IL

se trouve aucune racine entre ces limites. Par conséquent toute méthode de résolution qui conduirait à substituer au lieu de x des nombres compris entre de telles limites serait par cela même trèsimparfaite, puisqu'elle exigerait un grand nombre d'opérations superflues. I est évident qu’on ne doit chercher de racines que dans quelques intervalles, savoir ceux où le théorème précédent indique qu'elles peuvent exister.

Avant de procéder à l’application de ce théorème, 1l est nécessaire de s'arrêter à une remarque importante concernant les substitutions qui rendent nulles une ou plusieurs des fonctions intermédiaires. |

(11) Lorsqu'on a trouvé deux suites de résultats en substituant les limites nreposées a et b dans les fonctions f(x), f(x)... f(x), f'(æ), f(x), il arrive fréquemment qu'un ou plusieurs de ces résultats sont nuls. Il s’agit de connaître quels signes on doit attribuer aux quantités qui s'évanouissent, et comment 1l faut compter le nombre de changements de signe.

Nous considérons dans ce cas deux valeurs infiniment peu différentes du nombre & qui est substitué, et ces valeurs sont ainsi indiquées : a—da,;a+da, ou <a, > a. Chacune de ces valeurs donnera maintenant le signe + ou le signe —, et non un résultat nul.

Par exemple, si la suite qui provient de la substitution de « est

+ 0.0 0 0-— 0 ‘0,0, — —H 0 -+ 0 0 0 0 0 —, on trouvera

HER EH HE ++ — ’ e

pour la suite que donne la substitution de la quantité désignée par > a. Pour former cette seconde suite on procède de gauche à droite, et lorsqu'on trouve dans la première suite un signe qui n'est point o, on écrit ce même signe au-dessous dans la seconde suite. Mais lorsqu'on arrive à un signe o de la première suite, on le remplace dans la seconde par un signe semblable à celui que l'on

vient d'écrire à gauche dans cette seconde suite.

SÉPARATION DES RACINES. 103 Pour former la suite qui répond à la quantité <a, on procède aussi de gauche à droite, et lorsqu'on trouve un signe qui n'est point o dans la suite donnée par la substitution de a, on repète ce même signe au-dessus. Mais lorsqu'on arrive à un signe o de la suite donnée, .on le remplace dans la suite supérieure par un signe contraire à celui qu'on vient d'écrire à gauche dans cette suite supérieure. Nous avons démontré dans l'article 3 les deux règles que l’on vient de rappeler. Si, dans l'exemple cité, on rapproche les trois suites, on a la table suivante :

RÉ A ARR ca éco MPG ar Enr (Ça) EN O0. OO a "01® 024 0:44" 0.0 070 Oo —

(œ a) +++++-———- EHRHHHE ++ —

Ayant ainsi remplacé la suite (a) par deux autres, on se servira de la suite (> a) lorsqu'on aura à comparer la limite à à une limite plus grande b. Mais si l'on doit comparer la limite & à une limite b' moindre que a, on remplacera la suite (&) par la suite (<< a). On appliquera cette règle du double signe toutes les fois que la substitution d’une limite quelconque donnera un ou plusieurs résultats nuls, en sorte que dans aucun cas les suites comparées ne contiendront de signes zéro.

Il arrive le plus souvent que les deux suites (<< a) et (> a) ne contiennent pas le même nombre de changements de signe. Le nombre L des changements de signe de la suite supérieure (< à) ne peut pas être moindre que le nombre # des changements de signe de la suite inférieure, et si surpasse #, ce qui arrive nécessairement lorsque deux ou plus de deux termes consécutifs s'évanouissent, la différence À— # est un nombre pair A. Dans ce cas l'équation proposée f(x) — o a un pareil nombre de racines imaginaires , indépendamment des racines qui pourraient manquer en d'autres intervalles.

Dans l'exemple précédent la suite inférieure a quatorze changements de signes de moins que la suite supérieure : l'équation f(x) = o aurait done, pour cette seule cause, quatorze racines 1ma-

ginaires. Ces racines manquent à l'équation dans l'intervalle infi-

niment petit compris entre a— da et & + da.

(12) Les propositions qui ont été démontrées jusqu'ici donnent un moyen facile de distinguer les seuls intervalles dans lesquels les racines doivent être cherchées. Nous citerons divers exemples de l'application de ces théorèmes. Le premier exemple est celui de l'équation

2 —3 xt — 24 x + 95x—46x— 101 — 0.

On à pour la suite des fonctions

OR ART x — 3x — 2x + 95x°—46x— 104 X',....bat—12x—72x + 1907 — 46 X”'....20ox — 362 —144x + 190 X"'....602—72x— 144