AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR

coefficients numériques, de ne faire aucune réduction dans ces coefficients, enfin d'indiquer par des zéros celles des parties des coefficients qui manqueraient dans quelques cas particuliers. Toutes ces particularités étant observées, lorsqu'il s'agira de substituer dans la proposée pour linconnue x + un terme numérique que je représente par N,on procédera ainsi à cette substitution. Dans la transformée par æ+1 on mulüpliera par N la première partie d’un coefficient de x; réduisant le produit avec la même partie du même coefficient, on multipliera le résultat par N. On continuera ainsi d'opérer sur le résultat en le multipliant par la troisième partie et multipliant le résultat par N jusqu’à ce qu’on ait fait la réduction de la dernière partie, auquel cas le résultat de cette réduction sera le coefficient numérique qui, dans la transformée par + N, doit accompagner la puissance de x dont on vient de considérer le coefficient. Par ce moyen on formera la table suivante. On écrira les nombres 0, 1, 10, 100, en les disposant verticalement. À côté de chacun de ces nombres on écrira les signes seulement des termes des transformées PAT +0, CET; LFIO, tFTroù,'etc?, en continuant cette opération jusqu’à ce qu’une des transformées n'ait que des signes positifs, ce qui ne peut jamais manquer d'arriver. Alors entre deux des nombres 0, 1, 10, 100, etc. il y aura autant de racines possibles que la transformée par le premier nombre aura de variations de plus que la transformée par le second. On connaîtra donc le nombre des chiffres qui composent l'expression de chacune des racines. Je suppose présentement que l’une des racines ait été trouvée avoir trois chiffres : pour en connaitre le premier on écrira les nombres 200, 300, 400 , etc., à côté desquels on rangera les signes des transformées donnés par chacun de ces nombres; puis on jugera par la combinaison des signes quels sont les deux nombres consécutifs entre lesquels se trouve la racine cherchée, c’est-à-dire qu'on déterminera le premier chiffre de la racine. »

XXVI. L'intitulé de cet article est : Règle pour trouver un chiffre quelconque d’une racine dont on connaît le chiffre précédent. Nous en donnons encore la copie textuelle. « On suppose que dans l'exemple précédent on ait connu que la racine se trouve entre 600 et 700, auquel cas son premier chiffre est 6. On cherchera la transformée par x + 600, qu'on a déja calculée, puis appliquant à cette équation la règle précédente, on trouvera le premier chiffre de la racine qui n’est composée que de de chiffres. Ce premier chiffre sera le second de la racine demandée. Connaissant ce second chiffre, que je suppose 4, dans la transformée

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. x]

par æ +40, qu'on aura calculée précédemment, on cherchera le premier chiffre d’une racine qui ait moins de deux chiffres : ce premier chiffre sera le troisième cherché. En général on observera la règle suivante. On choisira la transformée donnée par la substitution de x plus la partie de la racine qui vient d’être découverte, On cherchera par les règles précédentes le premier chiffre de celle de toutes ses racines qui aura le moins de chiffres : ce premier chiffre sera celui qui dans la racine demandée suit ceux que l'on connait déja. Si plusieurs racines de cette transformée doivent avoir un même moindre nombre de chiffres, on pourrait choisir celle qu'on voudrait de ces racines. On continuera d'appliquer ces règles jusqu’à ce qu’on ait trouvé tous les chiffres de la racine, auquel cas, si la valeur est entière , on ne pourra manquer de la connaître. Si la racine est incommensurable on cherchera par les mêmes principes autant de chiffres décimaux qu’on le jugera nécessaire, »

XXVIL L'auteur remarque qu’en appliquant la méthode précédente, si deux ou plusieurs racines doivent avoir quelques-uns de leurs premiers chiffres communs, on trouvera ces premiers chiffres multiples. Si deux racines devaient être imaginaires on trouverait par cette méthode une suite de chiffres doubles pour l'expression de ces racines. Par conséquent si dans la recherche des racines on en trouve deux ou un plus grand nombre qui soient incommensurables, et en même temps telles que les chiffres des unités entières et d’approximation soient multiples doubles, par exemple, on sera dans l'incertitude sur la nature de ces racines, c'est-à-dire si elles sont égales et incommensurables, inégales et incommensurables, ou bien imaginaires. À la vérité ilest facile des’assurer par les méthodes connues si le premier cas a lieu, mais on ne peut disüinguer les deux autres. Il manque donc ici un caractère auquel on puisse reconnaître si les deux racines sont imaginaires. La question consiste, dans le cas où deux racines seraient exprimées par plusieurs chiffres communs à l’une et à l’autre, à trouver si ces deux racines sont inégales ou si elles sont imaginaires.

XX VII. Cet article est intitulé : Premiere Solution de la question préeédente. Cette solution consiste à chercher une quantité moindre que la plus petite différence de deux racines de la proposée. On substitue Z+,y à la place de x dans la proposée, puis on élimine x entre la transformée qui en résulte et la proposée elle-même. L’équation finale en y est du degré 7»? : elle aura m racines égales à zéro, et par conséquent sera, en divisant par y autant de fois qu'il sera nécessaire, du degré

xij AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

m(m—1). Tous les termes pairs manqueront toujours. Ainsi faisant \ \

, I 1 ’ 7°=2, l'équation en z sera du degré ) . Dans cette dernière équa-

tion on cherchera par les règles précédentes une quantité plus petite que la plus petite racine positive , c'est-à-dire une quantité telle que la transformée que donnerait la substitution de z plus cette quantité ait les mêmes signes que l'équation en z,ou au moins qu’elle ait le même nombre de variations. Soit d cette quantité : |//4 sera plus petite que la plus petite racine positive de l'équation en y. On approchera des racines dont il s’agit jusqu’à ce qu’elles ne puissent différer que d’une quantité plus petite que 1/4. Si en faisant cette approximation ces racines se séparent, elles sont réelles. Si, cette approximation faite, elles sont encore exprimées par les mêmes chiffres, elles sont imaginaires si leur nombre est pair, et dans le cas contraire une seule d’entre elles est réelle.

XXIX. L'auteur remarque « que cet artifice peut faire reconnaitre les racines égales; qu’on peut aussi s’en servir pour reconnaitre si une équation proposée a ou n'a pas toutes ses racines réelles, et que c’est pour cet usage même qu'il a été imaginé. Toutes choses étant comme dans l'article qui précède, sil’équation en z a toutes ses racines positives, OU, ce qui revient au même, si ses termes ont alternativement les signes + et —, la proposée n’a pas de racines imaginaires, et réciproquement. On peut aussi par ce moyen connaître dans bien des cas le nombre des racines imaginaires. Au reste tous les cas possibles sont prévus dans lénoncé des règles précédentes. On trouvera dans les applications qui suivent des moyens plus directs et plus faciles pour découvrir l'imaginarité des racines. On se contentera de les appliquer à quelques exemples qui suffisent pour faire voir qu'ils sont généraux, et quil ne leur manque que d’être mis en ordre et réduits à une pratique facile. »

XXX. Cet article est le dernier de la partie du manuscrit qui a été conservée. Le discours est interrompu à la fin du 14° feuillet ou de la 28° page, et sur cette dernière page, aussi bien que sur une partie de l'avant-dernière, les intervalles laissés en blanc par l'écrivain pour y placer les lettres et signes algébriques n'ont point été remplis. Les figures indiquées dans le texte n’existent pas non plus. Nous rapporterons ici le premier et le dernier des exemples donnés par l’auteur. Étant proposée l'équation

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xiij on connait d’abord que cette équation ne peut avoir que deux racines positives et une nég gative. La racine négative est sûrement réelle; mais les deux positives pourraient être imaginaires. Pour trouver les racines positives on opérera comme il suit. Substituant x + 1 au lieu de +, on aura la transformée suivante.

LH 32 + 3x + 1 2 br ‘= ro2 +4 5 +24 + 524

Appliquant les règles prescrites, on formera la table suivante,

D se elite GO ER — + AE:

LPS. SOL JAN LUE — + 1 ON DO LUE AUDE Se — — SE 10017648 LEE, GOT + À +.

On connait à l'inspection de cette table que les deux racines ne sont ni entre o et 1, ni entre 1 et 10, mais qu’elles se trouvent toutes deux entre 10 et 100; qu'ainsi chacune d'elles est exprimée par deux chiffres. Pour trouver la plus petite de ces deux racines on formera par une pratique extrêmement facile la table qui suit.

D KE PRE ES A MEURES E —- — —+- OR CE LE +- —+- — MEL ne sos - Let + + +.

Cette table fait connaître que la première racine est entre 20 et 30, et la seconde entre 30 et 4o. Ainsi 2 est le premier chiffre de l’une et 3 est le premier chiffre de l’autre. Pour trouver le second chiffre de la première on substituera dans la proposée x+4-20 à la place de x, et l’on trouvera

équation dans laquelle le premier chiffre d’une racine exprimée par un seul chiffre sera le second demandé. Faisant dans cette équation x—Z+I, où aura +3x + Gr+ 7 HS 0 EN O — 316 —316 + 840

xiv AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

et d'après cela

Dhiisboae notie h Re 7 À sa eu air Fr se ch RAI TR E + — O

3 étant donc la racine de la proposée exprimée par un seul chiffre, est le second de la racine cherchée qui est par conséquent 23. On pourrait de même trouver la seconde racine, qui est incommensurable, en cherchant son second chiffre, puis autant de chiffres décimaux qu’on voudra l'exiger. Le dernier exemple présenté par l’auteur est l'équation

x —bx+6—=0,

qui a sûrement une racine réelle négative, et peut avoir deux racines positives. L'auteur cherche d’abord la racine négative, dont le premier chiffre est —2. Quant aux deux racines positives, il procède de cette maniere. Substituant x + 1 à la place x, il a en premier lieu

LI 4324 3 4 1 +0 +0 +o

ne billes D + 6; il forme ensuite le tableau ORAN PRIE o Dre Le TOUR Re ce + :

puis le tableau Le mettant —— — +

Les deux racines se trouvent entre 1 et 2, et l’on peut soupconner qu'elles sont imaginaires. L'auteur reconnaît en premier lieu que les deux racines sont effectivement imaginaires, en formant l’équation au carré des différences, au moyen de laquelle on voit d’abord que la proposée ne doit pas avoir toutes ses racines réelles, et de plus que l'unité est plus petite que la moindre différence des racines de la proposée, d’où il résulte que les racines cherchées sont nécessairement imaginaires, puisqu'elles seraient comprises entre 1 et 2. Il ajoute ensuite les remarques suivantes, que nous copierons textuellement. « On peut s'assurer

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. kvy

de cette imaginarité d’une autre manière, et on va donner une idée de cette seconde méthode, qui est plus directe et plus expéditive que la précédente, en l'appliquant à ce dernier exemple. Si en effet on y applique les principes précédents, en décrivant les courbes qui précèdent celle qui doit représenter les racines de la proposée, on ne trouvera rien d’indéterminé. Mais à l'égard de cette dernière on ignorera si dans la description la courbe atteindra on n’atteindra pas la partie positive de l'axe; car pour la partie négative il ny a aucun doute. Dans le premier cas, que représente la 5° figure, les deux racines sont réelles et positives ; dans le second (fig. 6°) ces deux racines manquent à l’équation. La question est de trouver lequel de ces deux cas a lieu. Pour cela je place dans les deux figures les axes désignés par les chiffres et , de manière que le premier donne par ses intersections avec toutes les courbes la suite donnée par la substitution de et que le second donne la suite - Alors je remarque que si la figure 5° doit avoir lieu, c’est-à-dire si les racines doivent étre réelles, la sous-tangente de la dernière courbe au point où l’axe des ordonnées coupe celui des abscisses ne peut atteindre la première des racines. J’observe que dans le cas de la 6° figure il est possible que cette sous-tan-

gente qui répond à l’axe conduise au-delà du minimum, c’est-àdire que l’axe placé à son extrémité peut donner la suite

- Que conclura-t-on donc de cette remarque dans le cas présent? qu'il faut calculer la Sous-tangente qui répond à l’axe > EXAminer si l'axe placé à son extrémité donne la suite des signes -

Dans ce cas on est assuré que les deux racines cherchées sont imaginaires. Si cet axe donne encore deux variations, il restera encore le même doute sur la nature des racines. Que faudra-t-il donc faire alors ? calculer un nouveau chiffre pour les deux racines. Si ce chiffre est encore commun on réitérera l'examen de !a sous-tangente, et on continuera ainsi jusqu’à ce que les deux racines se séparent, ou que la sous-tangente en indique l’imaginarité : car il est impossible, si les deux racines ne sont pas égales, que l’un de ces cas n'arrive pas. Or dans tous les cas, en se servant de la méthode des courbes, il ne peut y avoir de doutes que sur la nature de deux racines. Ainsi on peut toujours employer l’artifice précédent, qui, comme on va le voir, est d’une pratique très-facile.

, . ’ L'expression de la sous-tangente est . Dans le cas présent, 3 pi = RES A 4 | , c'est-à-dire au point où répond l’axé , l'ordonnée est , et la tangente ou l’ordonnée de la courbe précédente est , comme l’in-

dique la transformée par qui est . Ainsi la sous-

xvi AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

tangente qui répond à l’abscisse est » Qui étant retranché de cette abscisse donne pour Pabscisse qui répond à l’axe F Or la substitution de apprend que cet axe ne donne aucune va-

riation. Donc les racines cherchées sont imaginaires. Je pourrais appliquer ce même artfice à beaucoup d’autres exemples : celui-là suffit pour prouver quil est général. Ce même moyen renferme la méthode d'approximation de , quoiqu'il paraisse en différer beaucoup. On voit delà que dans certains cas cette méthode d’approximation peut ne pas conduire au but. »

Il est évident que le nom omis dans cette dernière phrase est celui de Newton, et il ne serait pas moins facile de suppléer à toutes les autres lacunes : mais cela n’est nullement nécessaire, puisqu'il ne peut exister aucune incertitude sur le sens de l’article. Nous avons cru devoir donner un extrait étendu de cet ancien manuscrit parce qu'il est intéressant de voir sous quelle forme l’auteur avait d’abord présenté ses recherches, et parce qu'on y reconnait que dés cette époque M. Fourier était en possession des parties les plus importantes de l'ouvrage que nous publions aujourd’hui : la résolution des équations littérales, la séparation des racines des équations numériques, et la distinction des deux cas où il existe entre deux limites très-voisines ou un couple de racines imaginaires, ou deux racines réelles presque égales, distinction fondée sur le tracé de la tangente menée par le point de la courbe correspondant à l’une des limites , et la comparaison de la valeur de la sous-tangente à la différence des deux limites.

Ces premières recherches ont été présentées à l’ancienne Académie des sciences. Il en est fait mention en ces termes dans le plumitif, séance du 9 décembre 1789. « M. Fourier a commencé la lecture d’un Mémoire sur les équations algébriques. MM. Monge, Legendre et Cousin.» On ne trouve aucune autre indication relative à ce travail danses plumitifs des années suivantes.

Le second manuscrit que nous devons faire connaître est un programme ou résumé général du cours d'analyse fait par M. Fourier à l’école Polytechnique. Cet ouvrage, composé de neuf feuilles, avait été conservé dans les papiers de l’auteur. 1l ne portait aucune signature ; mais des recherches faites dans ces dernières années ont constaté qu'il est écrit de la main de M. Dinet. Il suffira de citer le passage suivant.

«Il ne peut y avoir dans une équation numérique plus de racines réelles positives qu'il n’y a dans la suite de ses termes de changements de signes, ni plus de racines négatives que de permanences de signes. »

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xvi)

« Si le nombre des changements de signe est impair, il se trouve dans l'équation au moins une racine réelle positive. Il y a au moins une racine réelle négative si le nombre des permanences est impair, conformément à l’article...,.»

« Si dans les fonctions X, X’, X”, etc. données par la différentiation d'une équation X=—0, on substitue successivement deux nombres a et à, de même signe, et que l’on forme les deux suites des signes de ces résultats, l’excèdant du nombre des changements de signe de la suite qui répond au plus grand nombre & sur le nombre des changements de signe de la suite qui répond au nombre a indique le plus grand nombre des racines qui peuvent être comprises entre & et b, en sorte

qu’il ne peut jamais y en avoir plus entre ces deux limites. »

« Si l’une ou l’autre des substitutions précédentes réduit à zéro quelques-unes des fonctions X, X', X”, etc., on pourra donner le signe + ou le signe — au terme qui s'évanouit. Si on choisit d’abord les signes propres à donner lé plus grand nombre possible de changements de signe, puis ceux qui en donnent le moindre nombre possible, et que ces deux nombres different, il y aura dans l'équation au moins autant de racines imaginaires qu'il y a d'unités dans cette différence. »

Voici maintenant l'attestation consignée par M. Dinet à la suite du manuscrit. « Ces feuilles, au nombre de neuf, m'ont été présentées par M. Fourier : j'ai reconnu qu'elles avaient été écrites par moi en 1797, dans les derniers mois que j'ai passés à l’école Polytechnique. Mon but en les écrivant était de me former un tableau succinct des leçons que

J'avais reçues de M. Fourier à l’école Polytechnique, afin de me préparer à subir l'examen pour l’admission au corps des élèves ingénieurs constructeurs de vaisseau. J'avais fait le même travail sur les lecons de mécanique données par M. de Prony. En sorte qu’il est constant que la suite des propositions dont l’énoncé est inscrit dans ces feuilles a été développée par M. Fourier pendant les années 1796 et 1797. En rédigeant cette déclaration j'ai paraphé ces neuf feuilles au recto et au verso. A Paris, le 5 avril 1830. » Signé Dinet.

Le troisième manuscrit qui se trouve dans nos mains est intitulé : « Mémoire sur les limites des racines des équations algébriques. » Ce Mémoire contient une exposition détaillée'des parties les plus importantes des livres I et Il du présent ouvrage. Il suffira de citer l'attestation par laquelle il est terminé.

« Le présent mémoire composé de vingt-six pages a été écrit dans le

xviij AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

courant de l’année 1804. M. Fourier, préfet du département de l'Isère, nous donna connaissance dans cette même année de divers théorèmes sur la résolution des équations algébriques et nous en communiqua les démonstrations. Le premier était textuellement énoncé comme il suit. Étant donné une équation numérique 9x—0o d'un degré m, si dans le premier membre px et dans les 2 fonctions vx, 9x, @"x, etc. que l’on déduit de la première par des différentiations successives, on substitue deux nombres différents a et &, que l’on observe pour chacune de ces deux limites combien la suite des m + 1 résultats provenant de la substitution contient de variations de signes, on connaîtra combien équation proposée peut avoir de racines entre les deux limites substituées. »

« L'équation gxæ—0 ne peut avoir plus de racines entre a et à qu'il n'y a d'unités de différence entre le nombre A des variations de signe de la suite qui répond à la moindre limite a ,et le nombre B des variations de signe qui répond à la plus grande limite 2.»

« Si l'équation n’a point entre a et à autant de racines réelles qu’il y a d'unités dans la différence A—B, celles qui manquent sont en nombre pair, et correspondent à un pareil nombre de racines imaginaires dans la proposée px —o. »

« Le s6contl théorème contenait une règle importante qui dispense de recourir à la formation de l'équation au carré des différences, et sert à distinguer promptement avec certitude les racines réelles dés racines imaginaires dans les équations numériques de tous les degrés. »

« Les autres remarques qui nous furent communiquées ont pour objet,

° de diriger par des règles certaines l'application de la méthode d’approximation de Newton, 2° l’em ploi des séries récurrentes pour trouver toutes les racines tant réelles qu’ imaginaires et les diviseurs de tous les degrés dans les équations numériques. »

« Désirant conserver les principaux éléments de-cette nouvelle théorie des équations, nous rédigeèmes du consentement de M. Fourier un nombre assez considérable de notes qui contenaient les démonstrations. et les vues principales. »

«Le présent écrit fut achevé le premier. Nous concourûmes tous les deux à sa rédaction ; il a été écrit de la main de Chabert l’un de nous, et nous déclarons qu'il n’y a été fait aucun changement depuis 1804. »

« Nous avons rédigé avec plus de soin plusieurs autres notes sur le même objet dans le cours des années suivantes 1805 et 1806, et nous

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xix

n'avons cessé d'engager M. Fourier depuis l’année 1804 jusqu’aujourd’hui à publier ses découvertes sur la théorie des équations algébriques. »

Signés Chabert, doyen de la faculté des sciences de l'Académie de Grenoble; Bret, professeur à la faculté des sciences de l’Académie de Grenoble.

« Et en outre, moi, soussigné Bret, professeur à la faculté des sciences de l’Académie de Grenoble, déclare qu'il est à ma parfaite connaissance que dans les premiers mois de l’an 1803 M. Fourier expliqua publiquement à l'école Polytechnique les deux théorèmes ci-dessus rappelés, savoir 1° celui qui fait connaître le plus grand nombre de racines qu’une équation puisse avoir entre deux nombres donnés, 2° la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires. J'étais alors élève de l’école Polytechnique (*). Je me souviens très-distinctement que, sur la demande d’un des élèves, M. Fourier voulut bien donner quelques développements sur ce second objet, et qu'il se servit d’une construction fort élégante pour rendre sensible la vérité de cette démonstration. »

«Et pour que les faits ci-dessus énoncés demeurent constants nous avons redigé et signé la présente déclaration que nous affirmons sur notre honneur être véritable. Grenoble, ce 15 mars 18r2.

Signés Bret; Chabert.

« (*) Dans la seconde division, et j'assistai avec tous les élèves à cette explication donnée par M. Fourier. Je rédigeai au sortir de la séance la démonstration du 1° théorème. »

« Quant à la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires, elle nous fut publiquement communiquée avec la démonstration dans la même séance à l’École polytechnique. »

« Le présent est écrit de ma main, ainsi que la déclaration précédente dont il fait partie. »

Signé Bret, professeur de mathématiques transcendantes à la faculté des sciences.

Les deux citations précédentes établissent avec certitude que M. Fourier a exposé dans les cours dé l’école Polytechnique , avant et après l’époque de l'expédition d'Égypte, les principales propositions qui servent de base à ses méthodes de résolution des équations numériques.

L'auteur à fait mention de ces recherches dans son Mémoire sur la statique qui a été imprimé en l’an 6 (1797) dans le 5° cahier du Journal de l’école Polytechnique. On lit, page 46, « Nous avons dessein de

xx AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

publier dans ce recueil une suite de mémoires contenant des recherches nouvelles sur la théorie des équations. On se propose de reprendre dans son entier le problème de la résolution générale des équations...»

Les recherches dont il s'agit ont été également communiquées par l’auteur pendant le cours de l'expédition d'Égypte, soit dans la conversation, soit par des écrits présentés à l’Institut du Caire. Nous n’avons pas été à même de consulter les archives de cet Institut, mais nous trouvons dans la Décade égyptienne diverses indications des Mémoires lus par M. Fourier.

«26 fructidor an 6. Mémoire sur la résolution générale des équations algébriques. »

« 1° jour complémentaire an 6. Sur une roue à vent destinée à l’arrosage. »

«16 frimaire an 7. Mémoire de mécanique générale. »

« 16 pluviose an 7. Recherches sur les méthodes d'élimination. »

«11 messidor an 7. Mémoire contenant la démonstration d’un nouveau principe d’algèbre. »

Nous avons sous les yeux des écrits de la main de M. Fourier, qui ne portent à la vérité aucune date, ni aucune attestation étrangère, mais qui néanmoins doivent être regardés comme étant certainement, ou les Mémoires mêmes lus à l’Institut du Caire, ou du moins les minutes de ces Mémoires conservées par l’auteur. Les sujets traités dans ces écrits, qui se rapportent exactement aux indications précédentes, et la nature du papier et de l'encre qui prouvent qu'ils ont été faits en Égypte , ne laissent aucun doute à cet égard. Le dernier contient la démonstration très-développée du théorème principal relatif à la distinction des limites des racines réelles au moyen de la considération des signes donnés par la substitution d’une suite de nombres dans les fonctions dérivées.

Nous possédons également plusieurs notes très-étendues, dont une partie est écrite de la main de M. Chabert, et qui sont évidemment les notes mentionnées dans l'attestation précédente. Les propositions relatives à la distinction et au calcul des racines qui sont exposées dans.les deux premiers livres du présent ouvrage y sont développées fort en détail. Il y a des exemples d'application de ces méthodes à diverses équations , pour lesquelles on a construit et discuté la suite des courbes données par les équations dérivées. La plupart des feuilles portent de la main de M. Chabert et de la même écriture que le texte, la date de divers mois de l'an 12.

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xx)

Le passage suivant d’une lettre adressée par M. Poisson à M. Fourier, et portant la date du 24 avril 1807, confirme la vérité des faits que nous énOnÇOns ici. .... « Un docteur en médecine vient de publier un ouvragé sur la résolution numérique des équations..... Le docteur a entrevu votre théorème sur les changements de signes; il a de fortes raisons de penser qu'il a lieu dans les cas des racines imaginaires ; j'en ai une bien plus forte que toutes les siennes, puisque vous m’avez dit autrefois que vous aviez une démonstration générale de cette proposition. Vous devriez bien publier au moins les différents théorèmes sur lesquels est fondée votre méthode pour résoudre les équations. .....»

Enfin nous citerons presque en entierune lettre qui nous a été adressée par M. Corancez.

« Monsieur, avant son départ pour l'Egypte, M. Fourier était en possession du théorème qui fait la base de ses méthodes, et qui sert à dé: terminer la limite du nombre des racines d’une: équation algébrique qui sont comprises entre deux nombres pris à volonté. C’est le même théorème dont M. B: a fait depuis tant d’usage dans son Mémoire publié en 1806 ou 1807. Fourier l'avait publié dans ses cours à l’école Polytechnique avant 1797, comme peuvent l’attester Girard, et tous les ingénieurs et élèves de l’école qui le suivirent en Égypte , et qui y parlaient de cette découverte comme d’une chose connue. »

« Ce n’est qu'en Égypte que j’eus connaissance de ce théorème que Fourier me communiqua, et dont il m’a souvent parlé sans m'indiquer comment il y était parvenu. J'en trouvai une démonstration que je lui ai communiquée depuis lors, à notre retour en France, sur le brick anglais Good Design où nous étions compagnons de captivité. M. Fourier approuva cette démonstration, comme celle qui se présente le plus naturellement. Mais elle a Ponte en de laisser de l'incertitude sur le passage des racines imaginaires. Dans sa démonstration Fourier a remédié à cet inconvénient. Il ne m’a au surplus communiqué cette démonstration que d’une manière trop générale pour que je puisse en parler. »

«J'avais inséré ma démonstration dans un Mémoire sur les séries qui expriment les racines ou fonctions de racines d’une équation. Dans ce Mémoire ,que j'ai redigé”: à Alep, je reconnais, comme de raison, que le théorème était dù à M: Fourier. C’est ce qui l'engagea, il y a RE ans, à me demander ce Mémoire. La déclaration qu’il contient est sans doute celle qu'il désigne-dans le passage que vous me citez. Ce Mémoire , resté chez Fourier, doit se retrouver dans ses papiers. C’est un cahier cartonné-petit in-12, et portant la date d'Alep, an XII ou an XIIL. »

xxi) AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

«Il-est certain que M. Fourier a lu un Mémoire sur les équations à l’Institut du Caire. C'était, autant que je puis m'en fier à ma mémoire, un précis de l’esprit et des résultats de ses méthodes, mais sans aucun détail de calcul. Vous en trouverez certainement mention faite dans la Décade égyptienne et dans le Courrier du Caire. » ‘

« J'ajouterai qu'en Egypte Fourier était déja en possession de sa méthode d'approcher de la vraie valeur des racines au moyen des fractions continues , méthode dont il appuyait l'examen et la démonstration sur l’inclinaison des tangentes dans les courbes paraboliques. Fort antérieurement à cette époque, lorsqu'il commença à Auxerre à s'occuper de la théorie des équations, Fourier m’a souvent dit qu'il s'était longtemps amusé à décrire graphiquement la proposée et toutes ses dérivées en donnant à chaque courbe des couleurs différentes pour les distinguer et en suivre le cours. »

Asnières, 2 février 183r. Signé CorAncez.

Nous indiquerons maintenant les divers écrits relatifs à l'analyse algébrique qui ont été publiés ou présentés à l’Académie des sciences par M. Fourier depuis son retour à Paris en 1815.

Le Bulletin des sciences par la Société Philomatique de Paris, année 1818, contient un article intitulé : «Question d'analyse algébrique», dans . lequel sont exposés sommairement les divers principes et règles d’après lesquels on doit se guider en faisant usage de la méthode d’approximation des racines due à Newton, lorsque l’on connaît d’ailleurs deux limites qui comprennent entre elles une racine réelle.

On trouve dans le même Bulletin pour l’année 1820 deux autres articles intitulés : « Usage du théorème de Descartes dans la recherche des limites des racines, page 156, et Seconde partie de la Note relative aux limites des racines, page 181. » Les théorèmes relatifs à la séparation des racines, et à la distinction des cas où deux racines sont réelles ou imaginaires par le calcul des sous-tangentes, ont été publiés pour la première fois dans ces deux articles par la voie de l'impression. On a vu d’ailleurs non-seulement que l’auteur était en possession de ces théorèmes bien antérieurement à cette époque, mais qu'il les avait exposés publiquement dans les cours de l'école Polytechnique avant le départ et après le retour de l’expédition d'Egypte. Le mérite d’une découverte appartent à celui qui la fait connaître le premier : la publication par la voie de l'impression n’est pas le seul moyen de faire connaître des propositions nouvelles: il en existe plusieurs autres, tels que le dépôt au-

AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR. xxiij thentique d’un manuscrit, ou l'exposition de ces propositions dans des leçons publiques. Ce dernier moyen exige à la vérité que cette exposition soit prouvée par le témoignage des auditeurs. Nous produisons ici plusieurs témoignages dus à des personnes tout - à - fait désintéressées } et dont la véracité ne peut assurément être suspecte. Les droits de l’auteur à la découverte des propositions dont il s’agit antérieurement à l'année 1797 sont donc établis d’une manière incontestable.

M. Fourier a présenté à l’Académie des sciences, le 14 janvier 1829, des Recherches sur l'analyse algébrique. Ce travail se composait de trois manuscrits. Le premier, sur lequel l’auteur à mis à l'encre rouge un nouveau titre et la date du 14 janvier 1822, est un exposé général des principaux résultats relatifs à la résolution des équations numériques ou littérales : il est écrit de la main de M. André Raynaud , ancien employé de la préfecture du département de l’'Isére, qui en a paraphé toutes les pages, et a mis sur la dernière un attestation constatant que cette copie a été faite dans le mois de novembre 1807. Le second manuscrit est un exposé détaillé des recherches relatives à l'application des séries récurrentes à la résolution des équations algébriques : une partie des feuilles’est écrite de la main de M. Fourier, une’autre partie de la main de M. Chabert. Ces feuilles portent chacune les dates des mois de ventose et de floréal an 12. M. Fourier a effacé ces dates à l'encre rouge, et mis à la fin sa signature avec la nouvelle date du 14 janvier 1822. Le troisième manuscrit est un exposé succinct des résultats développés dans le précédent. La présentation de ces recherches est mentionnée dans l'analyse de travaux de l’Académie pendant l’année 1825 : les principaux points sont indiqués, et particulièrement les propositions relatives à lapplication des séries récurrentes qui formeront le sujet du VE livre du présent ouvrage.

Le 10 et le 17 novembre 1823 ont été présentées la première et la seconde partie d’un Mémoire d'analyse indéterminée sur le calcul des conditions d’inégalité. L'objet de ce mémoire est exposé dans l’Analyse des travaux de l'Académie pendant l’année 1823, page 29 et suivantes. L'auteur indique diverses applications à des questions qui appartiennent à la mécanique ou à l'analyse générale, et particulièrement celle qui se rapporte à l’usage des équations de condition lorsque l'on se propose de trouver les valeurs des inconnues qui rendent la plus grande erreur, abstraction faite du signe, la moindre possible. Cette dernière application est développée plus complètement dans l'Analyse des travaux de l'Académie pendant l’année 1824, page 38.

xxiV AVERTISSEMENT DE L'ÉDITEUR.

Le 3 janvier 1827, M. Fourier a présenté un Mémoire sur la distinction des racines imaginaires, et sur l'application des théorèmes d'analyse algébrique aux fonctions appelées transcendantes et spécialement aux questions de ce genre qui appartiennent à la théorie de la chaleur. Ce Mémoire a été inséré par extrait dans le Bulletin des sciences de la Société philomatique pour l’année 1826, et imprimé en entier dans le tome VII des Mémoires de l’Académie des sciences qui a paru en 1827. L'auteur ya énoncé la proposition qui est exposée page 45 du présent ouvrage, et qui consiste principalement en ce que, dans le calcul par approximation des racines des équations algébriques au moyen des fractions continues, on peut dans tous les cas omettre l'emploi de l'équation au carré des différences, en procédant immédiatement au calcul des fractions continues comme si l'on était assuré que toutes les racines étaient réelles, et en se guidant par l'usage du théorème qui fait connaître combien il peut exister de racines entre deux limites données.

Enfin le dernier Mémoire relatif à l'analyse algébrique, qui est aussi le dernier ouvrage de l’auteur, a été lu le 9 mars 1829. Il est intitulé : « Remarques générales sur l’application des principes de Panalyse algébrique aux équations transcendantes» , et a été imprimé dans le tome X des Mémoires de l’Académie des sciences.

En exposant dans son ouvrage les découvertes qu’il a faites sur les parties les plus importantes de l'analyse algébrique, M. Fourier a présenté ces vérités nouvelles comme étant les fruits de ses propres travaux, dont la propriété ne pouvait lui être contestée. Cette circonstance seule suffit assurément pour donner sur ce point la plus entière conviction à toutes les personnes qui l’ont connu. Mais nous avons pensé qu'il était nécessaire pour le public de montrer que M. Fourier était autorisé à s’honorer des découvertes dont il s’agit, non-seulement parce qu’il les avait véritablement faites, mais aussi parce qu'il existait des témoignages écrits qui, d'aprés les règles et usages littéraires, lui en assuraient la priorité.

Nous terminons cet Avertissement en déclarant que les manuscrits dont nous avons fait mention seront déposés par la suite au secrétariat de l’Institut, et que nous sommes prêts à les communiquer aux personnes qui cultivent les sciences et qui désireraient en prendre connaissance.

Paris, 1° juillet 1837.