TL

(x —-),.... de tous les facteurs simples qui correspondent aux

racines de l'équation $x4— 0, ce produit pourra différer de la fonction 9x, en sorte que cette fonction , au lieu d’être équivalente à fx, sera le produit d’un premier facteur f(x) par un second F(+). Cela pourra arriver si le second facteur F(x) ne cesse point d’être une grandeur finie, quelque valeur réelle ou imaginaire que l’on donne à +, ou si ce second facteur F (x) ne devient nul que par la substitution de valeurs de x qui rendent infini le premier facteur f(x).

Et réciproquement si l’équation F (x)— 0 a des racines, et si elles ne rendent point infini le facteur f(x), on est assuré que le produit de tous les facteurs du premier degré correspondant aux racines de 9æ—0 équivaut à cette fonction ox(*).

(‘) En effet 1° s’il existait un facteur F x qui ne pût devenir nul pour aucune valeur réelle où imaginaire de x, par exemple si Fx était une constante A et “si fx était sin.æ, toutes les racines de A.sin.æ—o seraient celles de $in.æ—0, et le produit de tous les facteurs simples correspondant aux racines de A.sin. x—o serait seulement sin.æ, et non A.sin.æ. Il en serait de même si le facteur Fx n'était pas une constante A. Mais s’il pouvait exister un facteur Fx qui ne cesserait point d'avoir une valeur finie, quelque valeur réelle ou imaginaire que l'on attribuât à x, toutes les racines de l'équatiôn sin.æ.Fæ+—o seraient celles de sin.æ—0, puisqu'on ne pourrait rendre nul le produit sin.x.Fx qu’en rendant sin.æ nul. Donc le produit de tous les facteurs correspondants aux racines de pæ—0o serait sin.æ, et non sin.xæ.Fzæ. On voit donc que dans ce second

cas il serait possible que le produit de tous les facteurs simples ne donnât pas ox.

IV®. Étant proposée une équation algébrique ou transcendante oxæ—0 formée d'un nombre fini ou infini de facteurs réels ou ima-

on trouve le nombre des racines imaginaires, les limites des racines réelles, les valeurs de ces racines, par la méthode de résolution qui a été exposée dans les premiers livres, et qui sera la méme soit que la différentiation répétée réduise 9 x à une valeur constante, soit que la différentiation puisse être indéfiniment continuée. L'équation eæ—0 a précisément autant de racines imaginaires qu'il y a de valeurs réelles de x qui, substituées dans une fonction dérivée intermédiaire d’un ordre quelconque, rendent cette fonction nulle, et donnent deux résultats de même signe pour la fonction dérivée qui la précède et pour celle qui la suit. Par conséquent si l'on parvient à prouver qu'il n’y a aucune valeur réelle de x qui, en faisant

ginaires

évanouir une fonction dérivée intermédiaire , donne le mème signe à celle qui la précède, et à celle qui la suit, on est assuré que la proposée ne peut avoir aucune racine imaginaire. Par exemple en examinant l’origine de l'équation transcendante

2° Si l'équation Fx—o a des racines, ou réelles ou imaginaires, ce qui exclut le cas où Fx serait une constante À, ou serait un facteur dont la valeur est toujours finie, et si les racines de Fx—o.rendent fx infini, le produit fx.Fz devient +, et peut avoir une valeur très-différente de ox. Mais si les racines de Fzx—o donnent pour fx une valeur finie, le produit fx.F x deviendrait nul lorsque Fx—o: donc l'énumération complète des racines de l'équation 9x—o, oufx.Fz—0o, comprendrait les racines de Fx—o. Or nous avons représenté par fx le produit de tous les facteurs simples qui répondent aux racines de pz—0o: il serait donc contraire à l'hypothèse d'admettre qu'il y a un autre facteur F x, tel que les racines de Fx—o sont aussi des facteurs de o x —0. Cela supposerait que l'on n'a pas fait une énumération complète des racines de l'équationgx—0, puisqu'on a exprimé seulement par fx le produit des facteurs simples qui correspondent aux racines de cette équation.

SIRET z° x? VE x t (1) SUR I Ta (ad (139. son

nous avons prouvé qu'elle est formé du produit d'un nombre infini de facteurs; et en considérant une certaine relation récurrente qui subsiste entre les coefficients des fonctions dérivées des divers ordres, on reconnaît qu'il est impossible qu’une valeur réelle de #4. substituée dans trois fonctions dérivées consécutives, réduise Ja fonction intermédiaire à zéro, et donne deux résultats de même signe pour la fonction précédente et pour la fonction suivante. On en conclut avec certitude que l'équation (1) ne peut point avoir de racines imaginaires.

La règle que nous avons donnée dans le premier livre pour reconnaître facilement si les deux racines que l’on doit chercher dans un intervalle donné sont réelles, ou si elles manquent dans cet intervalle, s'applique directement à toute équation algébrique ou transcendante ainsi formée d’un nombre fini ou infini de facteurs réels où imaginaires: 11 en est de même des théorèmes que nous avons donnés dans les premiers livres pour régler l'approximation linéaire, en déterminant deux limites l’une toujours plus grande et l'autre toujours moindre que la racine. La mesure de la convergence est du même ordre que si l'équation était algébrique. Ainsi le nombre des chiffres exacts que l’on détermine à chaque opération croît suivant la même loi, quelle que soit la nature de la fonction algébrique ou transcendante : le caractère de l'approximation linéaire n’est point propre aux seules fonctions algébriques; il est déterminé par le mode des substitutions successives, et convient à toutes les fonctions.

On vient d'énoncer dans cette analyse du cinquième livre les propositions qui servent à généraliser la méthode de résolution des équations déterminées. Si l'on bornait cette méthode aux fonctions algébriques , on ne s’en formerait qu'une idée très-incomplète. Ïl est évident qu'elle convient à tous les genres de fonctions. Les divers exemples auxquels nous avons appliqué ces principes rendent cette conclusion encore plus manifeste.

(15) L'objet du sixième livre est de démontrer les rapports des séries récurrentes avec la théorie des équations. Ces rapports sont beaucoup plus étendus qu'on ne l'a pensé jusqu'ici. Nous avons reconnu qu'ils comprennent toutes les racines, soit réelles, soit imaginaires , et que l’on peut en général déterminer par cette méthode tous les coefficients de tous les facteurs d’un degré quelconque. On pourrait trouver dans les ouvrages de Newton la première vue qui a conduit à cet usage des séries récurrentes, mais Daniel Bernoulh doit être considéré comme le principal inventeur.

Nous rappellerons d’abord la propriété qui sert de fondement à cette méthode. Dans les séries qui ont été nommées récurrentes chaque terme est dérivé de ceux qui le précèdent, au moyen d'une relation constante et très-simple. En général pour former un terme d'une série récurrente, on désigne un certain nombre de termes qui le précèdent immédiatement; on multiplie ces termes respectivement par des nombres constants, positifs ou négatifs; on ajoute les produits, et la somme est le terme cherché. La série est de l’ordre m lorsque, pour former un terme, on prend les #77 termes qui le précèdent immédiatement. On a appelé échelle de relation la suite des m nombres constants. Pour former une série de cet ordre, il suffit de connaître les m premiers termes de la série, et l'échelle de relation. Il est évident que l’on en peut déduire tous les termes qui suivent, et prolonger la série indéfiniment. Ces définitions étant posées , voici en quoi consiste la règle de Daniel Bernoulli.

Soit proposée une équation algébrique

an Late D barre D GS ME RE 0

dans laquelle les coefficients a, b,c.....g, k sont des nombres connus. On écrira un nombre » de valeurs numériques prises à volonté pour les » premiers termes d’une série récurrente; par exemple on peut supposer que ces premiers termes sont tous égaux à l'unité. On prendra pour l’échelle de relation les coefficients a, b,c...g,h de l'équation , et l’on prolongera indéfiniment la série, en calculant chaque nouveau terme au moyen des » termes qui le précèdent

immédiatement. On formera donc ainsi une série récurrente dont les premiers termes sont arbitraires, mais qui à dans tout le reste de la suite une relation nécessaire avec l'équation proposée.

Cela étant, si l’on divise chaque terme de la série récurrente par celui qui le précède, on forme une suite de quotients: or l’auteur de la règle démontre que cette suite de quotients converge de plus en plus vers une racine de l'équation. Chaque quotient est une valeur approchée de cette racine, et ces valeurs deviennent de plus en plus exactes. Elles ne diffèrent plus que par les derniers chiffres décimaux, et l’on parvient ainsi, par les seules opérations élémentaires du calcul, à connaître la racine aussi exactement qu'on peut le désirer. f

Euler a expliqué en détail la règle que l’on vient d’énoncer; c’est l'objet du chapitre dix-septième de l'Introduction à l'Analyse infiuitésimale. Celle des racines qui est ainsi déterminée par-la série récurrente est la plus grande de toutes, c’est-à-dire celle qui contient le plus d'unités, abstraction faite du signe.

Il faut concevoir que l'on a élevé au carré chacune des racines, et que les carrés sont rangés par ordre de grandeur : on marquerait ainsi l’ordre des racines depuis la plus grande jusqu’à la plus petite. Si l'équation a des racines imaginaires , on détermine encore l'ordre suivant lequel les racines doivent être rangées. Pour cela on conçoit que deux des racines imaginaires conjuguées ont été multipliées l’une par l’autre : le produit est toujours réel, et e’est ce produit qui, étant comparé au carré de chaque racine réelle, marque la place que doit occuper dans l’ordre des racines le couple des deux racines imaginaires conjuguées.

La série récurrente fait connaître la première racine, lorsqu'elle est réelle; elle fait aussi connaître la plus petite raeine lorsqu'elle est réelle. Quant aux racines imaginaires, si elles sont subordonnées à la plus grande racine, c’est-à-dire si le produit des deux conjuguées est moindre que le carré de la première racine , on détermine par le procédé qui vient d’être énoncé cette première racine; elle est encore la limite dont s'approche continuellement la suite con-

vergente des quotients continus. Mais si un couple de racines imaginaires occupe le premier rang, la série récurrente ne donne aucun résultat. En prenant le quotient de chaque terme par celui qui le précède, la suite de ces quotients continus n'est pas convergente : elle donne des valeurs vagues et inégales , qui ne s’approchent d’aucune limite déterminée.

Dans les notes jointes au Traité de la Résolution des équations numériques , Lagrange rappelle la règle découverte par Daniel Bernoulli, et les remarques d’Euler concernant l'exception des racines imaginaires. L'auteur de ce Traité ajoute que l’on pourrait déterminer par le même procédé une racine quelconque, comme l'inventeur l’a proposé, si l’on connaissait d'avance les limites qui séparent cette racine de toutes les autres, et 1l montre que la marche de l'opération est analogue à celle de la règle d'approximation de Newton. Mais comme cette application exigerait que l’on eût une méthode certaine pour déterminer les limites des racines, il considère avec raison cet usage des séries récurrentes comme très-imparfait, soit parce que la règle est en défaut dans le cas des racines imaginaires, soit parce qu'il est nécessaire de déterminer d'avance les limites de chaque racine.

(18) Les détails que je viens d’exposer font connaître d’une manière positive la nature de la question que l’on avait à traiter, et son état actuel. L’extrême simplicité de cette méthode, et l’utilité de ses applications qu’Euler a mise dans tout son jour , m'ont porté à rechercher avec soin si elle peut s'étendre à toutes les racines, soit réelles , soit imaginaires, et quels sont les rapports les plus généraux des séries récurrentes avec la théorie des équations. Voici les questions que cette analyse présentait, et que j'ai toutes résolues.

Premièrement : quelle est la mesure exacte de la convergence de l’'approximation ?

Secondement: peut-on employer un procédé analogue pour découvrir Ja seconde racine, la troisième, et en général toutes les racines réelles de la proposée, sans recourir à aucune autre méthode pour déterminer les limites de ces racines ?

Troisièmement : lorsque les racines cherchées sont imaginaires, ce même emploi des séries récurrentes peut-il encore avoir lieu, et comment en déduira-t-on les valeurs de plus en plus approchées de la partie réelle de chaque racine et de la partie imaginaire ?

Je vais rapporter maintenant la solution des trois questions précédentes : cet exposé suffira pour faire connaître clairement l'objet et les résultats du sixième livre.

Lorsqu'on applique la série de Daniel Bernoulli à une équation dont la première racine est réelle, la suite des quotients converge vers. la valeur de cette racine, et les erreurs finales des approximations diminuent comme les termes d’une progression géométrique dont la racine est une fraction. Cette fraction est le rapport de la seconde racine à la première, comme on le reconnaît au premier examen. Si la première racine et la seconde ont des signes différents, condition qu'il est toujours facile d'obtenir, les valeurs approchées sont alternativement trop grandes et trop petites. Ainsi les chiffres communs à deux valeurs consécutives appartiennent nécessairement à la racine cherchée. Cette propriété ne se rencontre point dans les approximations newtoniennes.

Les applications très-remarquables qu’Euler a faites de la méthode des séries récurrentes prouvent qu'elle est utile dans un grand nombre de cas; mais la marche du calcul ne nous paraît pas en général assez rapide. Ce n’est donc point sous ce rapport que nous considérons ici les propriétés des séries récurrentes. Le caractère principal que nous avons en vue, et qui distingue cette méthode de toutes les autres, est qu'elle n’exige aucune connaissance antérieure, et il résulte de nos recherches que le même procédé détermine les parties, soit réelles, soit imaginaires de toutes les racines. Cette conséquence paraît en quelque sorte indiquée dans l’ouvrage de Daniel Bernoulli, et surtout dans celui d'Euler , mais elle exigeait la solution complète de la seconde et de la troisième question. Voici en quoi consiste cette solution.

Concevons que l’on ait formé la série récurrente primitive qui

dérive immédiatement des coefficients de la proposée, et de pre-

miers termes pris à volonté. Désignons par s,t,u,v,æx, etc. les racines de l'équation rangées par ordre de grandeur. Soient À, B, C, D, E, etc: les termes de la série récurrente. Si la racine qui occupe le premier rang est réelle, on en approchera de plus en plus, et indéfiniment , en divisant chaque terme par celui qui le précède : c’est en cela que consiste la règle déja connue; mais on ne trouve ainsi que la première racine. Pour déterminer les racines suivantes on prendra quatre termes consécutifs A, B,C, D; on formera le produit A D des deux termes extrêmes, on en retranchera le produit BC des deux termes moyens; on écrira le reste AD —BC au-dessous de la première série, et l’on opérera de la même manière pour quatre autres termes consécutifs B,C,D,E; C,D,E,F; ainsi de suite. On aura donc un seconde suite 4,6,y,9,e,... dérivée de la première. Or nous démontrons 1° que la seconde série est récur-

rente; 2° que le TE M AT a T ©... etc. a pour limite la , q q ax” É? y’ P

somme s + é des deux premières racines de la proposée : et comme la première est connue par une opération précédente, on connaît aussi la valeur # de la seconde racine.

Si au lieu de choisir quatre termes consécutifs de la première série, on prend seulement trois termes consécutifs À, B, C; si du produit A C des extrêmes on retranche le carré B* du terme moyen, en écrivant tous les restes au-dessous de la série primitive : on formera une seconde série, et l’on démontre 1° que cette seconde série est récurrente; 2° que la suite des quotients continus que donne cette série est convergente , et a pour limite le produit st des deux premières racines de la proposée.

On déterminerait pareillement les trois premières raciness, £, u de l'équation. Pour cela on formerait la série primitive, et l’on en déduirait par les règles que nous avons énoncées trois autres séries récurrentes. La première ferait connaître, par la suite convergente de ses quotients, la somme s + t + u des trois premières racines; la seconde déterminerait la somme st+ su+ tu des produits deux à deux ; la troisième série déterminerait le produit s tu.

Il en est de même de toutes les racines de l'équation proposée :

on les déterminerait par ordre, en quelque nombre qu'elles fussent. En général, pour déterminer par ordre toutes les racines, on forme en premier lieu la suite des quotients continus dont la limite est la valeur de s. On déduit ensuite de la première série récurrente celles qui sont propres à faire connaitre la somme s+#, puis la somme s+{+w, puis la somme des quatre premières racines ; ainsi de suite.

Il nous reste à énoncer la solution de la troisième question concernant les racines imaginaires. On peut former d’après ce qui vient d'être dit :

1° la série récurrente d’où l’on déduit les valeurs approchées de la première racine s ;

2° une seconde suite de quotients qui donne la valeur du produit st;

3° une troisième suite qui donne la valeur du produit stu des trois premières racines ; ainsi de suite.

Cela posé, si la première racine est imaginaire , c’est-à-dire sie produit des deux imaginaires conjuguées surpasse le carré de chaque racine réelle, la première série ne donnera aucun résultat; la suite des quotients continus sera divergente et vague, comme Euler la remarqué. Or nous démontrons que, dans ce même cas, la seconde suite de quotients est convergente, et que la limite de ces quotients continus est le produit réel st des deux racines imaginaires.

Si la troisième racine z est réelle , la troisième suite de quotients est convergente.

Le contraire aurait lieu si la troisième racine était imaginaire; mais dans ce cas la quatrième suite de quotients, qui répond à stuv, est nécessairement convergente.

Les mêmes conséquences s'appliquent aux séries que l'on formerait d’après les règles précédentes pour déterminer les sommes s +t, s+t+u, etc. En général toutes les fois qu’on applique ces règles au calcul des quantités successives s,st,stu,etc.,ous+t,s+t+u, etc., il ne peut pas arriver deux fois de suite que la suite des quotients soit divergente. Deux suites consécutives peuvent donner

toutes les deux des résultats convergents, mais elles ne peuvent pas toutes les deux être divergentes : il y en à nécessairement une dés deux pour laquelle la suite des quotients a une limite fixe, qui est la valeur cherchée.

Il résulte de ces théorèmes que, pour connaître dans tous les cas les racines de la proposée, il suffit de former les séries qui se rapportent aux produits successifs des racines, et celles qui se rapportent aux sommes successives des racines. On aura ainsi les valeurs de plus en plus approchées de toutes les racines réelles, et, ce qui est remarquable, on connaîtra pour chaque racine imaginaire la partie réelle de cette racine et le coefficient de l'imaginaire. Voilà l'usage le plus étendu que l’on puisse faire de la méthode de séries récurrentes. Ces séries ont donc en effet des propriétés très-générales, relatives à la théorie des équations, et c’est l'étude de ces rapports qui est le véritable objet de notre sixième livre.

(19) On sait depuis long-temps qu'une fonction algébrique invariable de toutes les racines d’une équation, c'est-à-dire une ex pression dans laquelle elles entrent toutes de la même manière, est donnée par une équation du premier degré au moyen des coefficients de l'équation. Cette proposition remarquable a sa première origine dans lés théorèmes de François Viete, l’un des premiers fondateurs de l’analyse des équations. Albert Girard a déduit des théorèmes de Viete l'expression de la somme des puissances entières des racines. On trouve ensuite ces formules dans les ouvrages de Newton. Les nouveaux théorèmes que l’on vient d'énoncer font connaître que les fonctions qui ne contiennent qu'un certain nombre de racines ont des propriétés d’un ordre différent, mais qui ne sont pas moins générales. Ainsi, dans une équation d’un degré plus élevé que le troisième, la somme de trois racines n'est point donnée par une équation du premier degré, mais par une limite dont on approche de plus en plus. Cette limite est le quotient continu de deux termes consécutifs d’une série qu’il est très-facile de former. Il n'y a aucun facteur provenant d'un nombre quelconque des facteurs simples de l'équation proposée rangés par ordre, dont on ne puisse

déterminer ainsi tous les coeflicients. L'examen de ces propriétés générales nous fait mieux connaître la nature des nombres irrationneis exprimés par les racines des équations algébriques. Ces racines sont les limites de certaines suites, qui dérivent selon une loi trèssimple des coefficients de la proposée. Ce procédé, fondé sur l'usage des séries récurrentes, est principalement remarquable parce qu'il tient lieu de toute autre méthode pour la distinction des. racines et de leurs limites , et parce qu'il s'applique à la recherche des coetficients des racines imaginaires. Au reste nous ne pensons point que l'on parvienne assez promptement par cette voie à la connaissance des racines. Les exemples cités par Euler sont ingénieusement choisis, mais ce mode d'approximation exige en général trop de calcul. Nous ne considérons donc cette question que sous les rapports théoriques. Les propriétés que nous venons d’énoncer sont incomparablement plus générales que celles qui ont été connues des inventeurs, et des auteurs qui ont traité depuis la même question : elles intéressent surtout la théorie. Nous avons eu pour but dans cette recherche de compléter un des principaux éléments de l'analyse algébrique.

(20) Dans le septième et dernier livre, on expose les principes de l'analyse des inégalités. Cette partie de notre ouvrage concerne un nouveau genre de questions qui offrent des applications variées à la géométrie, à l'analyse algébrique, à la mécanique et à la théorie des probabilités. Nous allons indiquer le caractère principal de ces recherches, et nous citerons quelques exemples propres à en faire connaître l'objet.

Une question est en général déterminée lorsque le nombre des équations qui expriment toutes les conditions proposées est égal au nombre des inconnues. Dans la théorie dont il s’agit les conditions ne sont pas exprimées par des équations; c'est-à-dire qu'au lieu d'égaler à une constante ou à zéro une certaine fonction des inconnues, on indique au moyen des signes > ou < que cette fonction est plus grande ou moindre que la constante. C’est ce qui constitue une inégalité.

On suppose, par exemple, que quatre indéterminées doivent être assujéties a un certain nombre d’inégalités du premier degré, et qu'il faut trouver toutes les valeurs possibles de ces inconnues. Le nombre des inégalités pourrait être moindre que celui des inconnues, ou lui être égal, et même il peut être beaucoup plus grand : il est; en général, indéfini. I s’agit de trouver les valeurs des quatre inconnues, qui étant substituées simultanément, satisfont à toutes les conditions proposées, soit que ces conditions consistent seulement dans certaines inégalités, soit quelles comprennent aussi des équations. Une question de cette espèce admet une infinité de solutions ; elle est indéterminée: il faut donner une règle générale qui serve à trouver facilement toutes les solutions possibles. Il est évident que des problèmes de ce genre doivent se présenter fréquemment dans les applications des théories mathématiques.

Dans plusieurs cas on peut arriver à la solution par des remarques particulières propres à la question que l’on veut résoudre : mais si-le nombre des conditions est assez grand, et si elles se rapportent à trois ou à plus de trois variables, la suite des raisonnements devient si composée qu'il serait presque toujours impossible à l'esprit le plus exercé de la saisir tout entière. Il faudrait d’ailleurs recourir à des considérations différentes, selon la nature de la question, comme cela arrive à l'égard de plusieurs problèmes simples que l’on résoud sans le secours de l'analyse. Il était donc nécessaire de ramener à un procédé général et uniforme le calcul des conditions d'inégalité. On supplée ainsi, par une combinaison: régulière et constante des signes, aux raisonnements les plus difficiles et les plus étendus, ce qui est le propre des méthodes algébriques. Nous citerons en premier lieu un exemple très-simple de ce genre de questions.

On suppose qu'un plan triangulaire horizontal est porté par trois appuis verticaux placés aux sommets des angles. La force de chaque appui est donnée et exprimée par 1, c’est-à-dire que si l’on plaçait sur cet appui un poids moindre que l'unité, ce poids serait supporté, mais que l'appui serait aussitôt rompu, si le poids surpassait l'unité.

On propose de placer un poids donné, par exemple 2 , sur la table triangulaire, en sorte qüu'aucun des trois appuis ne soit rompu. La question serait déterminée si le poids donné était 3; elle n’a point de solution possible si ce poids surpasse 3; elle est indéterminée s’il est moindre que 3. Désignant par deux inconnues les coordonnées du point où l’on doit placer le poids proposé, par trois autres inconnues les pressions exercées sur les appuis; et supposant, pour simplifier le calcul, que le triangle est isocèle rectangle, on voit que la question renferme cinq quantités inconnues . et une qui est connue, savoir le poids proposé. Or les principes de la statique donnent immédiatement trois équations, et l’on y joindra pour chaque sommet deux inégalités, qui expriment que la pression est positive et moindre que 1 , ou plutôt ne peut pas surpasser 1. Il est évident que toutes les conditions de la question seront alors exprimées : il ne s’agit plus que d'appliquer les règles générales du caleul des inégalités linéaires ; on en déduira toutes les valeurs possibles des coordonnées inconnues, et l'on déterminera ainsi tous les points du triangle où le poids donné peut être placé.

Si l'on forme cette solution, on trouve que les points dont il s’agit se réunissent dans l'intérieur de la table, et composent un hexagone lorsque le poids donné est compris entre 1 et 2. Cette figure devient le triangle lui-même si le poids est moindre que l'unité ; elle est un triangle plus petit si le poids est compris entre 2 et 3; elle se réduit à un seul point si le poids est égal à 3; enfin lorsqu'il surpasse 3 la figure n'existe plus, parce que les lignes qui doivent la former cessent de se rencontrer.

Voici la construction qui sert à tracer ces lignes. Désignant par 1 le côté du triangle isocèle-rectangle, on divise l'unité par le poids donné qu'il s’agit de placer , et l’on porte la longueur mesurée par le quotient 1° sur chaque côté de l’angle droit, à partir du sommet de cet angle, ce qui donne deux points 1 et 2; 2° sur un des côtés de l'angle droit, à partir du sommet de l’angle aigu, ce qui donne un troisième point 3; 3° sur l’autre côté de l’angle droit, à partir du sommet de l’angle aigu, ce qui donne un quatrième point 4.

ik IT

re On élève par le point 1 une ligne perpendiculaire sur le côté où se trouve ce point, et par le point 2 une seconde ligne perpendiculaire sur l’autre côté; enfin on mène une troisième ligne droite par les points 3 et 4. Ces trois lignes ainsi tracées terminent sur la surface du triangle l’espace où le poids donné peut être placé sans qu'aucun des appuis soit rompu.

I! serait facile de résoudre sans calcul une question aussi simple; mais si le nombre des appuis est plus grand que trois, si leur force est inégale, si la table horizontale porte déja en certains points des masses données, ou si l’on doit y placer non un seul poids, mais plusieurs, on ne peut se dispenser de recourir au calcul des inégalités. L'avantage de ce calcul consiste en ce qu'il suffit dans tous les cas d'exprimer les conditions de la question, ce qui est facile, et de combiner ensuite ces expressions au moyen de règles générales qui sont toujours les mêmes. On forme ainsi la solution, à laquelle on n'aurait pu parvenir que par une suite de raisonnements très-compliqués.

Les questions de ce genre sont toutes indéterminées, parce qu’elles admettent une infinité de solutions; mais elles diffèrent entre elles quant à l'étendue. Dans les unes, les conditions exigées restreignent beaucoup cette étendue; pour d’autres, l’'énumération de toutes les solutions possibles est moins limitée. Il est nécessaire ; dans certaines recherches, de considérer les questions sous ce rapport.

Un examen attentif prouve que l'étendue propre à chaque question est une quantité que l'on peut toujours évaluer en nombres : c’est en cela que la théorie dont on expose les principes se lie à celle des probabilités, et il y a en effet divers problèmes dépendants de cette dernière science qui se résolvent par le calcul des inégalités. Or on ne peut mesurer l'étendue ou capacité d’une question sans comprendre dans l’énumération toutes les solutions possibles, en sorte qu'on doit ici faire usage du calcul intégral: et en effet le nombre qui mesure l'étendue d’une question quelconque est toujours exprimé par une intégrale définie multiple , dont les limites sont données. Il est toujours possible et très-facile d'effectuer ces

- intégrations successives, quel qu'en soit le nombre; et si l’on écrit les limites des intégrales en se servant de la notation que j'ai proposée dans la Théorie analytique de la chaleur, la quantité que l'on veut déterminer est exprimée sous la forme la plus générale et la plus simple.

Il est évident que les conditions proposées pourraient être telles que la question n’admiît aucune solution possible. Dans ce cas le calcul développe l'opposition réciproque des conditions, et montre l'impossibilité d'y satisfaire. Ainsi la méthode à pour objet de reconnaître si la question peut être résolue; de trouver dans ce cas toutes les solutions qu’elle admet; enfin de mesurer par un nombre l'étendue propre à la question.

Il arrive souvent aussi, dans ce genre de recherches, que l’objet principal est de trouver les limites des solutions : alors la question n'est pas indéterminée; et il en est de même de celle qui consiste à en mesurer l'étendue: mais ces questions dépendent de la même analyse.

Nous avons rapporté un premier exemple d’une question de statique que lon résoud par le calcul des inégalités. Voici une seconde question du même genre, mais qui diffère de la première en ce que la quantité inconnue est une limite, et par conséquent a une seule valeur.

On suppose qu'une surface plane et horizontale, de figure carrée, est portée sur quatre appuis verticaux, placés aux sommets des angles; chacun des appuis peut supporter un poids moindre que l'unité, mais il romprait aussitôt s’il était chargé d’un poids plus grand que cette unité. On marque un point quelconque sur la table horizontale, et l’on demande quel est le plus grand poids que l’on puisse placer en ce point donné sans qu'aucun des appuis soit rompu. Ce plus grand poids, ou la force de la table en ce lieu à dépend évidemment de la position du point. Concevons qu'on y élève une ordonnée verticale pour représenter le plus grand poids qui répond à ce lieu, et qui détermine ce plus grand poids pour chaque point de la table horizontale; il s'agit de tracer la sur-

if.

face courbe qui passe par toutes les extremités supérieures des : ordonnées,

Cette recherche appartient à la théorie analytique de l’élasticité : il faudrait considérer les appuis comme compressibles, et exprimer aussi par le calcul les changements que subit le plan élastique dans toutes ses parties. Cette question, quelque composée qu’elle paraisse, peut être résolue aujourd’hui; car les méthodes qui servent à intégrer les équations différentielles propres à la Théorie de la chaleur ont donné à l'analyse une étendue nouvelle, qui permet de soumettre au calcul les effets de l’élasticité. Mais nous considérons ici la question sous un autre point de vue. On suppose que la table élastique ayant reçu la figure qui convient à l'équilibre, devient parfaitement rigide, ce qui ne peut point détruire l'équilibre subsistant. Il faut donc que les conditions nécessaires à l'équilibre soient satisfaites, soit que la table soit flexible, comme tous les corps le sont en effet, soit qu'on la suppose rigide. Ce sont ces dernières conditions que l’on veut exprimer par l'analyse des inégalités, et l’on n’a ici aucune hypothèse physique à former.

On se propose de découvrir la nature et les dimensions de la surface dont les coordonnées expriment le plus grand poids que la table puisse supporter en chaque lieu donné. Or la solution déduite de notre calcul prouve que la surface dont il s’agit n'est point assujettie à une loi continue : elle est formée de plusieurs surfaces hyperboliques, différemment situées. La question est résolue par la construction suivante. On divise le carré en huit parties égales, au moyen des deux diagonales et de deux droites transversales, dont chacune joint le milieu d'un côté au milieu du côté opposé. Chacune de ces huit parties est un triangle rectangle que l’on divise en deux segments, dont l’un a trois fois plus de surface que l’autre. Cette division s'opère en menant une ligne droite de l'angle droit du triangle à l'un des angles du carré. On considère comme base de chacun de ces segments celui de ses trois côtés qui est parallèle à un côté du carré. Pour trouver le plus grand poids qui puisse être placé en un point donné du plus grand segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du

segment, jusqu'à la rencontre de celle des deux diagonales dont le point est le plus éloigné, et mesurer sur cette parallèle la longueur interceptée entre le point de rencontre et le point donné. L'unité, divisée par cette longueur interceptée, est la valeur cherchée du plus grand poids.

Si ce point donné est situé dans le petit segment, 1l faut, par ce point, mener une parallèle à la base du segment, jusqu'à la rencontre de celui des côtés du carré dont le point Hénne est le plus distant, et mesurer la partie de cette parallèle qui est interceptée entre le point de rencontre et le point donné. L'unité, divisée par la moitié de la longueur interceptée, exprime la valeur cherchée du plus grand poids. En appliquant l’une ou l’autre règle à chacun des seize compartiments du carré, on connaîtra le plus grand poids qui puisse être placé en chaque point de la table rectangulaire. |

On voit que la valeur de l’ordonnée verticale qui mesure le plus grand poids n’est pas assujettie à une loi continue. Cette loi change tout-à-coup lorsqu'on passe du grand segment au petit segment. [1 serait facile de trouver cette solution sans calcui, et nous l'avions remarquée depuis long-temps. Mais si la figure du plan est différente; si le nombre des appuis est plus grand que quatre; si la table supporte déja en certains points des masses données; 1l est nécessaire de recourir'aux règles qui servent à la combinaison des inégalités.

(21) Parmi les applications que nous avons rapportées dans ce septième livre, les unes ont, comme les deux précédentes, pour principal objet de faire connaître la nature de ce nouveau genre de problèmes, et la forme générale du calcul. D'autres concernent des questions plus générales, dont la solution est nécessaire au progrès des théories analytiques. l’une se rapporte à l'usage des équations de condition, si important pour la formation des tables. astronomiques. Il s'agit de trouver les valeurs des inconnues teiles que la plus grande erreur, abstraction faite du signe, soit la moindre possible; ou telles que l'erreur moyenne, c'est-à-dire

la somme des erreurs, abstraction faite du signe, divisée par leur nombre, soit la moindre possible.

Une seconde application est celle que nous avons donnée dans le quatrième livre; elle a pour objet de former les termes successifs de la valeur de chacune des inconnues qui doivent satisfaire à des équations littérales données. Nous avons fait voir que la résolution de ces équations dépend de l'analyse des inégalités linéaires. ”

Quel que soit le nombre des inconnues, il suffit d'exprimer les conditions propres à la question , et d'appliquer aux inégalités écrites les règles générales de ce calcul. On supplée ainsi par un procédé algorithmique à des raisonnements très-composés qu'il faudrait changer selon la nature de la question, et qu’il serait pour ainsi dire impossible de former , si le nombre des inconnues surpassait trois. Toutefois on ne peut pas toujours éviter que le nombre des opérations ne devienne très-grand, mais on réduit beaucoup ce nombre, en considérant les propriétés des fonctions extrêmes. Nous appelons ainsi celles qui deviennent ou plus grandes ou plus petites que toutes les autres.

Nous indiquerons maintenant le principe de la solution d’une des questions les plus remarquables, celle qui se rapporte aux erreurs des observations.

On considère des fonctions linéaires de plusieurs inconnues x, Y, 3, etc. Les coefficients numériques qui entrent dans les fonctions sont des quantités données. Si le nombre des fonctions n’était pas plus grand que celui des inconnues , on pourrait trouver pour TZ, Y, 2, etc. un système de valeurs numériques tel que la substitu-

tion simultanée de ces valeurs dans les fonctions donnerait pour chacune un résultat nul. Mais on ne peut pas en général satisfaire à cette condition lorsque le nombre des fonctions surpasse celui des inconnues. Supposons maintenant que l’on attribue à x, Y; Z, ec. des valeurs numériques X, Y, Z, etc. , et qu'en les substituant dans une fonction, on calcule la valeur positive ou négative du résultat de la substitution. On considère comme une erreur, ou écart, le résultat positif ou négatif qui diffère de zéro ; et, faisant abstrac-

tion du signe, on prend pour mesure de l'erreur le nombre d'unités positives ou négatives que le résultat exprime.

Cela posé, il faut donner à x, y, z, etc. des valeurs X, Y, Z, etc. telles que le plus grand écart, provenant de la substitution dans les diverses fonctions proposées, soit moindre que le plus grand écart que l’on trouverait en substituant dans les fonctions tout autre système de valeurs différent de celui-ci, X, Y, Z, ete. On pourrait aussi chercher un système X, Y,2, etc. de valeurs simultanées de x,Y,2, etc. tel que la somme des erreurs, abstraction faite du signe, soit moindre que la somme des erreurs provenant de la substitution de tout système différent de X, Y,Z, etc.

La construction suivante représente clairement la méthode qui doit être suivie pour trouver sans calcul inutile les quantités X, Ÿ,2, etc. qui donnent au plus grand écart sa moindre valeur. Cette construction, que nous avons donnée depuis long-temps, est le point capital de la question : elle en résoud seule toutes les difficultés. Non-seulement elle rend la solution sensible et la fixe dans la mémoire, mais elle sert à la découvrir; et quoique propre au cas de deux variables x et y, elle suffit pour faire bien connaître le procédé général. On suppose d’ailleurs que le nombre des fonctions proposées est quelconque. |

æ et y sont dans le plan horizontal les coordonnées d’un point. L'ordonnée verticale z mesure la valeur de la fonction linéaire. A chaque fonction correspond un plan. La distance z d’ur point du plan au plan horizontal est exprimée en x et y. Dans chaque fonction linéaire on changera les signes de x et y, ce qui double le nombre des fonctions proposées, et par conséquent le nombre des plans que l’on considère. Cela posé, on se représente que tous les plans sont tracés, et l’on ne porte son attention que sur les parties des plans qui sont placées au-dessus du plan horizontal. Ces parties supérieures des plans donnés sont indéfiniment prolongées. Il faut principalement remarquer que le système de tous ces plans forme un vase qui leur sert de limite ou d’enveloppe. La figure de ce vase extrême est celle d’un polyèdre dont la convexité est tournée

vers le plan horizontal. Le point inférieur du vase ou polyèdre a pour ordonnées les valeurs X, Y, Z, qui sont l’objet de la question; c'est-à-dire que Z est la moindre valeur possible du plus grand écart, et que X et Ÿ sont les valeurs de x et y propres à donner ce minimum , abstraction faite du signe.

Pour atteindre promptement le point inférieur du vase on élève en un point quelconque du plan horizontal, par exemple à l'origine des x et y, une ordonnée verticale jusqu’à la rencontre du plan le plus élevé, c'est-à-dire que parmi tous les points d'intersection que l’on trouve sur cette verticale on choisit le plus distant du plan des x et y. Soit m, ce point d’intersection : on connaît le plan sur lequel il est placé. On descend sur ce même plan, et dans un plan vertical, depuis le point 1, jusqu’à un point », d’une arète du polyèdre; et en suivant cette arête on descend de nouveau depuis le point m», jusqu'à un sommet "», commun à trois plans : extrêmes. À partir du point m, on continue de descendre suivant une seconde arête jusqu'à un autre sommet /",; et l’on continue l'application du même procédé, en suivant toujours celle des deux arêtes qui conduit à un sommet moins élevé. On arrive ainsi au point le plus bas du polyèdre. Or cette construction représente exactement la série des opérations numériques que la règle analytique prescrit. Elle rend très-sensible la marche de la méthode, qui consiste à passer successivement d’une fonction extrême à une autre, en diminuant de plus en plus la valeur du plus grand écart.

Le calcul des inégalités fait connaître que le même procédé convient à un nombre quelconque d’inconnues, parce que les fonctions extrêmes ont dans tous les cas des propriétés analogues à celles des faces du polyèdre qui sert de limites aux plans inclinés. En général les propriétés des faces, des arêtes, des sommets et des limites de tous les ordres , subsistent dans l'analyse générale, quel que soit le nombre des inconnues. |

(22) Les analyses que l'on vient de rapporter présentent l’ensemble de nos recherches. Cette exposition était nécessaire pour que lon püt se former une idée générale de la théorie des équa-

tions, et porter un jugement exact des méthodes qui étaient déja connues. On voit que la notion la plus claire, et qui eût été la plus propre à diriger toutes les recherches, est aussi la plus simple : c’est celle que Viete avait proposée dès l'origine de l’analyse moderne. 11 pensait que la résolution des équations algébriques doit dépendre d'une méthode universelle, qu'il appelait exégétique, et qui consiste à considérer simultanément tous les coefficients de la proposée pour en déduire par des opérations successives toutes les parties de chaque racine. Viete n'a point formé la méthode universelle dont il proposait la recherche; il l’a seulement entrevue, et il en a indiqué le caractère par divers exemples : on ne pouvait point la découvrir sans connaître quelques éléments de l'analyse différentielle. La justesse de cette vue générale n’a point échappé à Newton ; il l’a même confirmée en donnant une première partie de la méthode exégétique , celle qui fait connaître les premiers termes des séries. Mais il n'a point découvert le moyen ‘de reconnaître les racines imaginaires des équations numériques, et de trouver deux limites pour chaque racine réelle. On peut résoudre aujourd'hui toutes les difficultés que ces recherches présentaient, et suppléer aux imperfections des premières tentatives : c’est le but que l'on s'est proposé dans cet ouvrage. Il contient l'exposition d’une méthode qui sert à déterminer facilement les racines de toutes les équations.

On peut maintenant se former une idée complète de l'objet et des résultats de nos recherches. Les points principaux sont premièrement la démonstration du théorème général qui fait connaître combien on doit chercher de racines dans un intervalle donné, et de la proposition relative au nombre des racines imaginaires. La règle de Descartes est un corollaire de ces théorèmes, et je pense qu'on ne peut pas les considérer sous un point de vue plus simple et plus étendu.

29 La règle qui sert à reconnaître avec certitude si les deux raeines cherchées sont réelles ou si elles manquent dans l'intervalle.

3° La résolution de toutes les questions que présente l’approxi-

mation newtonienne. Ce procédé, l’un des plus simples et des plus féconds de toute l'analyse, serait incomplet et vague si ces questions n’eussent été résolues. |

4° L’examen de la méthode qui suppose que l’on calcule d’abord la moindre valeur de la différence de deux racines. Il résulte de la discussion que ce calcul est inutile. Il faut appliquer immédiatement les procédés des fractions continues, et la nature des racines devient manifeste.

5° L’exposé des principes qui servent à résoudre les équations littérales, et l'extension de cette méthode au cas de plusieurs inconnues.

6° L'extension singulière de la méthode des séries récurrentes. Nous avons prouvé que cette méthode suffit pour faire connaître toutes les racines, les facteurs de tous les degrés, et les coefficients des expressions imaginaires. Cette règle était bornée aux deux racines extrêmes et aux racines réelles; nous avons montré qu'elle donne toutes les racines réelles ou imaginaires.

On voit par cette énumération que nous n'avons omis aucune des recherches qui peuvent éclairer la théorie des équations; on a recherché dans chaque question les principes les plus généraux, et qui pouvaient conduire par la voie la plus briève à la connaissance effective des racines. On doit regarder aujourd’hui cette question célèbre comme complètement résolue. Nous pensons que la science du calcul conservera toujours eet élément principal.

RS A OR AS ARR RS LR A AR RE ART AR A AA BE ARS AR EE RS ÈS RS AR ARR ER LR LES LES LE RER BR EEE Re

MÉTHODE

POUR DÉTERMINER DEUX LIMITES DE CHAQUE RACINE RÉELLE ET POUR DISTINGUER LES RACINES IMAGINAIRES.

(1) Her proposée est ER OL PE ALE LOGE" ONNE a NT dE 0:

Nous désignons par X, ou f(x), le premier membre de cette équation. e) Ï ? UE L'exposant 2 est entier; les coefficients &,, &,,4@;....4,,,a, sont des nombres donnés. Il s’agit de connaître combien il y à de nom-

ep 4 . = gr. 3 \ .

bres réels 4,6,7y, ete. qui, substitués dans X à la place de x réduisent cette fonction f(x) à zéro, et d’assigner pour chacune de ces racines réelles 4, 6,7, etc. deux limites entre lesquelles elle est seule comprise. Pour résoudre ces questions, nous considérons les fonctions X,X”, X”, X”,....X(", dont chacune se déduit de la précédente en différentiant par rapport à x et divisant par dx. Le nombre de ces fonctions est » + 1, et la fonction X(” ne contient pas + ; elle est une quantité constante positive. Nous écrivons

cette suite de fonctions dans cet ordre,

m MT m—2 TI! ‘4 ÿ DR ER A

Concevons maintenant que l’on donne à x une valeur déterminée

a, positive ou négative, et que l'ayant substituée au heu de x dans la suite des fonctions, on écrive le signe de chaque résultat: on formera ainsi une suite de signes, dont le premier, qui répond à X(°, est toujours +. Nous supposons que le nombre substitué a augmente par degrés infiniment petits depuis une valeur négative qui contient un nombre infini d'unités, et que l’on désigne par — +, jusqu'à une valeur positive + qui croît aussi sans limite; et nous examinons les changements que subit la suite des résultats, à mesure que le nombre substitué & augmente. Cette suite de signes a des propriétés très-remarquables , dont l'examen attentif conduit à la détermination des limites des racines.

Lorsque le nombre substitué & est — +, chaque fonction est réduite à son premier terme : le signe du résultat de la substitution de — < est évidemment + pour la première fonction, — pour la seconde, + pour là troisième, ainsi de suite alternativement. Lorsque le nombre substitué est devenu égal à + +, la suite des signes ne comprend que des signes +. Ainsi dans le premier cas, a étant — +, chaque signe de la suite est suivi d’un signe différent ; cette suite ne comprend que des changements de signe, dont le nombre est 7» : et dans le second cas, & étant +, chaque signe est suivi d’un signe semblable; la suite ne comprend que des permanences de signes. Nous allons prouver que le nombre "» des changements de signe qui existaient dans la première suite diminue continuellement à mesure que le nombre substitué &« augmente, et que cette suite perd un changement de signes toutes les foissque le nombre a devient égal à une racine réelle. |

(2) Il est d'abord évident que la suite des signes demeure telle qu'elle était auparavant tant que le nombre substitué & ne rend pas nulle une ou plusieurs des fonctions X®?, X®—9,,...X7, X’, X: car la valeur d’une fonction telle que X , ou X’, ou X”, etc. ne peut point changer de signe, si elle ne devient auparavant égale à zéro. Il faut donc examiner ce qui survient dans la suite des signes, lorsque le nombre substitué atteint une valeur qui rend nulle une des fonctions X( ! X(-1, X(-2),,,, X7, X’, X. Supposons en pre-

SÉPARATION DES RACINES. 89 mier lieu que la seule fonction qui devient nulle soit la dernière X, ou f(x). On a donc f(a)—=0. Quant à la fonction f'(a), elle à une valeur ou positive ou négative.

Nous considérons trois états successifs et infinfment voisins du nombre substitué a, savoir

t2=a-—da, La, X—= à + da ;

et nous comparons les résultats des substitutions, savoir

f(a— da), (a), f(a+ da).

Puisque le terme f(a) s’évanouit, ces résultats sont

— daf”(a),

+ daf”(a).

Si l’on écrit sur trois lignes horizontales correspondantes les signes des trois suites que l’on forme en substituant a— da, a, a+ da, ces suites différeront seulement par les signes qui les terminent. En effet nous supposons que la valeur a de x rend nulle la seule fonction f(x); et l’on peut toujours faire varier « d’une quantité si petite da, ou —da, en sorte que la substitution de &-— da, ou de a + da, ne fasse évanouir aucune des autres fonctions. Donc ces autres fonctions conservent le signe qu’elles avaient lorsque la valeur de x était &. Si le signe de f”(a) est +, les trois suites comparées seront terminées ainsi :

c'est-à-dire que la fluxion f'(a) étant positive, f(x) augmente de valeur et est successivement négative, nulle et positive. On voit, à l'inspection de la table (1), que le changement de signes + — est devenu une permanence de signes + +. |

Si le signe de f’(a) est négatif, les trois suites sont ainsi terminées ,

+ 0 (2) ES Ye Pb GT ALT

c'est-à-dire que la fluxion f”(a) étant négative, la valeur de f(x) est décroissante, en sorte qu'elle est successivement positive, nulle

et négative. La table (2) fait connaître que le changement de signes

— + est remplacé par une permanence ——. Donc soit que le signe de /”’(a) soit positif ou négatif, il arrive dans l'un et l’autre cas qu’un changement de signes est remplacé par une permanence. Donc la suite des signes des résultats que l’on trouve en substituant pour æ une valeur a continuellement croissante, perd un changement de signes toutes les fois que la valeur substituée atteint et dépasse infiniment peu une des racines réelles de l'équation proposée.

Nous supposerons maintenant que le nombre substitué a atteint une valeur qui rend nulle une seule des fonctions intermédiaires de la suite X®, X®9,X®2,,,,X", X°, X, et ne rend point nulle la dernière fonction X. Soit X°, ou f(x), la fonction qui s’évanouit, en sorte que l’on a f(a)— 0. Nous désignons par » l'indice de différentiation, et par 2 + 1 où 2 — 1 cet indice dans la fonction qui précède ou qui suit. On comparera, comme on l'a fait plus haut, les résultats des trois substitutions de a— da, a, a+ da dans la suite des fonctions ; et l'on remarquera d'abord que da étant une quantité infiniment petite, les suites de signes ne diffèrent que par les signes des résultats qui proviennent des substitutions dans

f(x). Les trois résultats sont

SÉPARATION DES ‘RACINES. 91 fU(a— da) LITE) fa + da), — da f"+Y(a) (o) daf "#9(a):

or le signe de f"#*°(a) peut être + ou — , et il en est de même du signe def" a, ce qui forme quatre combinaisons différentes. Dans la première le résultat f (+ (a) est positif ainsi que f (a): il faut donc comparer ces trois parties des suites de signe, savoir

ou

mnt #40 + (3) PER F1

Dans un second cas le signe de f "+ (a) est — , et celui def" (a) est + : les parties correspondantes qu'il faut comparer sont donc

COPTRENQ Fer La table (3) fait connaître que la suite supérieure a perdu deux de ses changements de signes, savoir + — et — + , qui sont remplacés par + + et +- +. 11 n’en est pas de même de la table (4): elle montre que la suite n’a perdu aucun changement de signes : car un de ses changements — + est remplacé par une permanence — —. Mais en même temps la permanence + + est PEAR par le changement — +.

Nous avons supposé que la fonction f"-"(x) a le signe +. Si au contraire elle devient négative lorsqu'on substitue & au lieu de æ, on aura les deux tables suivantes,

et — + — —0o— (®

—— ms \ \

L'une (5) montre que dans ce cas la suite supérieure n'a perdu aucun changement de signes; l’autre (6) répond à un cas différent, où la suite des signes a perdu deux changements, savoir — + et + —, remplacés par —— et ——.

Il suit de cet examen que si le nombre substitué a atteint une valeur qui rend nulle une seule des fonctions intermédiaires, et ne fait point évanouirila fonction proposée X., la suite des signes perd à la fois deux changements, ou n’en perd aucun. Il n'arrive jamais qu’elle en perde un seul, ou qu’elle en acquière.

Lorsque le nombre substitué atteint et dépasse une racine réelle de la proposée, nous avons vu que la suite perd nécessairement un changement de signe; et l’on vient de démontrer que si la fonction rendue nulle par la substitution n’est point la dernière X , mais une des fonctions intermédiaires, la suite des signes perd deux changements à la fois, ou qu’elle n’en perd aucun. Donc le nombre substitué a croissant par degrés infiniment petits depuis — © jusqu'a + +, la suite des signes perd au moins autant de changements qu'il existe de racines réelles. Le nombre de changements de signe de la suite ne peut jamais augmenter; il diminue nécessairement d'une seule unité, lorsque la seule fonction qui s'évanouit est la dernière X , et il peut ou diminuer de deux unités, ou deméurer le même qu'auparavant , lorsque la fonction qui s'évanouit seule est une des fonctions intermédiaires.

(3) Nous avons supposé jusqu'ici que la substitution de « fait evanouir une seule des fonctions qui forment la suite, et c'est ce qui arrive en général. Le contraire ne peut arriver qu'accidentellement, lorsqu'il existe de certaines relations entre les coefficients de Ja proposée. Un changement infiniment petit dans la valeur des coefficients détruirait cette relation, et une même valeur de x ne

SÉPARATION DES RACINES. 93 ferait plus évanouir en même temps deux ou plusieurs des fonctions. C’est pour cette raison que l’on peut toujours, dans les recherches de ce genre, faire abstraction de ces cas singuliers. Mais il est préférable ici de les considérer séparément, parce qu'il s'agit de donner la démonstration rigoureuse d’une proposition fondamentale.

Supposons donc qu'une même valeur a, substituée au lieu de x dans la suite des fonctions rende, nulles plusieurs fonctions conséeutives, et comparons, comme nous l'avons fait jusqu'ict, les trois résultats des substitutions de «a— da, a, a + da. Nous désignons par f(x) la fonction qui s'évanouit lorsqu'on ÿ substitue a au lieu de æ, et nous supposons que plusieurs fonctions suivantes f(x),

f(x), ete. sont aussi rendues nulles par la même substitution. Soit à le nombre des fonctions consécutives (a), f")(a), f"7 (a), FU) (a), ete. qui s'évanouissent. Quant à la fonction précédente f“#1 (a), elle ne donne point un résultat nul : elle prend le signe + ou le signe — ; et il en est de même de la fonction f"-°(x) qui suit la dernière fonction évanouissante. Il s’agit de comparer la suite intermédiaire qui est donnée par la substitution de a, à la suite inférieure que l’on forme en substituant « + da, et à la suite supérieure qui répond à a— da. On ne considère d’abord que les parties de ces suites qui se rapportent aux fonctions évanouissantes et à la fonction qui les précède. On aura f(a + da) =f" (a) + daf#+(a), ou seulement f(a + da)=daf"#" a, parce f (a) est nulle par hypothèse ;

SI U(a+da)=f"")(a)+ daf"(a)+ LE Fo)(a)— His (a),

puisque fa et ff" (a) deviennent nulles. En général on aura cette suite d'expressions,

F(a+ da) =daf"+) (a) FE (a LL da) = por (a)

(n—2) da (n+1) Ja + da)— EST CS

da ie a Fe

ins CRU

Etc.

et par conséquent

S(a—da)= — daf"+(a) JS (a— d'a) = are

fe (a)

TI 7) \ Te da; en a—da)=— f"+"(a)

SV (a — da) — +) (a)

CEC:

Il suit de là qu’en désignant par FE# (a); 070: 050707 610 la partie de la suite intermédiaire que donnent les fonctions

LD, 0 (0), SUR), F0), PIE), Se), etc.

lorsqu'on suppose x—4a, on trouvera dans la règle que nous allons énoncer les signes de la partie correspondante de la suite inférieure que donne la substitution de «a +- da, et les signes de la partie correspondante de la suite supérieure donnée par la substitution de a— d a.

Il faut pour la suite inférieure écrire au-dessous de chaque zéro de la suite intermédiaire le signe même de f “#9 (a); et pour former la suite supérieure, il faut au-dessus du premier zéro à gauche écrire le signe de f+° (a), au-dessus du zéro suivant écrire le signe contraire à celui de f(#{4), et continuer ainsi à écrire alternativement le signe de f##?(a), ou le signe contraire, au-dessus des signes zéro de la suite intermédiaire.

Cela posé, si l'on procède à la formation des suites en allant de sauche à droite, il est évident que l'application de la règle précédente introduit dans la suite supérieure des changements de signes qui deviennent autant de permanences dans la suite inférieure. z étant le nombre des fonctions évanouissantes, on trouve que la suite supérieure contient un pareil nombre z de changements de signes remplacés dans la suite inférieure par autant de permanences. Il faut remarquer aussi que dans ces deux suites les signes correspondants sont alternativement différents ou semblables. Ils sont différents pour les fonctions dont le rang est indiqué par ft, FD, fV,f, etc.; et ils sont les mêmes pour les fonctions dont le rang est indiqué par f"?, ff", ft, ete. Enfin les fonctions qui deviennent nulles, et dont le nombre est 7, sont suivies d'une fonction non évanouissante ff" (x) : la substitution de à dans cette fonction donne le même signe pour les trois suites, et ce signe peut être + ou —. |

Il est facile de connaître maintenant combien la suite supérieure a perdu de changements de signe, remplacés par autant de permanences dans la suite inférieure. En effet si z est un nombre pair, le signe de la dernière fonction évanouissante fa) est le même dans les suites inférieure et supérieure : il donne par conséquent dans l’une et l’autre la même combinaison de signes avec la fonction extrème non évanouissante, qui est f “7” (a). Donc la suite inférieure a perdu dans ce cas un nombre : de changements de signe remplacés par des permanences.

Mais si le nombre z est impair, ce cas se subdivise en deux autres; parce que le signe de la dernière fonction évanouissante f"-"#% (a) n'étant pas le même pour les suites supérieure et inférieure, il en résulte que ces signes différents forment deux combinaisons contraires avec le signe de f"-"{(a) commun aux deux suites. Si celle de ces combinaisons qui se trouve dans la suite supérieure est un changement de signes , elle répond à une permanence dans la suite inférieure : donc le nombre de changements ‘de signes que la suite supérieure a perdus n’est pas £: il est & + 1. Mais si la combinaison

de signes qui termine la suite supérieure est une permanence, elle devient un changement de signe dans la seconde suite; dans ce cas le nombre des changements de signe perdu par la suite supérieure n'est pas, Mais 2 — 1.

On conclut de ces remarques que le nombre des fonctions évanouissantes étant z, le nombre des changements de signe perdus par la suite supérieure est égal à z lorsque & est pair; et que si le nombre 7 est impair, la suite supérieure perd dans un premier cas un nombre z + 1 de changements de signe, et dans un deuxième cas un nombre z — 1. Donc en désignant par À le nombre total des changements de signe de la suite supérieure, et par # le nombre total de changements de signe de la suite inférieure, on voit 1° que le nombre # ne peut jamais être plus grand que À ; 2° que la différence L — k est égale à z lorsque z est pair ; 3° que si le nombre des fonctions évanouissantes est impair, la différence 4— X est t+ 1 ou:— 1. Cette différence est donc toujours un nombre pair.

Lorsque la valeur de z est seulement 1, la différence L— X est > ou 0: c'est le cas général que nous avions examiné d’abord , en supposant qu'une seule fonction intermédiaire s'évanouît : mais si plusieurs fonctions intermédiaires consécutives s’évanouissent en même temps, la différence 2—# est 2, ou 4, ou 6, etc.

(4) Nous avons aussi à considérer le cas où les fonctions évanouissantes consécutives sont placées à l'extrémité de la suite des fonctions vers la droite, en sorte qu’elles comprennent le premier membre X de l'équation proposée. Or il suit de notre démonstration précédente que, désignant par ; le nombre de ces fonctions extrémes qui s'évanouissent, la suite supérieure perd un nombre de changements de signe précisément égal à 7. On sait que dans ce cas, qui est celui des racines égales, la fonction X contient le facteur (&— «). Donc la suite des signes a perdu un nombre 7 de ses changements de signes lorsque le nombre substitué est devenu égal à la valeur & de la racine multiple. Cette diminution du nombre de changements de signe de la suite a lieu toutes les fois que le nombre substitué a, en passant par degrés de la valeur — + à Ja

valeur =, atteint et dépasse infiniment peu chacune des racines réelles ; et la suite perd pour cette cause autant de changements de signe que l'équation proposée à de racines réelles égales ou inégales.

(5) On peut enfin supposer que la substitution du même nombre a fait évanouir plusieurs fonctions consécutives dans diverses parties de la suite, savoir un nombre : dans une première partie, un nombre 4 dans une seconde partie, ainsi du reste; ét un nombre } de fonctions extrêmes qui comprennent la fonction proposée X.

Désignant par H le nombre total de changements de signe que la suite contenait lorsque le nombre substitué avait une valeur moindre que a dont elle diffère d’une quantité infiniment petite, et par K le nombre de changements de signe que la suite conserve lorsque la valeur de + est devenue plus grande que & dont elle diffère d’une quantité infiniment petite, on voit que pour trouver la différence H—K,, il suffit d'appliquer à chacune des parties de la suite où se trouvent les fonctions évanouissantes les conséquences que nous venons de démontrer. Si le nombre z est pair, il faut compter pour cette partie de la suite un nombre : de changements de signes remplacés par des permanences. Mais si le nombre £ est impair , il peut arriver que la suite perde un nombre 2 + 1 ou i— 1 de changements de signes. Il en est de même des nombres i',&',ete. Quant aux fonctions extrêmes qui s’évanouissent , et dont le nombre est 7, elles indiquent dans tous les cas que la suite à perdu un nombre de changements de signe précisément égal à y.

On voit que la démonstration précédente se réduit toujours à comparer les expressions analytiques des résultats que l’on trouve en substituant a— da, a, a + da dans la suite des fonctions : cette comparaison rend manifestes toutes les conséquences que nous avons exposés concernant la diminution progressive du nombre des changements de signes de la suite.

(6) Ces démonstrations nous font connaître comment la suite des résultats des substitutions perd successivement les 7» changements de signe qu’elle avait lorsque la valeur substituée était — *.

1° Le nombre des changements de signe de la suite diminue continuellement; cette suite ne peut point en acquérir de nouveaux, ni reprendre aucuns de ceux qui ont disparu. .

2° Lorsque la substitution fait évanouir la dernière fonction f{e, la suite perd pour cette cause autant de changements de signes que l'équation /(x)—o a de racines réelles égales au nombre substitué.

3° Si cette valeur substituée rend nulles une ou plusieurs des fonctions intermédiaires, et ne rend point nulle la dernière fonction J'(x), 11 peut arriver que la suite ne perde aucun changement de signe, ou qu'elle en perde un nombre pair. Îl est impossible que dans ce cas il disparaisse un nombre impair de changements.

Cela posé, si l'équation à toutes ses racines réelles en nombre nt, la suite perdra un nombre de changements de signes précisément égal à 77, et par conséquent elle ne peut dans ce cas perdre aucun de ses changements de signes par la substitution d'une valeur qui ferait évanouir une ou plusieurs des fonctions intermédiaires sans rendre nulle la dernière fonction f (x).

Si l'équation à un nombre m— 2 de racines réelles et deux racines imaginaires, il arrivera une fois seulement que la suite perdra deux changements de signe, par la substitution d’une valeur qui rend nulle une fonction intermédiaire sans faire évanouir la fonction extrême f(x); et les m — 2 autres changements de signe disparaîtront successivement à mesure que le nombre substitué deviendra égal à chacune des m— 2 racines réelles.

Dans tous les cas chacune des racines réelles, égales ou inégales, correspond nécessairement à un changement de signe perdu. Par conséquent le nombre de changements de signe qui disparaissent sans que la dernière fonction f(x) devienne nulle, est toujours égal au nombre des racines imaginaires de la proposée.

(7) On parvient ainsi à démontrer la proposition que nous allons eénoncer , et que nous regardons comme un des éléments fondamentaux de l'analyse algébrique.

Étant proposée l'équation numérique f(x) — 0 dont le degré est

SÉPARATION DES RACINES. 99 m , on considère les fonctions f(x), f'(æ), f"(x),...f"(æx), dont chacune se déduit de la précédente en différentiant par rapport à æ et divisant par dx. Après avoir écrit cette suite de fonctions suivant cet ordre f(x), f(x), f(x)... f(x), f(x), f(æ), on substitue au lieu de x une valeur déterminée « , et l’on marque combien la suite des signes des résultats f"{a), f"9(a),. ..f"(a), f'(a),f(a) présente de combinaisons de deux signes différents consécutifs, tels que + — ,où — +./Le nombre k de ces changements de signes comptés dans la suite qui provient de la substitution de a varie lorsqu'on substitue dans les mêmes fonctions des nombres différents de a : la comparaison des résultats offre les propriétés suivantes. 1° Si l’on conçoit que la quantité substituée « augmente par degrés insensibles depuis — + jusqu'à + +, le nombre k des changements de signes comptés dans la suite diminue à mesure que la quantité substituée augmente. La suite des signes, qui contient un nombre »# de changements lorsqu'on substitue —:, perd successivement tous ses changements de signe à mesure que l'on substitue des valeurs plus grandes. Le nombre À de changements de signe qui répond à la substitution de «& ne peut jamais surpasser le nombre # de changements qui répond à la substitution d'une valeur à plus grande que a.

2° La suite perd un de ses changements de signes toutes les fois que la valeur substituée & devient égale à une des racines réelles de la proposée. II disparaît ainsi autant de changements de signes que l'équation a de racines réelles égales ou inégales.

3° Autant l'équation fx—0o a de couples de racines imaginaires, autant 1l arrive de fois que la suite perd deux de ses changements de signe qui disparaissent ensemble.

(8) Cette proposition indique immédiatement combien une équation proposée f(x) = 0 peut avoir de racines réelles comprises entre deux limites données a et D. En effet substituant la moindre limite a dans la suite des fonctions, on comptera le nombre 2 de changements de signe de cette suite; substituant aussi la limite 4 , on comptera le nombre des chan gements de signe dela suite que donne

cette seconde substitution; et la différence —# fera connaître combien on doit chercher de racines entre les deux limites proposées. Nous avons démontré que cette différence À—# ne peut pas être négative ; elle peut être nulle, ou égale à 1,2,9,4, etc.

Si elle est nulle, il est impossible que l'équation X — 0 ait aucune racine réelle entre les limites .« et b. En effet s’il existait dans cet intervalle une racine réelle telle que «, qui rendit nulle la fonction X, il serait nécessaire que la quantité substituée au lieu de x passant par degrés infiniment petits de la valeur a à la valeur à fit disparaître au moins un changement de signes; et comme ceux de ces changements qui ont disparu ne peuvent point être rétablis, la suite donnée par la substitution de b aurait moins de changements de signes que celle qui provient de la substitution de a, ce qui est contre l'hypothèse.

Si la différence À—# est 1, l'équation a une racine réelle entre a et b: car un seul changement de signe ne peut disparaître que par la substitution d’une valeur qui rend nulle la fonction X. Et il ne peut y avoir plus d’une racine réelle entre les mêmes limites a et b : car dans ce cas la suite aurait perdu plus d'un changement de signe.

Si la différence À— k est 2, l'équation X —o peut avoir deux racines réelles entre les limites & et b : mais il peut arriver aussi qu'il n’y ait aucune racine réelle dans cet intervalle. Cela aurait lieu s'il existait un certain nombre &, plus grand que & et moindre que b, qui, étant substitué dans la suite des fonctions, fit disparaître à la fois deux changements de signe sans rendre nulle la fonction X. Il est d’ailleurs certain que dans ce cas l’équation ne peut avoir plus de deux racines réelles dans l'intervalle des limites a et b : car, si cela était, la suiteaurait perdu plus de deux chansements de signe, ce qui est contre l'hypothèse.

Dans tous les cas, l'équation X —o ne peut pas avoir plus de racines réelles entre les limites «& et à qu'il n’y a d'unités dans la différence À — k des nombres de changements de signe comptés

dans les deux suites («) et (b). Nous désignons ainsi les suites des résultats de la substitution de a ou de b.

Si ce reste 2 —} est un nombre impair, il y a au moins une racine réelle entre les limites « et 0.

Si le reste À—# est un nombre pair, l'équation X —o peut n'avoir aucune racine réelle entre « et b. En général si lenombre des racines réelles comprises entre a et b n'est pas égal au reste 4 —k, il ne peut en différer que d’un nombre pair A, et dans ce cas l'équation X—o à au moins autant de racines imaginaires qu'il y à d'unites dans la différence A.

(9) Le théorème connu sous le nom de règle de Descartes, et dont le sens général est depuis long-temps fixé, est un corollaire de la proposition précédente. Il suffit de choisir pour les deux limites « et à les quantités —+ et o, ou o et + :. En effet si l'on substitue la valeur o au lieu 8 Z ft les fonctions X(, X®—?. X”, X’, X, les signes de la suite des résultats sont D les mêmes que les signes des coefficients 1, 4&,,&,,.....a, de la proposée. Donc pour connaître au moyen de la proposition précédente combien il peut y avoir de racines entre — ; et o, ou entre o et =, il faut marquer combien la suite des signes des coefficients, c'est-à-dire celle que donne la substitution de o dans la série des fonctions, contient de changemerits de signe, afin de la comparer à la suite que donne la substitution de — ;, et à celle que donne la substitution de + =. Or la suite (— <) contient un nombre m de changements de signes, et la suite (+ +) n’en contient aucun. Donc l'équation proposée ne peut pas avoir plus de racines réelles négatives qu'il n’y a de permanences de signes dans la suite des coefficients, et cette équation ne peut pas avoir plus de racines réelles positives que la suite des coefficients n'a de changements de signe.

(10) L'application de la proposition générale fait connaître clairement les intervalles dans lesquels les racines doivent être cherchées. Si deux limites « et b sont telles que les suites («) et (d) aient le même nombre de changements de signe, il est impossible qu'il