LH L+FI

a quatre racines imaginaires, parce qu'il manque trois termes consécutifs entre les termes x° et x qui ont le même signe.

Les conséquences que nous venons dénoncer sont trop faciles à déduire de la proposition citée dans l'article 11 pour qu'il soit nécessaire de les développer; et d’ailleurs elles sont pour la plupart connues, et on les démontre aisément par d’autres principes.

(17) En appliquant la même analyse à l'équation

x! —922 —3x +4a —5x+6—o, on trouve

X'— 7x —1ox—9x +8x—5

X" —/4ox—hox —18x +8

X'"—5o4ozx

et l’on forme cette table

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1° En comparant les deux suites (— 10) et (—1), on voit que la seconde a seulement un changement de signe de moiïns que la première. Donc l'équation a une seule racine réelle entre les limites — 10 et —1.

°2 La substitution de o au lieu de x donne plusieurs résultats nuls. On formera donc les deux suites (<< o) et (> 0); et l'on voit RE

en comparant ces suites que l’une à six changements de signe et l'autre quatre. Donc l'équation à deux racines imaginaires qui manquent en cet intervalle.

3° Les suites (— 1) et (<o) étant comparées, on connaît que l'équation ne peut avoir aucune racine réelle entre — i et o.

4° Les suites (> o) et (1) étant comparées, on connaît qu’il ne peut pas y avoir plus de deux racines réelles entre o et 1. Il restera à distinguer si ces racines existent en effet, ou si elles manquent dans cet intervalle.

5° On conclut à l'inspection des deux suites (1)et (10) que l’on doit chercher deux racines entre les limites 1 et 10.

Ainsi les seuls intervalles dans lesquels on ait à chercher les raeines de la proposée sont celui de — 10 à — 1, où il existe certainement une seule racine réelle; celui de o à 1, où l’on ne peut trouver plus de deux racines réelles ; et celui de t à 10 où l’on doit aussi chercher deux racines. On est assuré d’ailleurs que l'équation a deux racines imaginaires; elles manquent dans l'intervalle infiniment petit de <oà >0o.

(18) Nous citerons encore deux exemples du procédé quil faut suivre pour distinguer facilement les intervalles où les racines doivent être cherchées.

Le premier est celui de l'équation

+ BL +2x —32 —2x—93—0.

On a

X' ...5xt+i2x +6x —6r—2

X°. 00 LZ HE 72LcH.I2