulement le résultat est le même, mais les procédés de calcul sont précisément ceux des règles élémentaires de l'algèbre On voit par là que la méthode comprend comme des cas particuliers les extractions des racines des quantités littérales.

Nous avons dit que la première partie d’une racine étant déterminée par la règle précédente, on découvre par le même procédé toutes les parties subséquentes. En effet désignant par p la première partie déja connue de la racine, il suffit de substituer le binome p + q au lieu de la variable x: on aura ainsi une transformée du degré 7» dont la variable q sera l’inconnue. On pourrait donc appliquer à cette transformée la règle que nous avons exposée, et chercher la première partie de la valeur de q il est évident que

ces substitutions successives feront connaître toutes les parties de la racine convenablement ordonnées. Pour faciliter les applications, nous nous sommes proposé d'exelure de ce calcul toutes les opérations superflues, et nous avons formé une règle spéciale qui donne la seconde partie de chaque racine. Les mêmes considérations réduisent aux formes les plus élémentaires le calcul des troisième, quatrième, ete. termes, en sorte qu'il ne reste plus à effectuer que les seules opérations sans lesquelles les valeurs des racines ne pourraient être connues. La règle se réduit à substituer dans le premier membre de l'équation la partie déja connue de la racine, et à multiplier le résultat par une valeur constante. Quant à la convergence de l’approximation, on la déterminerait par les mêmes principes que ceux qui ont été expliqués dans le second livre. Cette convergence est, généralement parlant, celle qui résulte de l’approximation numérique linéaire.

Le caractère de cette méthode exégétique qui résoud toutes les équations littérales ne peut être bien expliqué que par divers exemples. Le quatrième livre en présente plusieurs. Nous citerons seulement l'équation littérale

+ a (—a+a+b)+x(—-a—ab)+x (a+ x) +ax(—a +ab+a+b)+(a + b+a+ab)—o.

En appliquant la règle générale à cette équation, et en ordonnant le calcul suivant les puissances décroissantes de la lettre a, on trouve facilement que les premiers termes des racines sont æ— a* + etc. ;

T—=— «à + etc. ; PR re. + etc. Les termes suivants contiennent de moindres puissances de a. Si l’on cherche ces termes suivants par l'application des mêmes règles, on reconnaît que les termes qui suivent a? sont tous nuls , que tous les termes qui suivent — a équivalent à —0. Quant à la troisième racine dont le premier terme

est |/—«, elle serait d'abord développée en série infinie, mais la

A . A « s =, même analyse ferait connaître que la valeur complète estl/—{a+ nr).

On obtiendrait ainsi par un calcul régulier tous les facteurs de la

proposée, savoir

On pourrait aussi ordonner le calcul par rapport à la lettre b, et les opérations ne seraient pas moins faciles. Les mêmes règles s'appliquent à tous les cas, et il n’y a aucune équation littérale , quelque composée qu'elle soit, qu'on ne puisse ainsi résoudre en ses facteurs.

Nous avons dit que la règle qui fait connaître les premiers termes des racines est représentée par une construction formée d’un système de lignes droites. La figure 3 présente ce système de lignes pour lexemple que nous venons de citer. Les équations des lignes

droites sont Y=dx, y=hx+2, y—=3x +3, y—2x+i, y=x+3, y—A.

Les coefficients de ces équations sont formés des termes de la proposée où la lettre & a les plus grands exposants. La limite supérieure est le polygone MABCN: le système est limité au-dessous par le polygone 46 v.

Toute équation littérale d’un degré quelconque est complètement résolue par cette méthode en ses facteurs simples, et il n’est pas moins facile de trouver ses racines que celles des équations à deux termes que l'on sait résoudre depuis long-temps par des règles algébriques élémentaires. On trouve dans les ouvrages de Newton (Arithmétique universelle), et dans ceux de Clairaut et autres, des procédés particuliers pour découvrir les racines commensurables des équations littérales : ils consistent dans une suite d'essais dont le calcul est incertain. Il est plus facile et plus exact de résoudre l'équation proposée par la méthode générale que l’on vient de décrire. Newton n'a employé la règle du parallélogramme analytique que pour le calcul des séries, qui est le vrai fondement de sa mé-

thode des fluxions.

On pourrait faire usage de ces développements des racines en séries pour le calcul de leurs valeurs approchées, et si l’on ne possédait point aujourd'hui une méthode très-simple pour la recherche directe des limites, il faudrait recourir à cette résolution des équations littérales. Mais les règles que nous avons expliquées dans les deux premiers livres conduisent bien plus rapidement à la connaissance effective des racines, et dispensent de toute discussion de la convergence des séries. La règle précédente qui sert à former les premiers termes des racines des équations littérales est nécessaire pour l'analyse des lignes courbes considérées dans leur cours infini. Onen trouve des exemples remarquables dans les ouvrages de Newton, Surling, Cramer et divers auteurs. On peut déduire cette règle des constructions, ou la réduire, comme l’a fait Lagrange, à un procédé purement analytique. À proprement parler, cette recherche appartent à l'analyse des inégalités linéaires dont nous exposons les principes dans notre septième livre : c’est le pot de vue le plus général sous lequel les recherches de ce genre puissent être considérées.

(13) Nous avons indiqué aussi dans le quatrième livre une question beaucoup plus composée que la recherche des racines d’une seule équation littérale : elle a pour objet la résolution simultanée de deux équations littérales à deux inconnues. Chacun des termes de ces équations est de la forme Hx"7": x et y désignent les inconnues, H est un polynome littéral formé des grandeurs connues a, b, c, etc. La question consiste à trouver pour æ et y deux polynomes contenant les lettres «, b, ce, etce., et tels que si on les substitue en même temps au lieu de x et de y dans les équations proposées A0, B— 0, l’une et l'autre substitution rendent nulles les fonctions À et B. Le système des deux valeurs de x et de y qui ont cette propriété forme une solution des deux proposées. Il s’agit de découvrir toutes les solutions possibles , en assignant les termes dont se composent les valeurs de x et de y. Si les équations A—0, B— 0 admettent des valeurs commensurables de x et y, en sorte que les polynomes qui expriment ces valeurs ne contiennent qu'un

nombre fini de termes, il faut que ces polynomes soient déterminés par la règle générale que nous avons en vue. Mais si les valeurs de x et y n'admettent point ces expressions finies, la règle doit produire successivement tous les termes du développement de ces valeurs. |

Ainsi nous étendons à deux équations, et en général aux équations littérales multiples lorsqu'il y a autant d'équations que d’inconnues, les principes de résolution que nous avons appliqués précédemment aux équations littérales où il n'entre qu'une seule inconnue.

Ces développements des racines des équations multiples offrent dans l'analyse des usages importants. Par exemple, pour le cas de deux équations, ils servent à connaître la nature des surfaces courbes dans leur cours infini et leurs nappes asimptotiques.

On pourrait aussi employer ces expressions des racines pour résoudre d'une manière approchée les équations qui contiennent plusieurs inconnues , mais ces applications ne sont point ici l'objet de notre recherche. Nous avons seulement voulu connaître s’il existe pour les équations littérales à plusieurs inconnues des règles algébriques analogues à celles qui donnent les racines des équations littérales : et en effet nous avons démontré que les méthodes de résolution ne sont point bornées aux équations littérales qui ont une seule inconnue, Elles s'étendent à toutes les équations multiples dans lesquelles le nombre des inconnues est égal au nombre des équaüons : le calcul est plus composé, mais il est de la même nature. On trouve d’abord le premier terme de chaque racine, c’est-à-dire celui où la lettre choisie pour ordonner le calcul contient un eXposant plus grand que celui de la même lettre dans tous les termes suivants. On forme ainsi autant de premiers termes qu'il y a de solutions différentes. Chaque solution comprend deux valeurs de z et y qui, étant substituées simultanément dansles deux équations proposées, satisfont à l’une et à l’autre. C’est le calcul de ces premiers termes qui fait connaître le cours infini des surfaces.

Si l'on considérait trois équations et trois inconnues, chaque so-

lution serait formée de trois valeurs simultanées de +, V3 z. En général cette méthode de résolution des équations littérales consiste à trouver successivement toutes les parties des racines où la lettre choisie a le plus grand exposant. On peut désigner une lettre quelconque parmi celles qui expriment les grandeurs connues. Lorsqu'on a ainsi trouvé les premiers termes de toutes les solutions, on peut calculer les termes suivants par l'application de la même méthode.

S'il arrive qu'une ou plusieurs des racines puissent ètre exprimées par un nombre fini de termes, la méthode s'arrête au dernier terme subsistant; on reconnaît que tous les autres seraient nuls. Mais en général ces opérations conduisent à des séries. Elles pourraient servir à déterminer les valeurs approchées des racines des équations numériques multiples, mais nous n’avons pas traité cette dernière question. Si plusieurs équations algébriques sont proposées, et que leur nombre soit égal à celui des inconnues, on sait qu'on peut éliminer une de ces inconnues prise à volonté, puis une seconde, une troisième, ainsi de suite , et parvenir ainsi à une équation finale qui ne contient qu’une seule inconnue. Il y à plusieurs cas simples dans lesquels cette élimination peut faire connaître les solutions cherchées, et il est remarquable que dans tous les cas il existe une équation finale. Mais cette conséquence est purement théorique : elle prouve que toutes les racines des équations algébriques ont une nature commune, parce qu'il n'y a aucune de ces racines qui ne soit l'inconnue d’une certaine équation algébrique. Toutefois il n'en faut point conclure que ce procédé d'élimination représente la méthode que l’on doit suivre pour parvenir à la connaissance effective des racines: cette voie serait beaucoup trop compliquée. Elle serait impraticable pour des équations élevées, et même, dans la plupart des cas, cette méthode nécessiterait un examen très-attentif pour éviter l'introduction des facteurs étrangers à la question, c'est-à-dire de ceux qui ne rendent point nuls à la fois les premiers membres de toutes les équations proposées. Quoique l'on puisse éviter ou distinguer ces facteurs superflus que proviendraient de l'élimination , l'extrême complica-

tion des calculs, et la difficulté de former séparément toutes les différentes solutions, excluraient toujours l'usage effectif de ces règles, si ce n’est dans des cas très-simples choisis d'avance comme exemples. On peut dire qu'il faudrait se résoudre à ignorer les solutions des équations multiples, si l'analyse ne pouvait les déterminer que par les procédés d'élimination.

Nous envisageons la résolution des équations littérales multiples sous un point de vue très-différent. Nous conservons aux équations proposées leurs formes primitives, et comparant à la fois tous leurs coefficients, nous cherchons les racines par la résolution simultanée de ces équations. Nous prouvons en effet qu'aucune élimination n'est nécessaire, et que l'on peut déterminer immédiatement Îles premiers termes des racines d’après la seule condition que la substitution simultanée de ces racines doit satisfaire en même temps à toutes les proposées.

L'objet de notre quatrième livre est donc d'expliquer les principes qui servent à cette résolution des équations lBttérales. Nous employons immédiatement les équations telles qu’elles ont été proposées, sans altérer en rien leurs coefficients, et nous parvenons à connaître les termessuccessifs qui doivent former les racines. Chaque solution est composée d'autant de racines qu'il y a d’inconnues différentes , et la substitution simultanée doit rendre nuls à la fois tous les premiers membres des équations. Il faut d’abord découvrir les premiers termes des racines qui forment une même solution. Cette dernière question est beaucoup plus composée que celle qui se rapporte à une seule équation littérale, mais elle se résoud aussi par un règle certaine qui s'applique à des équations d’un degré quelconque.

Nous citerons ici l'exemple suivant, qui présente deux équations à deux inconnues, savoir

34243 3 5 LES Î LP. Ÿ LOTO; x y'a— "x a + 3—0.

Si l'on applique à ces deux équations les principes qui nous venons q P

d'indiquer , on trouve deux solutions différentes : la première est formée de deux valeurs conjuguées de x et y dont les premiers ter-

sont 1 6 ui L'EUE "8, »irnale sd:

la seconde solution comprend les deux autres valeurs de x et y qui ont pour premiers termes