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Si l'on substitue les nombres 0, 1, 10, et si l’on marque les signes

des résultats dans les fonctions

XXE IKTRRNE on trouve | RC. her + (CORAN 4 rh (Do) aus hi tt (<a) — + (9 L'ARSSRRNTOPERIRS + (ES JON SPIP RESREE (ro). ne SAUT Apte

Dans cet exemple la substitution de o au lieu de x fait évanouir la fonction X”: il faut donc employer Îa règle du double signe. Elle montre que dans la suite supérieure (< 0) on doit écrire le signe + au-dessus du signe o, et que dans la suite inférieure on doit écrire le signe —. Si actuellement on compare les deux suites (<o)et (> 0), on trouve quatre changements de signe dans la première, et seulement deux dans la seconde. Donc l'équation a deux racines imaginaires qui manquent dans l'intervalle infiniment petit de Z0446%0,

La substitution du nombre 1 fait évanouir la fonction intermédiaire X’”, et en appliquant de nouveau la règle du double signe, on voit que le signe o de la suite intermédiaire (1) doit être remplacé par — dans la suite supérieure (< 1), et par + dans la suite inférieure (> 1). Si maintenant on compare les deux suites (<1) et(> 1), on y trouve le même nombre de changements de signe : done il ne manque point de racine dans l'intervalle de 1 à > 1. Cette substitution du nombre 1, qui rend nulle une des fonctions intermédiaires, conserve le nombre de changements de signes. I n'en est pas de mème de la substitution de o, qui, faisant disparaître deux changements de signe, montre que l'équation manque de deux racmes, dans l'intervalle de <o à > 0.

Pour comparer la suite des signes que donne la substitution de o à celle que donne la substitution de 1 , il faut employer les suites

(> 0) et (< 1): mais pour comparer la suite que donne la substititution de 1 à celle que donne la substitution de 10, 1l faut employer les suites (>> 1) et (10). La comparaison des suites (=> 0) et (1) montre qu'il ne peut y avoir aucune racine entre oO et 1 ; car les deux suites ont le même nombre de changements de signe. La comparaison des suites (=> 1) et (10) montre que l’on doit chercher deux racines dans l'intervalle de 1 à 10; car la seconde suite n’a aucun changement de signe et la première en a deux. L'équation proposée a donc deux racines imaginaires, et les deux. autres racines ne peuvent exister que dans l'intervalle de 1 à 10. Il restera à découvrir si elles sont réelles ou si elles manquent dans cet intervalle, ce que nous examinerons ultérieurement. (14) L'équation +22 —3x+2—0

donne les résultats suivants :

XI OTRSOX F2 x’ — 3x + 4x —5

X'—6x+/ | NE, et VAR EP EE HOMO IEREREare 8 0 CO us dt nr à k COM RRERERTE CR QU ARE NET ES SE

La comparaison des suites (— 10) et (—1) montre que l'équation a une racine réelle entre — 10 et — 1, et qu'il ne peut y en avoir plus d’une dans cet intervalle, Car la première suite a trois changements de signes et la seconde en à deux seulement.

On voit aussi en comparant les suites (-— 1) et (o) que l'on ne doit chercher aucune racine entre — 1 et 0; car les deux suites ont le même nombre de changements de signe, savoir deux.

Quant à l'intervalle suivant de o à 1, on doit y chercher deux racines, parce que la suite que donne la substitution de o au lieu de x a deux changements de signes, et que la suite qui répond à 1 n'a plus aucun changement. Il reste à connaître si ces deux racines indiquées entre o et 1 sont réelles, ou si elles manquent dans l'intervalle.

(15) Si l'équation proposée. est

x +at+a—25x—36—0, on aura cette suite de fonctions,

X —ax +ai+a—925x—36 X'—5ai +4 +2x—25 X”=—2072 +122 +2

X/— 6ox° + 24 x

Xe 120;

et substituant les nombres

— 1, — 10, —eic.

O on trouve K”" X:" NUE seu pe X = + Es

(<L0 (0) M0) 7e Laos eee, ASE

On conclut de la comparaison de ces résultats 1° Que toutes les racines doivent être cherchées dans l'intervalle

+ + + + + + + +H++++) eco + | | |

de — 10 à + 10, puisque l’une des suites a cinq changements de signe, et que l’autre n'en a aucun;

20 que deux de ces racines doivent être cherchées entre — 10 et —1, parce que la première suite a cinq changements de signe et que la seconde en a trois seulement, mais qu'il reste à découvrir si ces deux racines existent en effet, ou si elles sont imaginaires ;

3° que la suite (<< o) ayant deux changements de plus que la suite (> 0), l'équation a deux racines imaginaires qui manquent en cet intervalle infiniment petit ;

4° qu’il ne peut y avoir aucune racine entre — 1 et o, parce que les suites (-— 1) et (o) ont l’une et l’autre trois changements de signes ;

5° qu'il ne peut y avoir aucune racine entre © et 1, parce que les suites (> 0) et (1) ont l’une et l’autre un changement de signe;

6° que l'équation a une racine réellé entre 1 et 10, parce que la seconde suite a un changement de moins que la première : cette racine est entièrement séparée.

(16) Lorsqu'on applique la proposition énoncée à la fin de l'article 11 aux équations binomes de la forme

CAPI O!, ou à celles qui manquent de plusieurs termes consécutifs, comme CL HER, —— QE

on connaît immédiatement, par l'emploi de la règle du double signe, le nombre des racines imaginaires qui proviennent de l’omission des termes. Si les équations sont binomes, la substitution de o au lieu de x dans la suite des fonctions

Km) Km) Xe) Nm) NI NX donne les résultats suivants :

COMME EEE Dos ur —! OONIEREE Noyer AAO O O 1. ONG (= 0)0. SEP PORN EPST 20 NE RPGES

Lorsque le nombre 7» est pair, et le coefficient à, positif, la suite (<o) n’a que des changements de signes, et la suite (=> 0) n’en à aucun : ainsi toutes les racines sont imaginaires. Leur nombre est m. Mais si le degré mn étant pair, le coefficient «, est négatif, l'équation manque d'un nombre »m— 2 de racines dans l'intervalle infiniment petit de <o à > o. Elle a une racine réelle entre —< et o, et une autre racine réelle entre o et <.

Si le degré m est impair , on conclut à l'inspection des suites que l'équation a un nombre m— 1 de racines imaginaires, et une seule racine réelle dont le signe est contraire à celui de @,,.

Quant aux équations telles que

L'ONU 0

qui manquent de plusieurs termes consécutifs, on reconnait par la même règle qu'elles ont nécessairement, à raison de cette omission, des racines imaginaires, et l’on en détermine le nombre comme il suit. Lorsque, entre deux termes subsistants, 1] manque dans l'équation un nombre 1 +7 de termes consécutifs , le nombre des racines imaginaires qui proviennent de cette seule cause est 7 ou ñn +2; savoir 2 lorsque les deux termes subsistants entre lesquels manquent les termes consécutifs ont le même signe, et x + 2 lorsque ces deux termes sont de signes différents.

Par exemple on voit immédiatement que l'équation