LOTO ETES

On a X —x —102 +6 +1I

X —56x 5307126 X”'—002 —60x X''=.60 x — 60 XH=2120 À

i14 LIVRE PREMIER

et l'on forme la table suivante :

X' X:' X7: ANA EPS

(— 10) Maui. + ! — RS (<— 1) + — + + — + { (—1) Jo ot —i + on + — — + — + (<o) + = + + +

| (o) HS 010 ES MON LE Rae Hate EN Fa + + — — — — (1) + + 0 — — —

fr ep et (10) À PR USE 0 mé M M Un

On conclut

des suites (— 10) et (<—1), qu'il y a une seule racine réelle entre — 10 et 1;

des suites (> —1) et (<o), que l’on doit chercher deux racines entre — 1 et 0;

des suites (> 0) et (<< 1), que l'équation a une racine réelle et seule entre o et 1;

des suites (> 1) et (10), que l’on doit chercher deux racines entre J et 10.

(20) Il serait inutile de multiplier ces applications : nous les avons choisies telles qu’elles offrissent un assez grand nombre de cas différents.

Il est évident que ce procédé fait connaître sans aucune incertitude les lieux des racines, c’est-à-dire les limites entre lesquelles on doit les chercher : mais il ne détermine pas toujours la nature de ces racines. On voit au contraire que si l'application du théorème indique un nombre pair de racines dans un intervalle donné, il peut arriver que toutes ces racines soient imaginaires. Nous avons done une seconde question à résoudre, celle qui a pour objet

de découvrir la nature des racines indiquées. Nous donnerons par la suite une solution complète de cette seconde question : elle est fort différente de la première que nous avons traitée Jusqu'ici, et qui avait pour objet de désigner les seuls intervalles où l’on doit chercher les racines.

IL faut se représenter que l'on à divisé-en une mulütude d’inter-

alles la différence de deux valeurs attribuées à æ, et dont l’une est au-dessous de o à une très-grande distance, et l’autre au-dessus de o à une très-grande distance. Chacun de ces intervalles partiels a deux limites a et b. Or ces intervalles sont de deux sortes.

1° Ceux dans lesquels on ne doit chercher aucune des racines de l'équation. On reconnaît ces intervalles au caractère suivant : qu'en substituant leurs limites & et b dans la suite des fonctions f "x, FI x,.….. f(x), f'(æ), f(x), ce qui donne deux séries de résultats, la seconde suite a autant de changements de signe que la première.

2° Les intervalles dans lesquels on doit procéder à la recherche des racines. On reconnaît ces intervalles au caractère suivant : qu'en substituant les limites a et b dans la série des fonctions, la suite donnée par la substitution de la plus grande limite & a moins de changements de signe que la suite donnée par la substitution de «.

Les premiers intervalles sont exclus, et leur étendue totale est incomparablement plus grande que celle des autres. A l'égard des seconds intervalles, ils sont eux-mêmes de deux espèces différentes : savoir ceux où les racines existent en effet, et ceux où les racines manquent. [1 nous reste à expliquer clairement cette distinction, et à donner des règles certaines et d’une application facile pour distinguer ces deux espèces d’intervalles.

(21) La question se présente, par exemple, dans l'analyse de Fequation 25 — 3 — 24 x° +095 x —46x—101—0, citée art. 12. Le théorème général indique que l’on doit chercher trois racines entre les limites 1 et 10. On pourrait diviser cet intervalle en deux parties, en substituant dans la série des fonctions un nombre c plus grand que 1 et moindre que ro; et l’on appliquerait les règles précédentes aux

intervalles partiels 1 et ce, et cet 10. Or en continuant ainsi de substituer des nombres intermédiaires, et. de diviser les. intervalles, on parviendrait à séparer les trois racines, si elles sont toutes réelles, et l'on connaîtrait pour chacune d’elles, un intervalle où elle est seule comprise, ce qui est le but de la recherche: Mais si deux des racines cherchées sont imaginaires, la subdivision de lintervalle n'aura aucun terme, et l’on ignorera toujours si la séparation des racines est impossible, parce qu’elles sont imaginaires, ou si elle est seulement retardée, parce que leur différence est extrèmement petite.

On ne peut point résoudre cette difficulté en se bornant à substituer des valeurs intermédiaires, et à comparer les signes des résultats : la question exige une règle spéciale. C’est pour cette raison que la méthode proposée par Rolle, sous le nom de Méthode des cascades, ne peut servir à la détermination des limites des racines : car elle manque d’un caractère pour la distinction des racines imaginaires. |

La règle d'approximation que l'on doit à Newton ne résoud point cette question; elle la suppose résolue. Cette méthode newtonienne est un des éléments les plus précieux de l'analyse parce qu'elle s'étend à toutes les branches du caleul; mais elle n’a point pour objet de distinguer les racines imaginaires. C'est pour y parvenir que Lagrange et Waring ont proposé de rechercher la plus petite différence des racines de l'équation, ou une quantité moindre que cette plus petite différence. Considérée sous le rapport théorique, la solution est exacte. En effet si l'on était parvenu à connaître que la différence des racines réelles qui diffèrent le moins est plus petite qu'une certaine quantité À, il suffirait de substituer pour la variable x des nombres consécutifs dont la différence serait A, ou moindre que A. On serait assuré de distinguer ainsi toutes les racines ; et si l’on n’en trouvait pas autant qu'il ya d'unités dans le degré »# de la proposée, celles que l'on ne séparerait point par ces substitutions seraient en nombre pair, égal au nombre des racines imaginaires de la proposée. Mais 1l est facile

de juger qu'on ne peut point admettre une telle méthode de résolution. En effet 1° le calcul qui ferait connaître cette valeur de la limite A est impraticable pour les équations d’un degré un peu élevé ; 2° on effectuerait des substitutions dans des intervalles où le théorème général, art. 7, prouve qu'il ne peut y avoir aucune racine. Îl faudrait done appliquer d’abord ce théorème, et ne faire des substitutions que dans les intervalles où les racines doivent être cherchées. Cette opération diminuerait la longueur du calcul, maïs elle ne dispenserait pas de trouver la valeur de À, ce qui est la difficulté principale. Il était donc nécessaire de traiter par d’autres principes cette question très-importante qui a pour objet de reconnaître avec certitude la nature des racines. Je suis parvenu depuis long-temps à la résoudre par des procédés dont l'application est prompte et facile. La solution que nous allons exposer dans les articles suivants a été donnée autrefois dans les cours de l’École Polytechnique de France; elle est la plus claire et la plus simple de toutes celles que j'ai pu découvrir pour cet objet. I s’agit ici d’un élément essentiel, et que l’on a pu regarder comme le point le plus difficile de toute la théorie : nous avons dû nous attacher à l’éclaircir entièrement. Il ne suffisait pas de donner le principe analytique dont nous avons déduit autrefois la solution : il est préférable de rendre les conséquences très-sensibles par l'emploi des constructions. Rien n’est plus propre à montrer distinctement la nature de la question. Nous rapporterons ensuite plusieurs exemples de la règle générale qui sert à la résoudre.

(22) On suppose qu'après avoir substitué deux nombres & et ?, dont à est le plus grand, dans la suite des fonctions

FR), SV)... (x), Fe), P'(x), CR),

il arrive que la suite (a) des signes des résultats, c’est-à-dire celle qui provient de la substitution de &, diffère de la suite (2) en ce que la seconde contient deux changements de signes de moins que la première. Par exemple la suite (a) est terminée par les trois

i10 LIVRE PREMIER.

signes Li ours UTATS

et la suite (b) par ceux-ci

Nous supposons aussi que dans toutes les parties de ces deux suites qui sont placées à la gauche des trois signes que l’on vient d'écrire, chaque signe de la suite («) est le même que le signe correspondant de la suite (b). On voit que le nombre substitué passant de la valeur & à la valeur D, la suite des signes perd deux changements. Il suit donc du théorème précédent, article 7, que l'équation f(x) = 0 ne peut pas avoir plus de deux racines entre a et b ; mais on ignore si les deux racines indiquées sont réelles , ou si elles manquent dans cet intervalle : c’est la question qu’il faut résoudre. Or si dans chacune des deux suites (4) et (b) on omettait le dernier signe, la première contiendrait seulement un changement de signes de plus que la seconde. Donc l'équation f(x) —0o ne peut avoir qu'une racine entre a et b, et l’on est assuré que cette racine est réelle.

De plus, en omettant les deux derniers signes de chacune des suites (&) et (b), on trouve, par hypothèse, que la première suite n’a pas plus de changements de signe que la seconde. Donc l'équation f(x) = 0 n’a aucune racine entre a et bd; c’est-à-dire qu'il ne peut y avoir dans cet intervalle aucun nombre qui, mis au lieu de x, rende nulle la fluxion du second ordre f(x).

(25) Il est facile de représenter par les propriétés des figures les relations qu'ont entre elles les fonctions f(x), f(x), f(x). L'ordonnée y de la courbe r#p n (fig. 4 et 5) exprime la valeur que recoit la fonction f(x) lorsqu'on donne à la variable x une valeur quelconque mesurée par l’abscisse ox. Les limites a et & sont les abscisses 0 &,0b. L'arc mp n qui répond à cetantervalle a b n’a aucun point d’inflexion , car la valeur de l’abscisse correspondante à chaque point d'inflexion est celle qui rend nulle la fluxion du second ordre

d? . . » . . 4 f"(x), ou A . Ainsi l’arc mp n est exempt de sinuosités , et comme

la valeur de f(x) est positive aux deux extrémités de l'arc, on voit que cet are a la forme que la figure indique. Il est concave dans toute son étendue : sa concavité regarde le haut de la planche. En un certain point p de cet arc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Ce point répond à la valeur de + qui rend nulle la fluxion du premier ordre f'(x); et l'équation f'(x)—0o ayant une seule racine entre les limites «a et b, il n'existe qu'un seul point p où l'inclinaison soit nulle. Si l’on ajoute à ces conditions que les ordonnées extrêmes f'(a) et f(b) sont positives, on voit que la partie de la ligne courbe que l’on considère est celle que représente la figure 4 ou la figure 5. Dans la première il existe deux points d’intersection « et 6, et les abscisses 04, 06 expriment les valeurs des deux racines réelles. Dans la seconde figure, l’arc n'atteint pas l'axe des abscisses; il n’y a aucun point d’intersection, en sorte que les deux racines que l’on cherche sont imaginaires. La question consiste à distinguer celle des deux constructions qui représente la fonction proposée dans l'intervalle des limites & et d. Cette question serait facilement résolue, si l’on connaissait la valeur exacte ; de l’abscisse o; qui répond au point p où la tangente est parallèle à l'axe ; car il suffirait de substituer cette valeur ; dans la fonction f(x), et d'examiner le signe du résultat. Si ce signe est différent de celui qui est commun aux deux résultats fa) et f(b), 1l existe deux points æet6 d'intersection. Mais si le signe de f (7) est le même que celui de (a) et f(b), les deux points d'intersection manquent, et les racines sont imaginaires.

On pourrait substituer dans f(x) au lieu de x une valeur approchée de la racine y de l'équation f(x) = o. Si le résultat de eette substitution a un signe différent de celui de f(a) et f (à), on est assuré que les deux racines sont réelles, et elles se trouvent séparées. Mais si le signe du résultat est le même que celui de f(a) et.f(b), la nature des racines demeure incertaine : car on ignore si en substituant dans f(x) une valeur encore plus approchée de y, on ne

trouverait point un signe différent de celui de f(a) et f(b). Cette difficulté se présenterait nécessairement toutes les fois que les racines seraient imaginaires , et elle subsisterait toujours quoique l'intervalle des deux limites püt être rendu extrêmement petit.

(24) Pour résoudre cette ambiguité nous considérons que la seconde construction (fig. 5) diffère de la première (fig. 4) par un caractère propre que le calcul peut exprimer. En effet concevons que dans la construction représentée par la fig. 5 on mène par les points » et » deux tangentes jusqu’à la rencontre de l’axe en a’ et b'; qu’en ces points a’ et D’ on élève des ordonnées &/m', b! n'; qu'aux points »#' et x on mène deux nouvelles tangentes jusqu’à la rencontre de l'axe. IT est évident qu'après une ou plusieurs opérations semblables, il arrivera nécessairement qu’on ne pourra point tracer ces tangentes successives sans qu'elles finissent par sortir de l’intervalle «ab; et la distance du point a à l'intersection de la tangente et de l'axe, c'est-à-dire la sous-tangente, deviendra certainement plus grande que l'intervalle &b. Si au contraire l’arc mn a deux points d'intersection entre a et b, comme le représente la figure 4, la condition qu’on vient d’énoncer n'aura jamais lieu; chacune des sous-tangentes a &', a a”, etc. sera toujours moindre que l'intervalle ab, a b', ete. Ilen sera de même des sous-tangentes successives b#”, b'b’,ete., comparées aux intervalles ba, b! a',etc. Dans cette même construction de la figure 4, si l’on prend les valeurs de deux soustangentes a &”, b D’, et si on les ajoute sans avoir égard aux signes, c'est-à-dire en attribuant le signe + à chacune de ces quantités, la somme sera toujours moindre que l'intervalle ab des deux limites. Il en sera de même de toutes les sous-tangentes suivantes : la somme des deux sous-tangentes portées aux deux extrémités d’un intervalle quelconque a’ b', a”b", etc. sera moindre que cet intervalle. C’est un caractère distinctif du cas où l'arc mp n a ses deux points d’intersection.

Nous avons supposé que le point » (fig. 4 et fig. 5) répond précisément à l'extrémité a’ de la sous-tangente a a’. Les conséquences

seraient les mêmes si ce point #7! répondait à un point voisin de a!, et compris entre les points a’ et a.

(25) On appliquera aisément le calcul à l'énoncé de la proposition précédente, en se servant de l'expression connue de la soustangente D". Le rapport = er rest égal à celui des deux lignes #6 et

bb", d’où l’on conclut

On aura donc la valeur numérique de la sous-tangente bb’ en formant le quotient des deux résultats f(b) et f"(b). On trouvera de même, abstraction faite du signe, la valeur de la sous -tangente a a! en divisant f(a) par f'(a). En général l'expression de l’abscisse 0", qui répond à l'intersection 0% de la tangente » b'et de l'axe,

bb=nd: fo): HO, AU

est x), En substituant dans cette expression a pour æ, et

J'(æ) ensuite pour +, le second résultat 7 sera toujours plus grand que le premier a — L- 2 si la ligne courbe est celle que re-

présente la figure 4. Cette condition ne peut cesser de subsister que si la position de l'arc est celle que représente la figure 5; et dans ce cas il arrive nécessairement, lorsqu'on trace les tangentes successives, que la condition cesse d’avoir lieu. Le caractère propre aux racines réelles est donc ainsi exprimé :

<br 00 HE 1

Il s'ensuit que les deux limites & et b étant proposées , et les résultats J'(a), f(a), f'(b), f(b) étant connus, il faudra premièrement, pour reconnaître la nature des deux racines indiquées, diviser (a) par f'(a), et f(b) par f'(b). Si l'un des deux quotients, pris abstraction faite du signe, ou si la somme de ces deux quotients, surpasse ou égale la différence b— « des deux limites, on est assuré que les deux racines ne sont point réelles.

Mais si la différence b— a des deux limites est plus grande que la somme des deux quotients , on est averti que la distance des deux limites entre lesquelles on cherche les racines n'est pas devenue assez petite pour qu'on puisse reconnaître la nature de ces racines au moyen d'une seule opération, Il faut diviser l'intervalle ab des deux limites, en substituant dans f(x) un nombre intermédiaire c plus grand que a et moindre que b, et marquer le signe du résultat. Lorsque le signe de f(c) n’est pas le même que le signe commun de f(a) et. f(b), on connaît que les deux racines sont réelles : l'une est entre « et c, et l’autre entre c et b. L'intervalle b — a est ainsi divisé en deux parties dont chacune contient une racine réelle entièrement séparée. f

Il arrive le plus souvent qu'un premier examen suffit pour indiquer la nature des racines cherchées. On trouve que la somme des

quotients . ; FR surpasse la différence b — a, ou que la substitution d'un nombre intermédiaire c donne un résultat f'(c) dont le signe diffère de celui qui est commun à f(a) et f(b). Si aucune de ces deux conditions n’a lieu, il faut conclure que les limites et b ne sont point assez approchées pour qu'une seule opération détermine la nature des racines. Dans ce cas la substitution du nombre intermédiaire c donne pour le signe de f(e) le signe commun de f'{a) et f(b). Il n’en est pas de même des résultats f(a), f”(b) et f”(c): les deux premiers sont de signes différents, par hypothèse. Donc un de ces deux résultats f”(a) et f”(b) a le même signe que f'(c); l'autre a un signe contraire. Désignons par d celle des limites a et b qui, étant substituée dans f(x), donne un résultat de signe contraire à celui de f'(c). On voit que l'équation f'(x)—0 aura une racine réelle entre les nouvelles limites c et d ; et les deux racines , dont la nature est encore incertaine, doivent être cherchées dans l'intervalle de ec à d. On appliquera donc à ce second intervalle de c à d la règle qu'on avait appliquée à l'intervalle de a à b, et l'on recherchera la nature de ces racines par un procédé entièrement semblable à celui que nous venons de décrire.

(26) Il est nécessaire de remarquer que si les deux racines cherchées étaient réelles, mais égales , on n’en reconnaîtrait pas la nature par la règle précédente. Mais on distingue facilement ce cas intermédiaire et singulier, puisqu'il suffit de comparer les fonctions f(æ) et f(x), afin de savoir si elles ont un commun diviseur +(x), et si ce commun diviseur a une racine réelle comprise entre a et b. Lorsqu'un tel diviseur ç(x) n'existe pas, ou si l'équation 6(x)—0 n’a point une racine réelle entre & et b, on parviendra toujours par le procédé que nous avons décrit, et en continuant l'examen autant que la forme de la courbe peut l’exiger, à reconnaître que les racines cherchées sont imaginaires, ou à les séparer si elles sont réelles. Dans ce dernier cas, l'intervalle 4b des deux limites proposées sera divisé en deux autres, dans chacun desquels se trouve une seule racine.

(27) Les figures 4 et 5 se rapportent au cas où le signe commun de f(a) et f (b) est +. Si les deux suites de signes (a) et (b) que l’on doit comparer , et qui ne diffèrent que par l’avant-dernier signe —, sont ainsi terminées,

et

la construction est celle des figures 4! et 5’. L’arc m prna aucune sinuosité, mais seulement un point p où l'inclinaison est nulle. Cet arc est convexe dans toute son étendue, parce que le signe de la fluxion du second ordre est —. Il existe deux points d’intersection 4 et 6 si la position de l'arc est celle que représente la fig. 4, et ces deux points d’intersection manquent à la fois dans l’intervalle si la position de l'arc est celle que représente la figure 5’. La règle qu'il faut suivre pour reconnaître si les deux racines cherchées sont réelles ou imaginaires est exactement la même que celle que nous venons d'exposer.

(28) Nous résumerons comme il suit, l'énoncé de cette règle. Si après avoir substitué deux limites « et b dans la suite des fonc-

tions ft) (x), f(x)... f(æ), J'(æ),. f(æ), et comparé les signes

des résultats de la suite (a) à ceux des résultats de la suite (), on remarque que la seconde suite () a.deux changements de signes de moins que la suite (a), et qu'en omettant les deux derniers signes de chaque suite, la seconde a autant de changements de signes que la première, il faut pour juger si les deux racines indiquées sont réelles, comparer les résultats f'(a), f (a), et f"(b), f(b), abstraction faite de leurs signes, c’est-à-dire en attribuant à toutes ces Se) FC) J'@)’ FO)

la somme de ces quotients, surpasse ou égale b— a, on est assuré

quantités le signe +. Si l’un des deux quotients , Où Si

que les deux racines cherchées sont imaginaires.

Si la condition précédente n’a pas lieu , en sorte que la somme des deux quotients soit moindre que la différence b— a, on examinera si les fonctions f(x) et f'(x) ont un facteur commun + (x), et si l'équation $(x)—0 a une racine réelle entre a et b. Si ce diviseur commun 9(x) existe, et si de plus l'équation ?(x)—0 a une racine réelle c comprise entre a et Ÿ, Lou ES a deux racines réelles égales à c.

Mais si les deux fonctions f(x) et f'(x) n’ont pas de diviseur comimun, ou si ce diviseur (x) existant, l'équation 9(x)—0 n'a pas une racine réelle entre a et b, ce que l’on connaît facilement par les principes ci-dessus exposés, il faudra examiner si les deux racines de l'équation f(x) —o indiquées entre a et à peuvent être séparées par la substitution d’un nombre intermédiaire c plus grand que a et moindre que b. On substituera donc un tel nombre c dans f{æ). Si le signe de /(e) n’est pas le même que celui de (a) et,f(b), les deux racines cherchées sont réelles ; l’une est entre « et c, et l’autre entre c et à. Si au contraire le signe de f(c) est le même que celui de /{a) et f(b), on en concluera que les deux limites a et à n'étaient pas assez approchées pour que l’on püt connaître par un premier examen la nature des racines. Choisissant donc celle des deux limites & et à dont la substitution dans /”(x) donne un résultat de signe contraire à celui de f'(c), et désignant par d cette

limite, on opérera pour l'intervalle compris entre c et d de même qu'on vient d'opérer pour l'intervalle compris entre « et b. En continuant ainsi l'emploi de ce procédé, dont la pratique est trèssimple, on parviendra par une voie certaine à reconnaître qu'il n'y a point de racines dans l’urtervalle proposé, ou à séparer ces racines si elles existent.

(29) Nous appliquerons cette règle à divers exemples, et premièrement à l'équation

LH" Gt o—0

citée dans l’article 14. On a vu que cette équation a une racine réelle comprise entre — 10 et — 1, et qui se trouve entièrement séparée. La comparaison des suites qui répondent aux limites o et 1 indique que l’on doit chercher les deux autres racines dans cet intervalle : mais on ignore si ces racines existent en effet, ou si elles sont imaginaires.

Pour faire usage de la règle précédente, on compare les deux

suites ST @), f(x), f(x), f(œ) (Oo)... + + Q + (HEURE sk Lbnqre 4 2

On écrit au-dessous des deux derniers signes les valeurs numériques des résultats : car il est nécessaire de considérer ces valeurs pour connaître la nature des racines. Les suites présentent le cas que nous avons d'abord examiné, c'est-à-dire que l'équation /” (2) =0 ne peut avoir aucune racine entre o et 1, et que l'équation f(x) — 0 a une seule racine réelle dans cet intervalle. Il s’agit de reconnaître si l'équation f(x) —0o a deux racines réelles entre ces limites, ou si les deux racines indiquées sont imaginaires. On écrira conformément à la règle, et abstraction faite des signes, les deux quotients Fe et FR savoir 3 et 2 et l’on examinera’si l’un de ces quotients, ou si leur somme, surpasse ou égale la différence 1 des

Fe 17

deux limites. Cette condition ayant lieu, on.est assuré que les deux racines indiquées sont imaginaires. Ainsi l'équation proposée a une seule racine réelle entre — 10 et — 1. Elle manque de deux racines dans l'intervalle de o à 1. |

(30) Nous choisirons pour second exemple de Papplication de la même règle l'équation

x +ai+ x — 25x— 36—0

citée dans l’article 15. On a vu que deux racines sont indiquées dans l'intervalle de — 10 à 1 : il s’agit de reconnaitre si les deux racines sont réelles , ou si elles manquent entre ces limites. On résoud cette question en comparant, selon la règle de l’article 28, les deux suites

Nous avons écrit au-dessous des deux derniers signes de chaque suite les valeurs numériques des résultats. Les deux suites comparées satisfont aux conditions que suppose l'énoncé de la règle.

On examinera donc si l’un de ces quotients HORPOE —, ou si leur 45955 26 | somme, surpasse où égale la différence 9 des deux limites; et comme cela n’a pas lieu, on en conclut qu’il faut subdiviser l'intervalle de — 10 à — 1. Mais avant de procéder à la substitution d’un nombre

intermédiaire, on doit examiner si les fonctions f(x) et f(x), ou 2 +at+a—95x— 36 et 5 xt + 4x + 2x— 925,

ont un diviseur commun, et si ce diviseur a une racine réelle entre — 10 et — 1. Ce diviseur n’existant pas, on substitue au lieu de x un nombre compris entre — 10 et — 1, et exprimé par un seul chiffre. Si lon prend —2 pour ce nombre intermédiaire, et si l'on cherche les signes de la suite des résultats que donne la substitution

de — 2 dans les fonctions

Fe), "GI, f(x), (x),

on trouve CL. RS URSS dite (EEE 2 ef re ARR CD" hs — + — Ed

On compte cinq changements de signe dans la suite (— 10), quatre dans la suite (—-2) et trois dans la suite (— 1). Par conséquent la substitution du nombre intermédiaire a séparé les racines indiquées. Elles sont donc réelles : l’une estentre — 10 et — 2, et l'autre entre — 2 et — 1.

Ainsi l'opération qui a pour objet de déterminer la nature et les limites des racines, est achevée. L'équation a deux racines imaginaires et trois racines réelles : l’une est comprise entre — 10 et — 2, la seconde entre — 2 et — 1, et la troisième entre 1 et 10.

(31) Nous avons supposé jusqu'ici que les deux suites comparées sont telles 1° que la seconde a seulement deux changements de signes de moins que la première, et 2° qu'en omettant les deux derniers signes, les deux suites ont le même nombre de changements de signes. Mais la succession des signes dans les deux suites est susceptible d’un très-grand nombre de combinaisons, et le nombre des racines indiquées peut être plus grand que 2. Il nous reste à montrer que, dans tous les cas possibles, l'application de la même règle suffit pour distinguer facilement les racines imaginaires. Cette distinction s'opère par la comparaison des résultats que donne la substitution des limites a et b dans les fonctions

LOC) LE (oh Pa) à A) (ES

Ces résultats sont

SV (Q), Fa), FT (a), ….. F'(a), Fe), Fo, PV), F0), FE), FE), FO), FE).

On comptera dans la première suite combien il se trouve de chan-

gements de signes depuis le premier terme f”(a) jusqu’au second, au troisième, au quatrième, etc., en procédant de gauche à droite. On marquera au-dessus de chaque terme, tel que f"—° (a), le nombre h de changements de signes contenus dans la suite jusqu’au terme ff" (a), en y comprenant ce terme. On désignera de la même manière dans la seconde suite combien il se trouve de changements de signes depuis le premier terme jusqu'à un terme quelconque f%-9(b). Soit À le nombrede changements comptés dans la seconde suite jusqu'à ce terme f("—"{(b). On prendra la différence À — k des deux nombres correspondants marqués dans l’une et l’autre suites, et l’on écrira entre les deux termes cette différence, que nous désignons par Ÿ, et qui ne peut jamais être négative (art. 7). On forme ainsi à l'inspection des deux suites une série d'indices placés entre les termes de ces suites.

(32) Par exemple si les signes des résultats dans les suites comparées sont tels que les représente la table suivante,

m (m—2) (m—3) m—4) m—5) A FT CSST) PC) - GA TAONC, o 2 BIO NU 4615 160 66 7 8 (a)... + 2 T4 + lire Emo ol — oO 0 1 I i D) 1H 1211229542 0 A 1h D (b). 5. 40h pitié ER TOR ANG, o I 1 I 1 I 2 CLR 3 3. 1.4 Â

la série des indices formée selon la règle précédente sera 010 LIT 2 UN 2 0 / OI

Nous désignons en général cette série par

D} ND: d'A

Le dernier indice À montre que l'équation proposée f (x) —0 ne peut pas avoir entre les limites a et b plus de racines réelles qu'il n'y a d'unités dans A. En général un indice quelconque à qui correspond à la fonction f(x) fait connaître que l'équation f(” (x) — 0 ne peut pas avoir entre les limites & et à un nombre de racines

plus grand que 5. Ainsi, dans l'exemple cité, l'équation proposée f(x)—0 ne peut pas avoir entre a et à plus de cinq racines : on est assuré que l’une de ces racines est réelle. Quant à l'équation f'(x)=0, le nombre des racines indiquées est 4 : cette équation ne peut donc avoir entre les mêmes limites & et & plus de quatre racines. Il en est de même à l'égard de l'équation f(x) = 0. Pour l'équation f”(æ)—0 le nombre des racines indiquées est 3 : une de ces racines est certainement réelle.

La valeur d’un indice quelconque étant désignée par ©, celle de l'indice suivant est à, ou Sr, ou à + 1 : cela est une conséquence évidente de la formation de la série. Il est nécessaire d’insister sur cette dernière remarque, parce que nous devons en faire usage dans la suite de cet ouvrage en traitant des fonctions transcendantes.

(33) Lorsque le dernier indice A est o, l'intervalle des limites a et b est, comme nous l'avons dit, un de ceux où l’on ne peut chercher aucune racine de la proposée f(x) — 0.

Si ce dernier indice A est 1, l'équation f(x) — 0 a une seule raeine réelle entre a et b. Les indices précédents, qui répondent à f'(x) et f(x), peuvent être différents de zéro ou de 1 ; mais il est facile de voir qu'en diminuant à volonté l'intervalle de & à b par la substitution de nombres intermédiaires, on peut faire en sorte que l'indice pénultième qui répond à f'(x) soit o. En effet f(x) et J'(x) n'ont point de diviseur commun (x) qui puisse devenir nul par la substitution d'un nombre compris entre & et b : car si cela . était, l'équation f(x) — 0 aurait deux racines réelles égales dans l'intervalle de « à . Or le dernier indice étant r , l'équation f(x) —0 ne peut pas avoir plus d'une racine réelle ; entre & et b. Donc on peut diminuer et ensuite augmenter la valeur de la racine réelle jusqu'à des limites «’ et D’, telles que l'équation f(x) — 0 ne puisse avoir aucune racine entre ces mêmes limites. Donc pour les limites a’ et D’ le dernier indice sera 1, et le pénultième zéro.

Les constructions rendent très-sensible la vérité de cette conséquence. En effet on est assuré que la ligne dont l'équationest y = f(x)

coupe l'axe des abscisses (fig. 6) en un certain point « placé entre a et b, puisque l'équation f(x) —0 a, par hypothèse, une racine réelle dans cet intervalle. Or il est évident que, depart et d'autre de ce point « d’intersection, il existe un intervalle a’ D’ tel que l'arc ua y situé au-dessus de cet intervalle n’a aucun point où l'inclinaison de la tangente soit nulle. Il n’y aurait qu'une seule exception, celle où, dans le point même d’intersection, l'inclinaison serait nulle. Mais dans ce cas les deux fonctions f(æ) et f(x) s'évanouiraient ensemble pour cette valeur 4: de x. Par conséquent l'équation f(x)— 0 aurait au moins deux racines réelles égales dans l’intervalle de a à b. Donc le dernier indice ne serait pas 1, comme on le suppose; il serait au moins 2, puisque l'équation f(x) —0o ne peut avoir plus de racines réelles inégales ou égales dans l'intervalle des deux limites, qu’il n’y a d'unités dans le dernier indice.

Lorsque l'intervalle des deux limites satisfait à cette condition, qui peut toujours être remplie, savoir que le dernier indice est 1 et que le pénultième est o, nous disons que la racine réelle comprise dans l'intervalle est entièrement séparée; et nous donnons dans le second livre de cet ouvrage les règles propres à en calculer la valeur par la voie la plus briève.

(34) Si le dernier mdice n’est m0 ,ni 1, l'intervalle est un de ceux dans lesquels on doit chercher plusieurs racines. C’est alors seulement qu'il peut devenir nécessaire d'appliquer la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires.

Supposons donc que le dernier indice soit 2, ou plus grand que 2: on procédera comme il suit à la séparation des racines.

Ayant formé, comme nous l’avons dit ci-dessus, la série des indices entre les termes correspondants des deux suites (a) et (b), on parcourra cette série de droite à gauche jusqu’à ce qu'on trouve pour la première fois l'indice 1. Soit f(x) celle des fonctions de la suite

SE), Se). PO»). SP (@), fe), f(x)

qui répond à cet indice. On voit que les racines sont séparées jus-

qu'à ce terme, c'est-à-dire qu'en s’arrêtant à f(x) on est assuré que l'équation f(x) —0o à une seule racine réelle entre a et 2. II faut maintenant poursuivre cette séparation en sorte que l'indice 1 s'approche de plus en plus de l'extrémité de la série à droite, jusqu'à ce que le dernier indice A soit l'unité, ce qui est le terme de l'opération.

L'indice 1. auquel on s’est d'abord arrêté, et qui répond à la fonction f"(x), est nécessairement suivi à droite de l’indice 2. Car nous avons remarqué plus haut que l'indice 9’ qui suit l'indice à ne peut être que d,ou Ÿ—1,ou à + 1 : donc l'indice 1 dont il s’agit ne pourrait être suivi que de 1, ou 0, ou 2. Or cet indice suivant n’est pas 1, puisqu'on s’est arrêté au terme que l’on trouve égal à 1 pour la première fois. Si l'indice suivant était o, il faudrait que cet indice o augmentât dans la partie ultérieure de la série, puisque sa dernière valeur est par hypothèse 2, ou plus grande que 2. Donc l'indice o augmentant, passerait par la valeur 1 ; donc l'indice auquel on s'est arrêté ne serait pas , comme on le suppose, le premier terme que l'on trouve égal à 1 en procédant de droite à gauche. Ainsi l'indice 1 le plus voisin de l'extrémité à droite est certainement suivi de 2. Or si ce même indice 1 n’est pas précédé de zéro, on peut diminuer l'intervalle des limites & et à, en sorte que cette dernière condition soit remplie. En effet supposons que les indices qui répondent aux fonctions f(x), f(x) étant 1 et 2, celui qui répond à la fonction précédente f(x) ne soit pas zéro. On formera dans l'intervalle des limites & et à un intervalle moindre compris entre a’ et D", et dans lequel l'équation f"+9(x) —o n'ait aucune racine. Nous avons prouvé précédemment, art. 33, qu'il est toujours facile de satisfaire à cette condition. On a donc à considérer dans l'intervalle des limites données « et à un intervalle partiel compris entre les nouvelles limites a! et D’, et tel que les indices correspondants aux fonctions /+"{x) et f (x) soient respectivement o et 1. Ainsi l'intervalle primitif de & à b se trouve formé de trois autres, savoir celui de « à a/!, celui de a! à b', et celui de

Il est manifeste que dans le premier de ces intervalles terminé par les limites a et a’, et dans le troisième entre les limites à et b, l'équation f”(x)— 0 ne peut avoir aucune racine, puisque la seule racine réelle entre les limites a et b est placée entre les nouvelles limites a’ et bd. Donc pour chacun de ces intervalles extrêmes « et a, ou b'et b, l'indice correspondant à la fonction f(x) serait o. Il s'ensuit que pour chacun de ces intervalles a et a', ou b' et b, la séparation des racines est portée au-delà de la fonction f(x); c'est-à-dire que si dans l’un ou l’autre de ces intervalles partiels, il existe après l’indice o un indice égal à 1 , il répond à une fonction plus avancée que f (x) vers la droite. Quant à l'intervalle partiel de a” à db”, on sait que l'indice qui répond à f(x) est 1 ; et il peut arriver que le terme 1 ne soit plus le dernier indice égal à 1, en sorte qu'on y trouverait un autre terme égal à 1 et plus avancé vers la droite. Dans ce cas, la séparation des racines est continuée audelà de la fonction f(x). Mais il peut arriver aussi que l'indice 1 qui répond à /‘"(x) soit encore pour cet intervalle de a' et L’ le terme ; le plus voisin de l'extrémité à droite. Dans ce second cas l'indice 1 dont il s’agit est suivi de 2; par conséquent les indices correspondants aux fonctions

STE), Fe), FEV (&),

sont

Il résulte de cet examen qu'en divisant l'intervalle primitif des limites a et à, on fait avancer de plus en plus vers la droite, dans chaque intervalle partiel, l'indice 1 le plus voisin de l’extrémité, à moins que dans certaines parties de l'intervalle on ne vienne à remarquer que le dernier indice égal à 1 étant suivi de 2 est précédé de 0. C’est seulement lorsque cette dernière condition se présente, qu'il convient d'examiner si les racines indiquées sont imaginaires. Dans tous les autres cas, on doit poursuivre la séparation des racines jusqu'à ce que le dernier indice de la série soit 1.

(35) I ne nous reste par conséquent qu'un seul cas à considérer,

celui pour lequel on trouve que le dernier indice égal à r étant suivi de 2 est précédé de o.

Soit donc un intervalle compris entre deux limites a et b, et qui a les propriétés suivantes.

En comparant la suite (a) des signes qui proviennent de Ja substitution de la limite a dans les fonctions

FO), Le), Leo), PC) (2) LC

à la suite (b) que donne la substitution de l’autre limite D , et formant par cette comparaison la série des indices, on marque dans cette série le terme 1 le plus voisin de l’extrémité à droite, et l’on voit que ce dernier indice égal à 1 est précédé de o et suivi de 2. Ces indices consécutifs

répondent aux fonctions

Fe) RE) CT (os).

Ainsi l'équation f"*"(x)—o ne peut avoir aucune racine entre. a et b. L'équation f'"”{x) —o a dans cet intervalle une racine réelle, et n’en peut avoir qu'une. Quant à l'équation f""”(x) —0, elle ne peut päs avoir entre a et à plus de deux racines réelles. I s’agit de reconnaître si ces racines existent, ou si elles manquent entre les mêmes limites. Dans le premier cas la racine exacte de l'équation J'Kx) — 0 étant substituée dans f(x) et dans f"+"”(x), donnerait deux résultats de signe contraire, et dans le second cas les résultats des deux substitutions auraient le même signe. La queston consiste à distinguer lequel de ces deux cas à lieu. Or nous avons résolu cette question par la règle énoncée dans l'article 28 : il suffira donc d’appliquer cette règle aux trois fonctions f+"(x), f(x), f(x), et aux limites a et b. Si l’on reconnaît que les deux racines de l'équation ff"? (x)—o sont réelles, elles seront séparées, et l'intervalle des limites & et à se trouvera divisé en deux autres, pour chacun desquels on aura la série d'indices qui lui est