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Si l'on substitue au lieu de x les nombres ...—10,—1,0,1, 10,...,et si l’on écrit les signes des fonctions X' XX X'MNNXS
on trouve
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En comparant la suite des signes qui provient de la substitution ou de —10 à celle qui provient de la substitution de + 10, on voit que la première suite (— 10) a cinq changements de signes et que la suite (10) n’a aucun changement de signes : donc l'équation ne peut avoir de racine que dans cet intervalle de — 10 à +10. En comparant les deux suites (— 10)et(—1), on conclut qu'une
des racines réelles existe dans cet intervalle ; car la seconde suite n'a que quatre changements de signe, et la première en a cinq. Les deux suites (— r) et (o) étant comparées de la même manière, on voit qu’il existe une seconde racine réelle dans cet intervalle : car le nombre des changements de signe de la première suite surpasse d’une unité le nombre des changements de signe de la seconde. L'intervalle suivant de o à 1 ne peut contenir aucune racine ; car la suite (o) a trois changements de signe, et la suite (1) en à un pareil nombre. Quant à l'intervalle compris entre 1 et 10, on trouve dans la première suite (1) trois changements de signe, et la seconde (10) n’en a aucun. Donc on doit chercher trois racines entre 1 et 10 : l’une de ces racines est réelle, et l’on ignore jusqu'ici si les deux autres sont réelles, ou si elles manquent dans l'intervalle. Les seuls intervalles dans lesquels on doit chercher les racines sont done celui de — 10 à — 1, celui de — 1 à o, et celui de 1 à 10. Dans chacun des deux premiers il se trouve une racine réelle entièrement séparée des autres; et dans le troisième, savoir entre 1 et 10, il existe aussi une racine réelle, mais il reste à découvrir si les deux autres racines indiquées dans cet intervalle sont réelles ou imaginaires: nous résoudrons bientôt cette question. Il serait entièrement inutile de chercher des racines de la proposée dans d'autres intervalles que ceux qui viennent d’être désignés.
(13) Soit l'équation proposée a —h ax —32x + 23 — 0.
La suite des fonctions est NUL OR Die SU 3 A A PO NPC TIL — AT
