ET

propre. Dans l'une et l'autre série l'indice 1 le plus voisin de l’extrémité à droite sera porté au-delà de la fonction f(x).

Mais si l’on reconnaît que l'équation f(—(x)=o manque de deux racines dans l'intervalle de a à b, on en conelura qu'il en est de même de toutes les équations suivantes

En effet l'équation f(x) —o manque de deux racines parce. qu'il se trouve entre ces mêmes limites une racine réelle 7 de l’équation f(x)—0o qui, substituée dans f"+9(x) et f(x), donne deux résultats de même signe. Donc la suite des signes des résultats perd deux changements de signe lorsque la valeur de x devient égale à celle qui rend nulle la fonction ft (x) ; donc l'équation proposée f(x)— o manque aussi de deux racines dans l'intervalle des limites & et b. Il s'ensuit que dans chacun des indices correspondants aux fonctions

FC), SPP FN). S'(), S'@), ©,

il se trouve une partie de cet indice égale à 2, et correspondante aux deux racines qui manquent en cet intervalle dans les équations

FAD= So, FU), PR, f'(a)=0, fa).

Cette partie de chaque indice qui est égale à 2 doit donc être distinguée de la partie restante, eton peut l’omettre. Il n'y a plus que la partie restante qui indique combien on doit encore chercher de racines dans l'intervalle des limites. Par conséquent on retranchera 2 de chacun des indices qui répondent aux fonctions

l'N t-0(a) JP (æ), FIX), f(x), S'@), F(),

en sorte que celui de f(x) deviendra zéro.

En rapprochant les propositions qui viennent d’être démontrées on voit que dans tousles cas, soit que les deux racines de l'équation AE Ma CG soient réelles, soit qu'elles manquent dans l'intervalle

des limites & etb, l'opération précédente donne de nouvelles séries d'indices dans lesquelles le terme 1 le plus voisin de l’extrémité à droite est plus avancé vers cette extrémité qu'il ne l'était auparavant. On appliquera donc la présente règle à chacune de ces séries, et l’on parviendra nécessairement à des séries d’indices dont le dernier terme sera 6, ou dont le dernier terme sera 1.

(36) Les deux exemples suivants offrent des applications de la règle que lon vient de donner pour la séparation des racines.

On a vu article 12 par l'analyse de l’équation

d— Da — 2/42 + 952 — 46 x— 101 —0

que l’on doit chercher entre les limites 1 et 10 trois racines, dont

une est certainement réelle. Il s’agit de reconnaître si les deux autres

existent, ou si l'équation a deux racines imaginaires qui manquent

dans cet intervalle. On procédera comme il suit à cette distinction. Les deux suites que l’on doit comparer sont

F'() Fe, fo) fe), FR, FC)

PNR + —" + Ph 120 48 156 30 65 78 O 0 I 2 2 5) (10)... + + + +- + +.

La série des indices, formée selon le procédé de l’article 31, est 001223. Le dernier indice étant 3, l'intervalle est un de ceux auxquels on doit appliquer la règle de l’article 35. On à écrit audessous des signes des résultats les valeurs numériques des fonctions correspondantes.

En pareourant de droite à gauche la série de ces indices depuis le dernier terme 3, on trouve pour la première fois l'indice 1 correspondant à la fonction f(x): ce terme 1 est suivi de 2, et précédé de o. Ainsi les trois indices consécutifs font connaître que l’on doit appliquer aux fonctions f(x), f"(x), f” (x) la règle de l'article 28 qui sert à distinguer les racines imaginaires. On écrira donc

30 , ; AY A =, ———: et l’on examinera si l’un de ces quotients les quotients F6”. 8136? l ;

ou si leur somme, surpasse ou égale la différence 9 des deux limites. Cette condition n'ayant pas lieu, on en conclut que les limites 1 et 10 ne sont pas encore assez approchées pour que l’on puisse déterminer par une seule opération la nature des racines. On substituera donc un nombre intermédiaire : mais il faut auparavant, conformément à la règle énoncée, examiner si les fonctions f(x) et f(x), qui sont

20 2° — 362 —144x + 190 et 602 —72x— 144,

ont un diviseur commun. Ce facteur commun n’existañt pas, on substituera dans les fonctions un des nombres compris entre 1 et 10, et exprimé par un seul chiffre.

La substitution des nombres 2 et 3 donne les résultats suivants, que nous joignons aux suites (1) et (10).

PPT LS GS" (æ), FT (æ), f(æ)