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Done les racines qui étaient indiquées entre 1 et 10 sont réelles. Elles ont été séparées par la substitution du nombre 3: l’une est entre 2 et 3, et l’autre entre 3 et 10.

Ainsi l'Opération qui avait pour but de découvrir la nature des racines de l'équation

et d'en assigner les limites, est achevée.

En rappelant les conséquences énoncées art. 13, on reconnait que l'équation a deux racines imaginaires entre les limites infiniment peu distantes au-dessous et au-dessus de zéro:

qu'il ne peut y avoir de racine dans l'intervalle de o à 1, et qu'il en est de même de l’intervalle de 1 à 2 ;

que l'équation a une racine réelle entre 2 et 3, et une seconde racine réelle entre 3 et ro.

(38) On voit par ce qui précède que la détermination des hmites des racines réelles, et la distinction des racines imaginaires, se réduisent à l'application de deux règles principales. L'une est déduite du théorème qui exprime les changements que subit la suite des signes lorsque le nombre substitué augmente par degrés infinimént petits depuis — + (articles 7,8, 10). La seconde règle fait connaître, par un:calcul numérique très-simple, si le nombre substitué qui rend nulle une des fonctions intermédiaires donne deux signes semblables ou deux signes différents à la fonction qui précède et à celle qui suit (art. 28, 31,35). L'opération qui résulte de ces deux règles combinées indique d'abord les seuls intervalles dans lesquels on doit chercher les racines ; ensuite elle partage ces intervalles en plusieurs autres, dont chacun contient une seule racine réelle. Pour montrer l’ensemble de cette opération , nous en résumerons l'énoncé en rappelant les règles qui ont été précédemment expliquées.

l'équation X —o étant proposée, on formera par des différentiations successives la suite des fonctions X, X', X”,...X(071, X°, qui seront écrites dans cet ordre

(m m—1) m—2 1 l ‘ XD). Xe, Xe) | X" X0 X:

et l'on substituera au lieu de x dans cette suite de fonctions, les nombres — [,—10,—100,— 1000, etc.

l' HAT DIET TOO M OOOKÉPEC

jusqu'à ce que l’on trouve deux suites de résultats telles que l’une ne contienne que des changements de signes, et que l’autre n’en ait aucun. On connaîtra ainsi les limites décimales des racines, c’està-dire lenombre des chiffres qui les expriment, si elles sont réelles, et les divers intervalles dans lesquels ces racines doivent être cherchées.

Pour chacun des intervalles partiels, dont a et bd désignent les limites, on comparera comme il suit la suite (a) des signes que

donne la substitution de a, à la suite (b) que donne la substitution de la limite plus grande 2. Il faut marquer dans chaque suite combien il se trouve de changements de signe depuis le premier terme à gauche jusqu’à un terme quelconque, et former , selon la règle énoncée article 3r, la série

PONS LS Me 4. tA

des indices propres à l'intervalle. Si le dernier indice A est o, l’intervalle ne peut contenir aucune racine. Si le dernier indice A est 1, intervalle contient une seule racine réelle. Les autres racines doivent être cherchées dans les intervalles dont le dernier indice est 2, ou plus grand que 2.

Lorsqu'un ou plusieurs des résultats des substitutions sont nuls, on emploie le double signe suivant la règle que nous avons donnée article 11, et l'on connaît par la comparaison de ces signes mulüples si la proposée a des racines imaginaires qui manquent entre les limites infiniment voisines des valeurs substituées, et le nombre de ces racines imaginaires.

Considérant un des intervalles dont le dernier indice est 2, ou plus grand que 2, on remontera dans la série des indices depuis l’extrémité à droite en se portant vers la gauche, jusqu'à ce que l’on trouve pour la première fois le terme r : il sera toujours suivi à droite de l'indice 2. Quant à l'indice placé à la gauche du terme 1 auquel on s'est arrêté, cet indice précédent peut être o, ou 1, ou 2. S'il n'est pas 0, l'intervalle des limites a et b est trop grand pour que l'on puisse immédiatement distinguer la nature des racines. Il faut choisir, conformément à la remarque de l’article 34, un nombre intermédiaire c du même ordre décimal que les limites «a etb, ou de l’ordre immédiatement suivant, et le substituer dans la suite des fonctions afin de former deux intervalles partiels a et c,et c et Ÿ. Par ces substitutions des nombres intermédiaires on rapprochera de plus en plus de l'extrémité à droite l'indice 1 le plus voisin de cette extrémité: et il arrivera nécessairement, ou que le dernier indice A d’un intervalle sera zéro ou 1 , ou que l'indice r le plus voisin de l'extrémité étant toujours suivi de 2 sera précédé de zéro.

Lorsque cette dernière condition se présente, on est averti qu'il faut employer la règle qui sert à distinguer les racines imaginaires. Désignant par |

TA TT (x), f (x) s TA (E) les fonctions auxquelles répondent les indices consécutifs

le) [ 2e

on examinera si les valeurs numériques des résultats TES (a) ; F9 (a) : ji (n—1) (a) DR (PDG )S Von (D) sont telles, abstraction faite des signes, que l’un des quotients

VA Abel Ve domi Vo, FONe)a? ui HEAR

et

ou leur somme, surpasse ou égale la différence b— a des limites ; et l'on procédera à cette comparaison suivant la règle spéciale expliquée dans l’article 28. L'emploi de cette règle fera connaître st les deux racines de l'équation /(?(x)— 0, qui étaient indiquées dans l'intervalle dont il s’agit, sont réelles et inégales, ou réelles et égales, ou imaginaires.

Si ces racines sont réelles et inégales, elles se trouveront séparées par l'opération que l’on vient de faire; et l’on continuera de procéder de la même manière à la séparation des racines dans les intervalles dont le dernier indice ne serait nio, m1.

Si au contraire les deux racines de f("—°(x)—o sont imaginaires, il faut, à partir de l'indice 2 qui répond à f(x) Jusqu'à l'extrémité de la série à droite, retrancher deux unités de chaque indice, ce qui donnera pour ce même intervalle une autre série d'indices dont les derniers termes seront moindres que dans la série précédente.

Lorsque les deux racines de l'équation /"”(x)— 0 seront égales, on examinera selon les procédés connus si ces racines égales font aussi évanouir toutes les fonctions suivantes f(x), f?(x), etc.

en y comprenant la dernière f(x) : dans ce cas, on connaîtrait les racines égales que l'équation f(x)—0 aurait entre les limites proposées. Mais s’il n’y a point de facteur commun à la fonction f(x) et à toutes celles qui sont placées à sa droite, les conséquences relatives à la nature des racines seront exactementles mêmes que si les deux racines de l'équation /”(x)—o étaient imaginaires.On retranchera donc deux unités de chacun des indices correspondants aux fonctions f(x), f(x)... f(x), f(x), et l’on continuera, s’il est nécessaire, d'appliquer les mêmes règles aux nouvelles séries d'indices jusqu'à ce queles racines soiententièrement séparées. L'opération se termine lorsqu'il ne reste plus que des intervalles dont le dernier indice A est o ou 1.

(39) Nous proposons, pour premier exemple dé l'application de cette règle générale, l'équation a — 2 + 4x + x —4—0.

Les fonctions dans lesquelles on doit substituer sont

NN Lx LT + —/ WA RRS hx—3x'+8x+i X'u uraa— 6x +8